控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

3.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解2021/5/91系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的分解也稱為卡爾曼標(biāo)準(zhǔn)分解。它是討論不完全能控和不完全能觀的系統(tǒng)狀態(tài)的分解。系統(tǒng)通過代數(shù)等價變換，可以將狀態(tài)變量分解成四個部分：能控能觀部分。能控不能觀部分，不能控能觀部分和不能控不能觀部分。這樣系統(tǒng)可以分解為相應(yīng)的四個子系統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解可以更深刻地了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，也有助于更加深入地揭示系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和輸入－輸出描述之間的本質(zhì)區(qū)別。2021/5/92能控性、能觀性在線性非奇異變換下的性質(zhì)對于線性定常系統(tǒng)，經(jīng)過線性非奇異變換為，即兩者之間具有如下的關(guān)系其中，P為非奇異矩陣，從而必有

表明了線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。2021/5/93線性定常系統(tǒng)能控性結(jié)構(gòu)分解考慮不完全能控線性定常系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)的能控性分解，首先要選取非奇異矩陣。下面給出具體的算法。2021/5/94算法（能控性結(jié)構(gòu)分解的求?。┝袑懴到y(tǒng)的能控性矩陣并求出。2.在能控矩陣中任意取k個線性無關(guān)的列向量：，再在中任意選取(n-k)個列向量：，使得矩陣是可逆的。3.按下列方式組成變換矩陣，4.計算2021/5/95定理1：對不完全能控的系統(tǒng)，利用上述算法求取系統(tǒng)在線性非奇異變換下的代數(shù)等價系統(tǒng)，具有如下的能控性分解的規(guī)范表達(dá)形式，即式中，2021/5/962021/5/97對系統(tǒng)的能控性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1）在系統(tǒng)的能控性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能控和完全不能控的兩個子系統(tǒng)。（2）能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即（3）從系統(tǒng)能控性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的不能控部分既不受輸入u的直接影響，也沒有通過能控狀態(tài)而受到u的間接影響。因此，系統(tǒng)的不能控部分不能由輸入u和輸出y之間的傳遞關(guān)系來反映。換言之，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（矩陣）沒有完全反映系統(tǒng)的內(nèi)部不能控狀態(tài)分量的動態(tài)品質(zhì)。2021/5/98例1給定線性定常系統(tǒng)，進(jìn)行能控性分解。解：在中取線性無關(guān)的列向量，再任取，從而構(gòu)成矩陣2021/5/99通過求逆，可得矩陣P。于是可計算2021/5/910線性定常系統(tǒng)能觀性結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)按能觀性的結(jié)構(gòu)分解的所有結(jié)論，都對偶于系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解的結(jié)果。對給定不完全能觀的線性定常系統(tǒng)

按如下算法求取系統(tǒng)的能觀性結(jié)構(gòu)分解。2021/5/911算法（能觀性結(jié)構(gòu)分解的求?。┝袑懴到y(tǒng)的能觀性判別矩陣并計算。2021/5/9123.按下列方式構(gòu)成非奇異變換矩陣2.在中任意選取個線性無關(guān)的行向量，再任取個行向量，使得線性無關(guān)。4.計算2021/5/913定理2：對不完全能觀的系統(tǒng)，利用上述算法求取系統(tǒng)在線性非奇異變換下的代數(shù)等價系統(tǒng)，具有如下的能觀性分解的規(guī)范表達(dá)形式，即2021/5/9142021/5/915對系統(tǒng)的能觀性的結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1）在系統(tǒng)的能觀性分解中，系統(tǒng)被分解為完全能觀和完全不能觀的兩個子系統(tǒng)。（2）能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即（3）從系統(tǒng)能觀性分解的框圖中可以看出：系統(tǒng)的輸出只與能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，而不能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)無法影響能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)，因此，輸出信號不能反映不能觀子系統(tǒng)的狀態(tài)信息。2021/5/916按能控性和能觀性分解對n維線性定常系統(tǒng)

一般情況下，系統(tǒng)可能既不完全能控，也不完全能觀。設(shè)系統(tǒng)能控性判別矩陣的秩和能觀判別矩陣的秩分別為2021/5/917通過線性非奇異變換可實現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的規(guī)范分解，其規(guī)范分解的表達(dá)式為2021/5/9182021/5/919對系統(tǒng)的能控和能觀性結(jié)構(gòu)分解做幾點(diǎn)說明（1）在系統(tǒng)的規(guī)范型分解中，系統(tǒng)被分解為完全能控能觀、能控但不能觀、不能控但能觀和不能控不能觀四個子系統(tǒng)。（2）反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀的那個子系統(tǒng)的動態(tài)特性，即（3）從系統(tǒng)能觀性分解的框圖中可以看出：對上述不完全能控、不完全能觀系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣的描述只是對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不完全描述。若在系統(tǒng)中添加或刪除不能控或不能觀子系統(tǒng)，并不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。所以說系統(tǒng)的輸入輸出描述，只有對完全能控且完全能觀的系統(tǒng)，才是完全的描述。2021/5/920線性定常系統(tǒng)由Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的結(jié)構(gòu)分解若已將系統(tǒng)化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，然后按能控判別法和能觀判別法各狀態(tài)變量的能控性和能觀性，最后按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀和不能控不能觀四種類型分別排列，也可進(jìn)行系統(tǒng)的規(guī)范分解。2021/5/921例：給定系統(tǒng)的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為2021/5/922根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的能控能觀性的判別準(zhǔn)則，可以判定：能控狀態(tài)變量為：不能控狀態(tài)變量為：能觀測狀態(tài)變量為：不能觀狀態(tài)變量為：寫成分狀態(tài)