高等代數(shù)教案北大版第六章

第六章線性空間第一講集合映射授課內(nèi)容教學時數(shù)授課類型2講授教學目標通過本節(jié)的學習,掌握集合映射的有關定義、運算,求和號與乘積號的定義教學重點教學難點集合映射的有關定義集合映射的有關定義教學方法與手段講授法啟發(fā)式1.集合的運算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念SAB定義:(集合的交、并、差)設是集合,與的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作AB；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做ABAB；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的A元素組成的集合成為與B的差集,記做A\B.ABfA定義:(集合的映射)設、為集合.如果存在法則,使得中任意元素afB在法則下對應中唯一確定的元素(記做),則稱是到的一個f(a)fAB教學過程映射,記為f:AB,af(a).如果f(a)bBbafabfA,則稱為在下的像,稱為在下的原像.的所有元素在下的像構成的的子集稱為在下的像,記做f(A),即fBAff(A)f(a)|aA.則稱為單射.若bB,都存在若aa'A,都有f(a)f(a'),faA,使得f(a)bfff,則稱為滿射.如果既是單射又是滿射,則稱為雙射,或稱一一對應.2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義為了把加法和乘法表達得更簡練,我們引進求和號和乘積號.設給定某個數(shù)域K上n個數(shù)a,a,,a,我們使用如下記號:12nnnaaaa,aaaa..12ni12nii1i1當然也可以寫成aaaa,aaaai12ni12n1in1in(2)求和號的性質(zhì)容易證明,nnnmmnaa,.ijnnn,aa(ab)abiiiiiiiji1i1i1i1i1i1j1j1i1事實上,最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個元素排成如下形狀:aaa11121maaa21222maaan1n2nm分別先按行和列求和,再求總和即可.討論、練習與作業(yè)課后反思線性空間的定義與簡單性質(zhì)第二講授課內(nèi)容教學時數(shù)教學目標教學重點授課類型2講授通過本節(jié)的學習,掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì)線性空間的定義與簡單性質(zhì)教學難點線性空間的定義與簡單性質(zhì)教學方法與手段講授法啟發(fā)式一.線性空間的定義(1)定義1(線性空間)設V是一個非空集合,且V上有一個二元運算“+”(VVV),又設K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運算數(shù)量乘法“”?(KVV),且“+”與“”滿足如下性質(zhì):?1、加法交換律,V,有；2、加法結合律,,V()(),有；3、存在“零元”,即存在0V,使得V,0教學過程；4、存在負元,即V,存在V,使得0；5、“1律”1?；；6、數(shù)乘結合律k,lK,V,都有(kl)k(l)l(k)(kl)kl；k()kk,7、分配律k,lK,V,都有8、分配律kK,,V,都有則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空?間依賴于“+”和“”的定義,不光與集合V有關.(2)零向量和負向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題1零元素唯一,任意元素的負元素唯一.00'證明:設與均是零元素,則由零元素的性質(zhì),有00'00'；,'都是的負向量,則V,設0(')'()0,于是命題得證.由于負向量唯一,我們用代表的負向量.定義2(減法)我們定義二元運算減法“-”如下:定義為().命題2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì):1、加法滿足消去律；2、可移項；1；3、可以消因子kk0且,則k.4、0?0,k?00,(1)(3)線性空間的例子(a,b)例1令V表示在上可微的函數(shù)所構成的集合,令K,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,關于K的數(shù)乘就是實數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構成K上的線性空間.二線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關組.定義3(線性組合)給定V內(nèi)一個向量組,,,,又給定數(shù)域K內(nèi)s個12s為向量組,,,數(shù)k,k,,k,稱kkk的一個線性組s12s1122ss12合.定義4(線性表出)給定V內(nèi)一個向量組,,,,設是V內(nèi)的一個向12skkk,則稱向量,如果存在K內(nèi)s個數(shù)k,k,,k,使得12s1122ss量可以被向量組,,,線性表出.12s定義5(向量組的線性相關與線性無關)給定V內(nèi)一個向量組,,,,s12如果對V內(nèi)某一個向量,存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù)k,k,,k,使得s12kkk0,則稱向量組,,,線性相關；若由方程12s1122sskkk0必定推出kkk0,則稱向量組1122ss12s,,,線性無關.12s命題3設,,V,則下述兩條等價:12s1),,線性相關；12s2)某個可被其余向量線性表示.i證明同向量空間.定義6(線性等價)給定V內(nèi)兩個向量組,,,(Ⅰ),12r,,,(Ⅱ),s12如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過來,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義7(極大線性無關部分組)給定V內(nèi)一個向量組,,,,如果它有12s,,,一個部分組滿足如下條件:irii12,,,(i)、線性無關；irii12(ii)、原向量組中任一向量都能被,,,線性表示,irii12則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關部分組.由于在向量空間中我們證明的關于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到Kn的一些特有的性質(zhì),于是那些命題在線性空間中依然成立.定義8(向量組的秩)一個向量組的任一極大線性無關部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.1e,e例2求證:向量組xx的秩等于2(其中).212k,k證明:方法一:設∈R,滿足12keke0,則kekexxxx12121212,假若k,k不全為零,不妨設k0,則有ek,等號左邊2()x2,而由于12k12111為嚴格單調(diào)函數(shù),矛盾于等號右邊為常數(shù).于是kk0.12e,e所以xx線性無關,向量組的秩等于2.證畢.12方法二:若在(a,b)上keke0,xx1212兩端求導數(shù),得keke0,xx121122keke0,cc以xc(a,b)代入,有1212c2keke0.c11122eecce()0,()c12c2112而eec2212于是kk0.證畢.12討論、練習與作業(yè)課后反思第三講維數(shù)、基與坐標授課內(nèi)容教學時數(shù)授課類型2講授教學目標通過本節(jié)的學習,掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標的有關定義及性質(zhì)教學重點教學難點基與維數(shù)、向量坐標的有關定義基與維數(shù)、向量坐標的有關定義教學方法與手段講授法啟發(fā)式一、基和維數(shù)設V是數(shù)域F上一個向量空間,α1，α2，…，αn∈V．令L(α1,，則L(α1，α2，…，n，，，kkkkFii12nα2，…，αn)=i1αn)是V的一個子空間，叫做由α1,α2,…,αn生成的子空間，其中向量α1，α2，…,αn叫做這個子空間的一組生成元．例1在F[x]中，由多項式1，x，…，xn-1所生成的子空間為L(1，x，…，xn-1)={a0+a1x+…+an-1xn-1|ai∈F}，就是F上一切次數(shù)小于n的多項式連同零多項式所成的子空間F[x]n．，，，教學過程設是向量組{α1,α2,…,αn}的一個極大無關組．由命題irii123，子空間L(α1，α2，…，αn)的每一個向量都可以由，，，線性irii12，，，表示．另一方面的任意一個線性組合自然是L(α1，α2,…,αirii12n)中的向量．因此我們有命題1設{α1，α2，…，αn}是向量空間V的一組不全為零的向量，而{,,,}是它的一個極大無關組．則irii12L(α1，α2，…，αn)=L(,,,)．irii12根據(jù)這個命題，若子空間L(α1，α2，…，αn)不等于零空間，則它總可以由一組線性無關的生成元生成．一個向量空間V本身也可能由其中某n個向量生成，因此引入以下的定義1設{α1，α2，…，αn}是數(shù)域F上向量空間V的向量組，滿足以下條件：1)α1，α2，…，αn線性無關；2)V中每一個向量都可以由α1，α2，…，αn線性表示，則稱{α1，α2，…，αn}是V的一個基．例2在空間V2里，由原點出發(fā)的任意兩個不共線的向量α1，α2都構成一個基；在V3里，由原點出發(fā)的任意三個不共面的向量β1，β2，β3都構成一個基．例3在數(shù)域F上的m×n矩陣空間Fm×n里，A=(aij)mn∈Fm×n，都可以表成mnaE；ijijA=i1j1mnaE0，且若即(aij)mn是零矩陣，則aij=0，i=1，…，m，j=1，…，ijiji1j1n．因此,{Ei1，，m；j1，，n}是Fm×n的一個基．ij數(shù)域F上的一個向量空間若有基，當然不只有一個基．然而根據(jù)基的定義，一個向量空間的任意兩個基是彼此等價的．于是由推論1，一個向量空間的任意兩個基所含向量的個數(shù)是相等的．因此引入定義2一個向量空間V的一個基所含向量的個數(shù)叫做V的維數(shù)，記作dimV．零空間的維數(shù)定義為0．這樣，空間V2的維數(shù)是2，V3的維數(shù)是3；Fn的維數(shù)是n；向量空間Fm×n的維數(shù)是mn．例4求數(shù)域F上所有n階反對稱矩陣組成的向量空間V的一個基及其維數(shù)．解任一n階反對稱矩陣A具有形式0aa．121na0a12A2naa02n1n因此由于AaEEaEE121221131331aEEaEE．①nn11n1nn1n1nn1nEEji，EEEEijjijiijij所以EE，EE，，EE都是反對稱矩陣．假設12211331n1nnn1kEEkEEkEE0，②121221131331n1nn1nnn1由于{Ei1,,n；j1，，n}是Mn(F)的一個基，所以ijE，E，E，E，，E，E21線性無關，從而由②可推出k12121331n1nnn1kk0．故EE，，EE線性無關．又由①便可得出，nn113n1n1221n1nEE，，E1221Enn1是V的一個基，且n1ndimVn1n21nn12．若一個向量空間不能由有限個向量生成，則它自然也不能由有限個線性無關的向量生成．對這一情形，就說這個向量空間是無限維的．例5F[x]作為F上向量空間是無限維的．事實上，假設F[x]由有限個多項式f1(x)，f2(x)，…，ft(x)生成．自然可以設這些多項式都不為零．令n是這t個多項式的次數(shù)中最大的，則F[x]中次數(shù)大于n的多項式不可能由這t個多項式線性表示．這就導致矛盾，故F[x]是無限維的．由此易見§1中向量空間C[a，b]也是無限維的．命題2在n維向量空間V中，任意n個線性無關的向量都是V的一個基．證設α1，…αn是V中n個線性無關的向量．任取γ∈V，只要證γ可由α1，…αn線性表示，則α1，…αn便是V的一個基．因為dimV=n，所以V，，，有一個基n．于是向量組α1,…αn，γ可由β1，…βn線性表出．因12為n+1>n,所以由定理2推得，α1，…αn，γ線性相關．由于α1，…，αn線性無關，所以由命題4知道，γ可由α1，…αn線性表示．由命題2的證明易見命題3n維向量空間中個數(shù)多于n的任意向量組一定線性相關．定理1在n維向量空間V中，任意一個線性無關的向量組{α1，…，αr}都可以擴充成V的一個基．證若r=n，則α1，…αn是V的一個基．下設r<n．此時由dimV=n知道1．于是,由定理6.2.2，不妨設向量組n，，，2V有一個基11，，，等價．此時，{，，，，，}1rr1n，,，，，}與rr1n2n線性無關，因此，由命題2知道它是由{α1，…αr}擴充的V的一個基．二、坐標基的重要意義主要在于以下的定理2設{，，，}是向量空間V的一個基．則V的每一個向量可12n，，，以唯一地表成基向量n的線性組合．12，，，證因為n是V的生成元，所以V都可以表成12，，，12n的線性組合nnkkk．．1122現(xiàn)證這種表示法是唯一的．若α還可以表成kkknn1122則kkkkkk．111222nnn，，，n線性無關，故kk0，即kk，i=1，…，n．但12iiii設V是數(shù)域F上一個n維向量空間，{α1，α2，…，αn}是V的一個基．于是V的每一向量可以唯一地表成．nnxxx1122因此，取定V的基{α1，α2，…，αn}之后，對V的每一個向量，有唯一的n元數(shù)組(x1，x2，…,xn)與它對應．此時，xi叫做向量關于基{α1，α2，…，αn}的第i個坐標；(x1,x2,…,xn)叫做向量在基{α1,α2,…,αn}下的坐標．例6取定V3中三個不共面的向量α1，α2，α3．則V3的每一向量可以唯一地表成xxx331122的形式．向量在基{α1，α2，α3}下的坐標就是(x1，x2，x3)．12(a,a,,a)在標準單位基e,e,,e下的坐標就是n例7Fn的向量α=12n(a,a,,a)．12n設n維向量空間V的向量，β在基x2，…，xn)和(y1，y2，…，yn)：{，，，}下的坐標分別是(x1，12nnnxxx，yyy．1122nn1122則xyxyxy．11122nnn若k∈F，則nnkkxkxkx．1122于是得到．定理3設V是數(shù)域F上一個n維向量空間，{,,,}是V的一個12n{,,,}下的坐標分別是(x,x,,x)和基．若，β∈V，它們在基(y,y,,y)1212n12n，則+β在這個基下的坐標就是(x1+y1，x2+y2，…，xn+yn)；n(kx,kx,,kx)．又若k∈F．則k在這個基下的坐標就是12n三、子空間的維數(shù)由定理2和定理1得到命題4設V是F上n維向量空間，W是V的一個子空間，則dimW≤dimV；并且W的一個基可以擴充為V的一個基．命題5同命題4所設，則W=V，當且僅當dimWdimV=．證必要性是顯然的．反之，即dimW=dimV=n，{α1,α2,…,αn}是W的一個基，則它是V的一個線性無關向量組．于是，由命題6.3.2知道它也是V的一個基．因此，W=L(α1，…，αn)=V．定理4V中向量組{α1，α2，…，αs}生成的線性子空間L(α1，α2，…，αs)的維數(shù)等于向量組{α1，α2，…，αs}的秩；向量組{α1，α2，…，αs}的一個極大線性無關組就是L(α1，α2，…，αs)的一個基．證設向量組{α1，α2，…，αs}的一個極大線性無關組是，由線性表示的傳遞性，{α1，…，αs}中每一個向量可以由jr，，，jj12線性表出，從而,,2,,2是L(α1，α2，…，αs)的一個基．由jjjjjj1r1r此得出L(α1，α2，…，αs)的維數(shù)等于向量組{α1，α2，…，αs}的秩．命題6向量空間V中兩個向量組{α1，α2，…，αs}與{,,，12}m生成的子空間相同的充分且必要條件是這兩個向量組等價．證必要性若L(α1，α2，…，αs)=L(,,，m)，則易見這兩個12向量組等價．充分性若α1，α2，…，αs與,,，m等價，則由線性表出的傳12遞性，L(α1,α2,…，αs)中任一向量可由,,,m線性表出，因此L(α121,α2,…，αs)L(,,，m)．同理，有L(,,，)L(α1，αm12122,…，αs)．所以L(α1，…，αs)=L(,，m)．1討論、練習與作業(yè)課后反思第四講基變換與坐標變換授課內(nèi)容教學時數(shù)授課類型2講授教學目標通過本節(jié)的學習,掌握基變換與過渡矩陣的定義、運算,坐標變換公式教學重點教學難點基變換與過渡矩陣的定義、運算,坐標變換公式坐標變換公式的應用教學方法與手段講授法啟發(fā)式一、線性空間的基變換,基的過渡矩陣,,,,,,是兩組基,且n設V/K是n維線性空間,設和12n12ttt,1111ttt,212n1n2121222n2nttt.n1n12n2nnn將其寫成矩陣形式ttt11121nt教學過程tt(,,,)(,,,)21222n.12n12ntttnnn1n2定義11我們稱矩陣ttt1nt2n1112ttT2122ttn2tnnn1,,,,,,的過渡矩陣.n為從到12n12,,,12命題6設在n維線性空間V/K中給定一組基.T是K上一個nn階方陣.命(,,,)(,,,)T.12n12n,,,是V/K的一組基,當且僅當T可逆.則有12n,,,是線性空間V/K的一組基,則,,,證明:若線性無關.n12n12考察同構映射:VK,在,,,下的坐標,構造方程n12nk()k()k()0,其中kK,(i1,2,,n),1122nni(kkk)0kkk0,1122nn1122nnkkk0(),(),,()線性無關.12n12n(),(),,()構成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆；12n反過來,若過渡矩陣可逆,則構造方程kkk0,其中kK,(i1,2,,n),1122nni兩邊用作用,得到k()k()k()0,1122nnkkk0.證畢.12n二、向量的坐標變換公式；Kn中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標變換公式,,,下的n,,,,,,設V/K有兩組基為和,又設在12n12n1212a,a,,a坐標為,即na1a2(,,,),12nan,,,下的坐標為(b,b,,b),即在12n12nb1b2(,,,).12nbn現(xiàn)在設兩組基之間的過渡矩陣為T,即(,,,)(,,,)T.12n12n記ab1b1aXY2,2,anbn于是(,,,)X(,,,)Y[(,,,)T]Y(,,,)(TY)12n12n12n12n.于是,由坐標的唯一性,可以知道XTY,這就是坐標變換公式.(2)Kn中兩組基的過渡矩陣的求法我們設Kn中兩組基分別為(a,a,,a),(b,b,,b),111121n(a,a,,a),111121n(b,b,,b),21222n221222n和2(a,a,,a).(b,b,,b).nn1n2nnnn1n2nn而(,,,)(,,,)T.12n12n,,,按定義,T的第i個列向量分別是在基i下的坐標.n12,,,,,,看作列向量分別排成矩陣n將和12n12aaabbb1n11121n1112aa22a2nbb22b2nAB2121；,aaannbbn2bnnn1n2n1n2n分塊矩陣則有BAT,將A和B拼成A|B,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:(A|B)行初等變換(E|T).討論、練習與作業(yè)課后反思第五講線性子空間，子空間的交與和授課內(nèi)容教學時數(shù)教學目標教學重點授課類型2講授通過本節(jié)的學習,掌握線性子空間的定義、判別定理，掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式線性子空間的定義、判別定理，子空間的交與和的定義及維數(shù)公式線性子空間的判別定理，子空間的交與和的定義及維數(shù)公式教學難點教學方法與手段講授法啟發(fā)式一、線性空間的子空間的定義定義12(子空間)設V是數(shù)域K上的一個線性空間,M時V的一個非空子集.如果M關于V內(nèi)的加法與數(shù)乘運算也組成數(shù)域K上的一個線性空間,則稱為V的一個子空間.命題7設V是K上的線性空間,又設一個非空集合WVW,則是子空間當且僅當下述兩條成立:WWi)對減法封閉；ii)對于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必要性由定義直接得出；教學過程充分性:各運算律在V中已有,所以W滿足運算律的條件.只需要證明0W且對于任意WW,,且對加法封閉即可.W事實上,由于關于數(shù)乘封閉,則0?0W；(1)?W,于()W是對于,W,,W關于加法封閉.于是W是V的一個子空間.證畢.事上實,W關于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結論.命題8設W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴充為V的一組基.證明:設dimVn,dimWr,(rn),若rn,則命題為真；,,,V\W,則r1rnnr若,對作歸納:設為W的一組基,取12rr1,,,,線性無關.于是令W'{k|W,kK},易見,W’12rr1是V的一個子空間,且dimW'r1,此時ndimW'nr1,對其用歸納假設即可.二、子空間的交與和,生成元集,,,V定義13設,則12tkkk|kK,i1,2,,t1122tti是V的一個子空間,稱為由,,,生成的子空間,記為L(,,,).12t12t易見,生成的子空間的維數(shù)等于,,,的秩.t12V,V定義14(子空間的交與和)設為線性空間V/K的子空間,定義12VV{vV且vV},稱為子空間的交；1212VV{vv|vV,vV},稱為子空間的和.12121122命題9VV和VV都是V的子空間.1212證明:由命題4.7,只需要證明VV和VV關于加法與數(shù)乘封閉即可.1212,事實上,,VV,V,VV,V.由于均是V的子空212,則121間,則V,V,于是VV,VV關于加法封閉；212121VV,kK,kvV,kvV,于是kvVV,VV關于數(shù)乘封12121212閉.,VV,則由VV的定義,,V,,V,使得1212111222,V,V,則2,而121211122()()()()VV,2121211221VV關于加法封閉；VV,kKV,V,使得2,1212112kV,kV2,由于,則12112kk()kkVV,VV關于數(shù)乘封閉.證畢.12121212命題10設V,V,,V是V的子空間,則VVVm和12m12VVV均為V的子空間.m12三.維數(shù)公式.V,V定理1設V為有限維線性空間,為子空間,則12dim(VV)dimVdimVdim(VV).121212這個定理中的公式被稱為維數(shù)公式.證明:設dimVs,dimVt,dim(VV)n,dim(VV)r,取121212r0VV的一組基,,,(若VV=0,則,基為空集),將此基分別擴21212r1V,V充為的基12,,,,,,,sr,,12r12,,,,,,,tr12r12,,,,,,,,,,,是VV的一組基2只需要證明即可.12r12sr12tr1VV1首先,易見中的任一向量都可以被2,,,,,,,,,,,線性表出.事實上,VV,則212r12sr12tr1V,V,其中,而121122kkkkkk,11122rrr11r22ssrllllll.k,lK21122rrr11r22ttrij于是,,,,,,,,,,,線性表tr可被1212r12lr12,,,,,,,,,,,線性無關即tr出.只要再證明向量組12r12lr12可.設trtrkkkaaabbb0,1122rr1122srsr1122其中k,a,bK.則ijhsrsrtrtrkkkaaabbb1(1122rr1122122*)于是srsrkkkaaaV,11122rr1122trtrbbbV,21122srsr于是kkkaaaVV,記為.21122rr11221,,,則可被線性表示,設r12hhh,1122rr代入(*),有trtrhhhbbb0,1122rr1122,,,,,,,V由于是的一組基,所以線性無關,則212r12trhhhbbb0,12r12tr代回(*),又有kkkaaa0,12r12sr,,,,,,,,,,,線性無關.證畢.tr于是向量組12r12sr12推論1設V,V,,V都是有限為線性空間V的子空間,則:12tdim(VVV)dimVdimVdimV.t12t12證明:對t作歸納.討論、練習與作業(yè)課后反思第六講子空間的直和授課內(nèi)容教學時數(shù)授課類型2講授教學目標通過本節(jié)的學習,掌握子空間的直和與補空間的定義及性質(zhì)教學重點教學難點子空間的直和的四個等價定義子空間的直和的四個等價定義教學方法與手段講授法啟發(fā)式一、子空間的直和與直和的四個等價定義定義設V是數(shù)域K上的線性空間,V,V,,V12是V的有限為子空間.若對mm于中任一向量,表達式Vii1,V,i1,2,,m.12miim是唯一的,則稱為直和,記為Vii1教學過程mVVVVii1或.1m2定理設V,V,,V12為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四m條等價:1)VVV是直和；m122)零向量表示法唯一；3)V(VV?V){0},i1,2,,m；i1im4)dim(VVV)dimVdimVdimV.m12m12證明:1)2)顯然.2)1)設,則12m12m()()()0.1122mm由2)知,零向量的表示法唯一,于是,i1,2,,m,ii即的表示法唯一.由直和的定義可知,VVV是直和.m122)3)i,1im假若存在某個,使得V(VV?V){0}0,則存在向量且i1imV(VV?V),于是存在Vj,使得i1imj?.m1i由線性空間的定義,V(VV?V),i1im1m()()0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是則V(VV?V){0},i1,2,,m.i1im3)2)若2)不真,則有0,m1ijiV(j1,2,,m)且0.于是其中jVVV?V)?(,i1imi1im與3)矛盾,于是2)成立.3)4)對m作歸納.m①=2時,由維數(shù)公式得到dim(VV)dimVdimVdim(VV)dimVdimV.21212121m②設m1(m3)已證,則對于,dim(VVV)dimVdim(VVV)dim(V(VVV))12mmdimVdim(VVV),12m1m12m1m12m1而i,1im1,都有V(VV垐V)V(VVV){0}；i1im1i1im由歸納假設,可以得到dim(VVV)dimVdimVdimV.m12m124)3)i,1im,都有垐dim(V(VVV))dim()Vdim(VVV)dim(VVV)0i1imi1im12m,于是V(VV?V){0},i1,2,,m.證畢.i1imV,V推論設為V的有限維子空間,則下述四條等價:12i)VV是直和；12ii)零向量的表示法唯一；iii)VV{0}；12iv)dim(VV)dimVdimV.2121二、直和因子的基與直和的基命題設VVVV,則V,V,,V的基的并集為V的一組基.m1m122證明:設,,,V是的一組基,則V中任一向量可被iiiiri12mm{,,,}線性表出.又dimVdimVrrr,由命題iiirii12m12i1i14.5,它們線性無關,于是它們是V的一組基.證畢.三、補空間的定義及存在性V定義設為V的子空間,若子空間滿足VVVVV,則稱為的補空11212間.命題有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.VV1證明:設為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取的一組基1,,,,將其擴為V的一組基,,,,,,,取n12r12rr1r2VL(,,,),則有2r1r2nVVV,且dimVdimVndim(VV),121212于是VVVVV1,即是的補空間.證畢.212討論、練習與作業(yè)課后反思第七講線性空間的同構授課內(nèi)容教學時數(shù)授課類型2講授教學目標通過本節(jié)的學習,掌握線性空間同構的有關定義及線性空間同構的判定教學重點教學難點線性空間同構的判定線性空間同構的判定教學方法與手段講授法啟發(fā)式一、線性映射的定義定義設為數(shù)域上的線性空間,:UV為映射,且滿足以下兩KU,V個條件:()()(),(,U)；i)(k)k(),(U,kK),ii)UV則稱為(由到的)線性映射.K由數(shù)域上的線性空間到的線性映射的全體記為HomUV(U,V),或簡教學過程K記為Ho