梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度10.6梁橫截面上的正應力

與梁的正應力強度10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度梁在彎曲時橫截面上一般同時有剪力FS和彎矩M兩種內(nèi)力。剪力引起剪應力，彎矩引起彎曲正應力。下面先研究梁在彎矩作用下引起的彎曲正應力及正應力強度一、梁在純彎曲時橫截面上的正應力如圖所示簡支梁的CD段，其橫截面上只有彎矩而無剪力，這樣的彎曲稱為純彎曲。AC、DB段橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度為了使問題簡化，和研究圓軸扭轉(zhuǎn)變形一樣，我們在分析梁純彎曲時橫截面上的正應力時，從變形的幾何關系、物理關系、靜力平衡關系三方面來分析。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度1．變形的幾何關系取具有豎向?qū)ΨQ軸的等直截面梁（以矩形截面梁為例），在梁受彎曲前先在梁的表面畫上許多與軸線平行的縱向直線和與軸線垂直的橫向直線，然后在梁的兩端施加力偶M，使梁產(chǎn)生純彎曲，此時可以看到如下現(xiàn)象：10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度1）所有的縱向直線受彎變形后，都被彎成向下凸的曲線，其中靠近凹面的縱向直線縮短了，而靠近凸面的縱向直線伸長了。2）所有的橫向直線受彎變形后仍保持為直線,可是相對轉(zhuǎn)過了一個角度,其中左邊一側(cè)的橫向直線順時針轉(zhuǎn),而右邊一側(cè)的橫向直線逆時針轉(zhuǎn),但各橫向線仍與彎成曲線的縱向線垂直10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度根據(jù)所看到的表面現(xiàn)象，由表及里地推測梁的內(nèi)部變形，作出兩個假設：（1）平面假設：梁的橫截面在彎曲變形前為平面，在受彎變形后仍保持為平面，且垂直于彎成曲線的軸線。（2）單向受力假設：將梁看成由無數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓現(xiàn)象。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度根據(jù)以上假設,靠近凹面的縱向纖維縮短了,靠近凸面的縱向纖維伸長了。由于變形具有連續(xù)性,因此,縱向纖維從縮短到伸長,必有一層纖維既不伸長也不縮短,這層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸將橫截面分為受拉區(qū)域和受壓區(qū)域。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度從純彎曲梁中取出一微段dx，如左上圖所示。左下圖為梁的橫截面，設y軸為縱向?qū)ΨQ軸，z軸為中性軸。右圖為該微段純彎曲變形后的情況。其中O1O2為中性層，O為兩橫截面mm和nn旋轉(zhuǎn)后的交點，ρ為中性層的曲率半徑，兩個截面間變形后的夾角是d

，現(xiàn)求距中性層為y的任意一層纖維ab的線應變。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度纖維ab的原長為變形后的長為所以纖維的線應變?yōu)?0.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度距中性層為y的任意一層纖維ab的線應變?yōu)閷τ陂L度、材料與截面都確定的梁來說，ρ必是常數(shù)。所以上式表明，梁橫截面上任意一點處的縱向線應變，與該點到中性軸的距離成正比。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度2.物理關系根據(jù)縱向纖維的單向受力假設，當材料在線彈性范圍內(nèi)變形時，根據(jù)胡克定理可得由于對長度、材料與截面都確定的梁，E和ρ是常數(shù)，因此上式表明：橫截面上任意一點處的正應力與該點到中性軸的距離成正比。即彎曲正應力沿梁高度按線性規(guī)律分布，如圖。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度3.靜力平衡關系上面式（10－5）只給出了正應力的分布規(guī)律，但因中性軸的位置尚未確定，曲率半徑的大小也不知道，故不能利用此式求出正應力。需利用靜力平衡關系進一步導出正應力的計算式。在橫截面上K點處取一微面積dA，K點到中性軸的距離為y，K點處的正應力為σ，則各微面積上的法向分布內(nèi)力σdA組成一空間平行力系，如圖。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度因為在橫截面上無軸力，只有彎矩，由此得

將式（10－5）代入式（10－6）得即：10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度上式表明截面對中性軸的靜矩等于零。由此可知，中性軸z必然通過橫截面的形心。將(10－5)式代入(10－7)式得式中是橫截面對中性軸的慣性矩（見第七章）。于是得梁彎曲時中性層的曲率表達式為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度式（10－8）是研究梁彎曲變形的基本公式。式中ρ表示梁的彎曲程度。EIZ表示梁抵抗彎曲變形的能力，稱為梁的抗彎剛度。將此式代入式（10－5）得式（10－9）即為梁純彎曲時橫截面上正應力的計算式。它表明：梁橫截面上任意一點的正應力σ與截面上的彎矩M和該點到中性軸的距離y成正比，而與截面對中性軸的慣性矩成IZ反比。在計算時，彎矩M和需求點到中性軸的距離y按正值代入公式。而正應力的性質(zhì)（正負）可根據(jù)彎矩及所求點的位置來判斷。

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度歸納有關主要內(nèi)容：1.幾何關系：2.物理關系：3.相關結(jié)論：中性軸z必然通過橫截面的形心10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度應注意：正應力公式的適用條件如下：1）梁橫截面上的最大正應力不超過材料的比例極限2）公式（10－9）雖然是根據(jù)梁的純彎曲推導出來的，對于同時受剪力和彎矩作用的梁，當梁的跨度l與橫截面的高度h之比l

/h

＞5時，剪應力的存在對正應力的影響很小，可忽略不計，所以此式也可用于計算同時受剪力和彎矩作用的梁橫截面上的正應力。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度二、梁彎曲時的最大正應力對于等直梁而言，截面對中性軸的慣性矩Iz不變，所以彎矩M越大正應力就越大，y越大正應力也越大。如果截面的中性軸同時又是對稱軸（例如矩形、工字形等），則最大正應力發(fā)生在絕對值最大的彎矩所在的截面，且離中性軸最遠的點上，當梁受橫力彎曲時，上面公式仍然適用，所以

式中：WZ=IZ/ymax稱為抗彎截面系數(shù)。如果截面的中性軸不是截面的對稱軸（例如T形截面），則最大正應力可能發(fā)生在最大正彎矩或最大負彎矩所在的截面。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度注意兩種截面形式：（1）對稱截面：

y1max=y2max（2）非對稱截面：

y1max＞y2max10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度例10－13，如圖所示，矩形截面簡支梁受均布荷載q作用。已知q

=4kN/m，梁的跨度l=3m，高h=180mm，寬b=120mm。試求：（1）C截面上a、b、c三點處的應力。（2）梁內(nèi)最大正應力及其所在位置。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度解：（1）求支坐反力。

FAy=FBy=ql/2=6kN（向上）（2）計算C截面各點的正應力C截面的彎矩：MC=6×1－4×1×0.5=4kN?m截面對中性軸的慣性矩抗彎截面系數(shù)10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度計算C截面a、b、c各點的正應力(3)計算梁內(nèi)最大正應力：梁的彎矩圖如圖所示，最大彎矩發(fā)生在跨中，其值為：Mmax=ql2/8=4×32/8=4.5kN﹒m，10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度所以，梁內(nèi)最大正應力發(fā)生在跨中截面的上下邊緣處，其中最大拉應力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處，最大壓應力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處，其值為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度三、梁的正應力強度為了保證梁能安全正常的工作，必須使梁內(nèi)的最大正應力不能超過材料的許用應力，這就是梁的正應力強度條件。1.對于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料，其正應力的強度條件為2.對于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料，其正應力的強度條件分別為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度利用正應力的強度條件，可以解決與強度有關的三類問題：強度校核、設計截面尺寸和確定許可載荷。例10－14外伸梁的受力情況及其截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應力[t

]=30MPa，許用壓應力[c]=70MPa。試校核梁的正應力強度。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度解：（1）求支座反力：根據(jù)梁的平衡，求得FAy=10kN，F(xiàn)By=20kN（2）計算截面幾何性質(zhì)如圖所示，設參考軸z，截面形心C的位置為10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度截面對中性軸z的慣性矩為（3）畫彎矩圖，計算梁內(nèi)最大拉、壓應力。梁的彎矩圖如圖所示。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度由于中性軸z不是截面的對稱軸，所以最大正彎矩所在的截面C和最大負彎矩所在的截面B都可能存在最大拉、壓應力。計算C截面：MC=10kN?m

其分布如圖所示。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度計算B截面：MB=－20kN?m其分布如圖所示。

10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度如圖，可見梁內(nèi)最大拉應力發(fā)生在C截面的下邊緣，其值為tmax=34.49MPa，最大壓應力發(fā)生在B截面的下邊緣，其值為cmax=

68.98MPa。（3）校核強度。因為tmax=34.49MPa＞[t]，所以C截面的抗拉強度不夠，梁將會沿C截面（下邊緣開始）發(fā)生破壞。10.6梁橫截面上的正應力與梁的正應力強度例1