植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第1頁(yè)一、基礎(chǔ)概念二、古典回歸分析三、當(dāng)代回歸設(shè)計(jì)與回歸分析第一節(jié)基礎(chǔ)概念植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第2頁(yè)一、變量之間關(guān)系1、函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）指當(dāng)其中一個(gè)變量（自變量）在其改變范圍內(nèi)取定某一數(shù)值時(shí)，另一變量（因變量）按照一定法則總有確定數(shù)值與它對(duì)應(yīng)。這種關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系或者是確定性關(guān)系。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第3頁(yè)如：圓面積與它半徑之間關(guān)系為

A＝πr2。當(dāng)半徑r在區(qū)間（0～∞）內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，就可依據(jù)上式確定圓面積A對(duì)應(yīng)數(shù)值。函數(shù)關(guān)系常見于物理化學(xué)等學(xué)科中，在生物學(xué)中極為少見。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第4頁(yè)2、相關(guān)關(guān)系在同一自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中兩個(gè)變量，它們相互聯(lián)絡(luò)并遵照一定規(guī)律改變。當(dāng)其中自變量在其改變范圍內(nèi)取定某一數(shù)值時(shí)，因變量即使沒有一個(gè)確定數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，卻有一個(gè)特定條件概率分布因變量與之對(duì)應(yīng)，也就是在一次抽樣中，因變量出現(xiàn)數(shù)值其含有偶然性；在屢次抽樣中，因變量出現(xiàn)數(shù)值便含有一定規(guī)律性，即服從一定概率分布。這種關(guān)系稱相關(guān)關(guān)系。一、變量之間關(guān)系植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第5頁(yè)比如：施肥量與作物產(chǎn)量之間關(guān)系，在一定程度內(nèi)伴隨施肥量增加，作物產(chǎn)量也對(duì)應(yīng)提升，但卻不能依據(jù)施肥量計(jì)算出一個(gè)完全確定作物產(chǎn)量，而只能預(yù)計(jì)出一個(gè)作物產(chǎn)量范圍植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第6頁(yè)二、相關(guān)分析和回歸分析概念、相關(guān)分析分析研究變量之間相關(guān)關(guān)系親密程度，并用一數(shù)量性指標(biāo)描述(相關(guān)系數(shù))。不過，要注意兩個(gè)變量之間要有一定相關(guān)關(guān)系，不然所研究相關(guān)關(guān)系就沒有任何意義。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第7頁(yè)比如：若你想要研究你身高（或年紀(jì)）增加與教室外面剛種下小樹株高之間相關(guān)關(guān)系，可能他們之間相關(guān)系數(shù)都到達(dá)極顯著水平，不過對(duì)于這個(gè)試驗(yàn)來說，沒有處理任何問題，也就沒有任何意義。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第8頁(yè)2、回歸分析是處理相關(guān)關(guān)系中變量與變量間數(shù)量關(guān)系一個(gè)數(shù)學(xué)方法。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第9頁(yè)在相關(guān)關(guān)系中，自變量x與因變量y關(guān)系含有不確定性，即當(dāng)x為一確定值時(shí)與之相對(duì)應(yīng)y不是一個(gè)完全確定值，而是多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)y值，不過這些y值卻是一個(gè)含有一定概率分布總體，這個(gè)總體平均值數(shù)是一個(gè)確定值，稱為y條件平均數(shù)，x與y條件平均數(shù)呈函數(shù)關(guān)系。這種關(guān)系稱y依x而回歸，不稱y是x函數(shù),用方程形式表示：μy.α=f(x)其中μy.α為y條件平均數(shù)，也稱回歸值，若用樣本預(yù)計(jì)時(shí)，為?＝f(x)，其中?是μy.α預(yù)計(jì)值。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第10頁(yè)所以，回歸分析實(shí)質(zhì)是經(jīng)過對(duì)大量測(cè)定數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，建立一個(gè)能反應(yīng)含有相關(guān)關(guān)系變量間回歸方程。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第11頁(yè)3、相關(guān)分析和回歸分析之間關(guān)系回歸分析實(shí)質(zhì)上包含了相關(guān)分析意義，不過回歸分析不是相關(guān)分析，只有含有相關(guān)關(guān)系變量才能做回歸分析，但不是全部含有相關(guān)關(guān)系變量都可做回歸分析。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第12頁(yè)除此之外，在回歸分析中需要明確自變量和因變量：當(dāng)兩個(gè)變量含有原因和反應(yīng)關(guān)系時(shí)，原因變量即為自變量，反應(yīng)變量為因變量。當(dāng)兩個(gè)變量不是原因和反應(yīng)關(guān)系，而是平行關(guān)系時(shí)，則哪一個(gè)作為自變量都能夠，因依據(jù)研究目標(biāo)而定。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第13頁(yè)只有一個(gè)自變量回歸問題稱為一元回歸，有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量回歸問題稱多元回歸?；貧w又以自變量和因變量間聯(lián)絡(luò)特征不一樣而分為線性回歸與非線性回歸。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第14頁(yè)三、回歸分析功用1確定幾個(gè)特定變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，假如存在話，找出它們之間表示式（變量間定量關(guān)系公式），并對(duì)關(guān)系式可靠性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量值，預(yù)測(cè)或控制另一變量取值，并給出其精度（預(yù)報(bào)和控制）。2當(dāng)變量多于兩個(gè)時(shí)，對(duì)多個(gè)變量間關(guān)系進(jìn)行原因分析，找出各原因之間主次關(guān)系以及原因之間相關(guān)程度。3應(yīng)用回歸分析原理，作出新試驗(yàn)設(shè)計(jì)（回歸設(shè)計(jì)）。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第15頁(yè)第二節(jié)古典回歸分析一、一元線性回歸（直線回歸）指只有一個(gè)自變量回歸方程，所以，只有兩個(gè)變量比如：土壤有機(jī)質(zhì)含量與全氮含量之間關(guān)系植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第16頁(yè)（一）、直線回歸數(shù)學(xué)模型在抽樣研究中，因變量y觀察值ya與其條件平均數(shù)μy.α總有一定差異，即：μy.α＝y(tǒng)a＋εa，所以直線回歸數(shù)學(xué)模型用下式表示：其中a=1,2,…N當(dāng)由樣本預(yù)計(jì)時(shí)，對(duì)應(yīng)回歸方程為：?＝b0+bx植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第17頁(yè)（二）、回歸系數(shù)b0,b確實(shí)定：（最小二乘法）

對(duì)于試驗(yàn)每一個(gè)xa，由方程?＝b0+bx能夠確定一個(gè)回歸值?a＝b0+bxa，要使回歸方程?＝b0+bx能更加好地反應(yīng)x和y數(shù)量關(guān)系，應(yīng)使觀察值ya與回歸值?a偏差盡可能小，最小二乘法就是在觀察值ya與回歸值?a偏差平方和

最小來確定。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第18頁(yè)也就是：此時(shí)來求解b0和b。因?yàn)镼(b0,b)是b0和b二次函數(shù)，又是非負(fù)，所以它最小值總是存在，所以，b0和b就是以下方程組解：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第19頁(yè)該方程組稱為正規(guī)方程組，它還能夠?qū)懗梢韵滦问剑褐参餇I(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第20頁(yè)解正規(guī)方程組得植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第21頁(yè)（X離均差與y離均差乘積之和）由可得說明回歸直線經(jīng)過（）。，植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第22頁(yè)（三）、回歸方程顯著性檢驗(yàn)1、總平方和分解（觀察值之間變異）2、自由度確實(shí)定（y自用度）3、F檢驗(yàn)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第23頁(yè)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第24頁(yè)即：其中：稱為回歸平方和稱為剩下平方和植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第25頁(yè)回歸方程偏差示意圖ya-?＝（ya-?a）+(?a-?)把上式左右取平方并對(duì)N個(gè)測(cè)定值求和得SS總＝Lyy＝∑（ya-?）2＝∑[（ya-?a）+(?a-?)]2=∑(ya-?a）2+∑(?a-?)2+2∑(ya-?a）(?a-?)=∑(ya-?a）2+∑(?a-?)2這是因?yàn)?∑(ya-?a）(?a-?)＝0。證實(shí)在書本P239植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第26頁(yè)2、自由度確實(shí)定

在回歸方程方差分析中，總平方和為y平方和，故總自由度應(yīng)為y自由度，即dfT=N-1,N為觀察值ya個(gè)數(shù)。設(shè)K為包含b0在內(nèi)回歸系數(shù)個(gè)數(shù)，則總自由度dfT可作以下分解：dfT＝（K－1）+(N-K)。其中（K－1）為回歸自由度，記做dfu＝2－1＝1，（N-K）為剩下自由度記做dfQ=N-2。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第27頁(yè)3F檢驗(yàn)直線回歸方程顯著性檢驗(yàn)，就是檢驗(yàn)Y與x之間是否有線性關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否為0。所以，無(wú)效假設(shè)為H0:β=0,即y與x無(wú)線性關(guān)系；對(duì)應(yīng)假設(shè)為HA：β≠0，即y與x之間有線性關(guān)系；檢驗(yàn)所用統(tǒng)計(jì)量F為：F=Su2/SQ2

=u/Q/(N-2)F值計(jì)算出來后，與附表中對(duì)應(yīng)F值相比較，若計(jì)算值大于F0.05表示所建立回歸直線方程是顯著（其可信程度為95％），若計(jì)算值大于F0.01，表示所建立回歸直線方程是極顯著，其可信程度為99％以上。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第28頁(yè)（四）、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)和控制

建立回歸方程目標(biāo)之一是為經(jīng)過自變量來預(yù)測(cè)因變量y，就是對(duì)y條件平均數(shù)μy.x和個(gè)體值進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)。當(dāng)回歸方程經(jīng)過檢驗(yàn)并擬合得好時(shí)，就可利用它進(jìn)行y區(qū)間預(yù)計(jì)。當(dāng)x為某一給定值xa時(shí)，依據(jù)回歸方程可得回歸值?＝b0+bxa，植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第29頁(yè)對(duì)條件平均數(shù)μy.x進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)估測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差S?為：其中Se2剩下方差。y條件平均數(shù)μy.x置信區(qū)間為：?a－taS?≤μy.x≤?a－taS?植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第30頁(yè)（2）對(duì)y個(gè)體值進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)估測(cè)標(biāo)準(zhǔn)誤差S?為：y個(gè)體值置信區(qū)間為：

?a－taSy≤μy.x0≤?a－taSy植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第31頁(yè)應(yīng)該指出是：依據(jù)回歸方程對(duì)y進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)，自變量x取值必須在試驗(yàn)數(shù)據(jù)x值全距內(nèi)才為有效，不能隨意外推。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第32頁(yè)（五）、計(jì)算實(shí)例為了探討土壤速效磷含量與產(chǎn)量之間關(guān)系，在馬江婁圖上選擇了20個(gè)地塊種植小麥，品種為小偃六號(hào)，0.07ha施6kgN，播前采取土樣，用Olsen法測(cè)定土壤速效磷含量，試驗(yàn)結(jié)果間下表，試作回歸分析。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第33頁(yè)地塊號(hào)速效磷小麥產(chǎn)量

（μg.g-1）(kg/0.07ha)地塊號(hào)速效磷小麥產(chǎn)量

（μg.g-1）(kg/0.07ha)125.4356.025.3260.339.6273.3412.0251.154.4143.5612.3291.1711.4300.5817.0284.697.5294.5103.5130.41114.7273.01214.3295.61313.3231.91411.4206.5157.2270.21616.2319.0176.4251.01827.0390.2197.8243.12010.1277.7植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第34頁(yè)（1）、依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，先做散點(diǎn)圖，從圖判斷該配置方程模型。小麥產(chǎn)量是伴隨土壤速效磷含量增增加而增加，它們之間大致成直線關(guān)系，這就是說x和y關(guān)系能夠基礎(chǔ)上看作是直線關(guān)系，可按直線配置回歸方程。

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第35頁(yè)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第36頁(yè)本題基礎(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)果以下：∑x=236.8∑y=5343.5∑xy=68834.39n=20=11.84?=267.175∑x2=3542.04∑y2=1497168.67植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第37頁(yè)B:方程配置計(jì)算需要數(shù)據(jù)：計(jì)算Lxx=∑x2-1/N(∑x)2=3542.04-1/20(236.8)2=3542.04-2803.712=738.328計(jì)算Lxy=∑xy-1/N(∑x∑y)=68834.39-1/20х236.8х5343.5=68834.39-63267.04=5567.35Lyy=∑y2-1/N(∑5343.5)2=69519.植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第38頁(yè)所以回歸直線方程為：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第39頁(yè)(3)、回歸方程檢驗(yàn)Lyy=∑y2-1/N(∑5343.5)2=69519.06dfT=20-1=19u=bLxy=7.540×5567.35=41977.819dfu=1Q=Lyy-u=27541.241dfQ=20-2=18=41977.819/27541.241/18=27.435**(F0.05=4.41,F0.01=8.28)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第40頁(yè)(4)、依據(jù)回歸方程對(duì)y進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)小麥產(chǎn)量對(duì)土壤速效磷含量x回歸方程為?＝177.9057＋7.540x，設(shè)土壤速效磷含量x=11.4ug/g，則其回歸值為:?＝177.9057＋7.540х11.4

＝263.9kg植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第41頁(yè)不過，實(shí)際觀察值因?yàn)槭艿诫S機(jī)誤差影響，總會(huì)在一定范圍（和區(qū)間）內(nèi)波動(dòng)，怎樣預(yù)計(jì)這個(gè)區(qū)間呢？植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第42頁(yè)

條件平均數(shù)μy.x區(qū)間估測(cè)A:計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差S?（當(dāng)df誤=18時(shí)，t0.05=2.10,t0.01=2.88）B:區(qū)間預(yù)計(jì)：?a－taS?≤μy.x≤?a－taS?263.9－2.1×8.766≤μy.x≤263.9+2.1×8.766(95％置信區(qū)間）245.5≤μy.x≤282.3263.9－2.88х8.766≤μy.x≤263.9+2.88х8.766（99％置信區(qū)間）238.7≤μy.x≤289.1植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第43頁(yè)

個(gè)體值區(qū)間估測(cè)A:計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差S?（當(dāng)df誤=18時(shí)，t0.05=2.10,t0.01=2.88）B:區(qū)間預(yù)計(jì)：ya－taSy≤y≤ya－taSy263.9－2.1×40.071≤μy.x≤263.9+2.1×40.071(95％置信區(qū)間）197.8≤y≤348.0263.9－2.88х40.071≤μy.x≤263.9+2.88х40.071（99％置信區(qū)間）148.5≤y≤379.3植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第44頁(yè)（六）、可直線化曲線回歸1、常見可直線化曲線前一節(jié)，咱們學(xué)習(xí)了一元線性回歸分析問題，在實(shí)際應(yīng)用中，有些變量之間并不是線性相關(guān)關(guān)系，但能夠經(jīng)過適當(dāng)變換，把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第45頁(yè)

可線性化一元非線性回歸

常見幾個(gè)變換形式：（1）、雙曲線令植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第46頁(yè)（2）、冪函數(shù)曲線令

化非線性回歸為線性回歸變形（3）、指數(shù)函數(shù)曲線令變形植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第47頁(yè)（4）、負(fù)指數(shù)函數(shù)曲線令

化非線性回歸為線性回歸變形（5）、對(duì)數(shù)函數(shù)曲線令植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第48頁(yè)（6）、S型（Logistic）曲線令

化非線性回歸為線性回歸變形植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第49頁(yè)2、可直線化曲線回歸方程配置與檢驗(yàn)（1）確定可直線化曲線回歸函數(shù)類型：依據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，將散點(diǎn)圖與各種函數(shù)圖形對(duì)照（附錄一），并結(jié)合專業(yè)知識(shí)確定其曲線回歸函數(shù)類型，同時(shí)判斷其是否可直線化，如可直線化，可繼續(xù)進(jìn)行以下步驟植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第50頁(yè)（2）、進(jìn)行變量變換

依據(jù)所選函數(shù)類型直線化變量變換要求，將試驗(yàn)原始數(shù)據(jù)作對(duì)應(yīng)變換。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第51頁(yè)（3）、配置回歸方程并進(jìn)行檢驗(yàn)用變量變換后數(shù)據(jù)配置直線回歸方程并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方法與直線回歸檢驗(yàn)方法相同。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第52頁(yè)（4）、將直線回歸方程復(fù)原為曲線回歸方程。假如所配置回歸直線方程經(jīng)過檢驗(yàn)是顯著，則可依據(jù)直線化時(shí)所作變量變換方法進(jìn)行逆變換，將其復(fù)原為曲線回歸方程。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第53頁(yè)3、實(shí)例

某夏季綠肥在播種15天后，開始測(cè)定其生長(zhǎng)量，每隔5天測(cè)定一次，共測(cè)定7次，結(jié)果，結(jié)果見表，試對(duì)綠肥生長(zhǎng)量與生長(zhǎng)天數(shù)關(guān)系作回歸分析。生長(zhǎng)天數(shù)15202530354045生長(zhǎng)量（kg/0.0134ha）586779140200320480植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第54頁(yè)（1）、將測(cè)定數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖

從散點(diǎn)圖和專業(yè)經(jīng)驗(yàn)看，并與附錄中函數(shù)圖形相對(duì)照，這批數(shù)據(jù)x與y之間有指數(shù)關(guān)系，

y=b0ebxb>0植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第55頁(yè)（2）、變量變換變形：兩邊取自然對(duì)數(shù)得令：則可得直線方程：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第56頁(yè)（3）、用變量變換后數(shù)據(jù)配置回歸方程編號(hào)xyy`=lnyx2y`2xy`115584.060422516.486860.9060220674.204740017.679584.0940325794.369462519.0917109.23504301404.941690024.4194148.24805352005.2983122528.0720185.44056403205.7683160033.2733230.73207454806.1738202538.1158277.8210∑210134434.81657000177.13851096.4765植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第57頁(yè)依據(jù)上表計(jì)算得：b=0.0743得方程為：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第58頁(yè)（4）、回歸方程顯著性檢驗(yàn)

用變換后數(shù)據(jù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：計(jì)算回歸方程方差分析表以下：變因dfSSMSFF0.05F0.01回歸13.86223.8622181.32**6.6116.26剩下50.10650.0213總變異63.9687植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第59頁(yè)（5）、回歸方程復(fù)原及預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第60頁(yè)例2

有以下一組數(shù)據(jù)，請(qǐng)配置回歸方程并對(duì)回歸方程進(jìn)行F檢驗(yàn)和復(fù)原（提醒，該數(shù)據(jù)組可配置各種類型回歸方程，請(qǐng)逐一配置，并給出最優(yōu)方程）處理號(hào)xy1101002207033050440405502566020植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第61頁(yè)(1)、作散點(diǎn)圖：經(jīng)過散點(diǎn)圖可看出，這組數(shù)據(jù)有各種曲線模型與之相對(duì)應(yīng)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第62頁(yè)(2)、方程配置第一個(gè)模型：雙曲線

令

計(jì)算過程見下表植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第63頁(yè)處理xyx`=1/xy`=1/y(x`)2(y`)2x`y`123456∑10203040506010272483826240.10.050.0333333330.0250.020.0166666660.2459.803921568×10-30.0138888880.0208333330.0263157890.0384645380.0416666660.1509701380.012.5×10-31.111111111×10-36.25×10-44×10-42.777777778×10-40.0149138889.611687812×10-51.929012345×10-44.340277778×10-46.925207756×10-41.479289941×10-31.736111111×10-34.630967718×10-39.80392156×10-46.94444444×10-46.94444444×10-46.57894736×10-47.69230769×10-46.94444444×10-44.49085099×10-3植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第64頁(yè)經(jīng)計(jì)算得：Ly`y`=∑(y`)2-1/N(∑y`)2=8.323039374×10-4Lx`x`=4.909722222×10-3Lx`y`=-1.67376298×10-3從而計(jì)算得b=-0.34090787b0=?`-b`=0.039082094回歸方程為：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第65頁(yè)回歸檢驗(yàn)方差分析表以下：變異起源平方和df均方F回歸5.705989896×10-415.705989896×10-48.72**剩下2.617049478×10-446.542873695×10-5總數(shù)8.323039374×10-45植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第66頁(yè)第二種模型為：y=a+blogx計(jì)算回歸方程為：?=206.1207-104.6279logx（F=474.0075**）第三種模型為：y=dxb回歸方程:?=795.057x-0.8445(F=117.12**)第四種模型y=abx回歸方程為：?＝129.0442×0.9704x(F=170.27**)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第67頁(yè)其它模型還有：(1)y=ab1/x回歸方程為：?＝22.8654×16312396.081/x(F=20.43**)

(2)y=1/(a+bx)回歸方程為：?＝1/(1.3103×10－3＋6.8147×10－4)（F=165.82**）(3)直線形式：y=a+bx?＝105.4667－1.53714(F=37.89857**)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第68頁(yè)3、適宜回歸方程選擇經(jīng)常采取方法是計(jì)算剩下平方和∑（y-?）2,假如這一剩下平方和小，說明這種模型曲線回歸方程是最適宜。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第69頁(yè)現(xiàn)把這7種模型比較以下.模型

方程

F值

∑（y-?）2

1/?=0.03908-0.3409/x8.72**10611.30777

或?＝x/(-0.3409+0.03908x)y=a+blogx?=206.1207-104.6279logx474.0075**38.25323198y=dxb

?=795.057x-0.8445

117.12**240.6926752y=abx

?＝129.0442×0.9704x

170.27**77.88514631y=ab1/x?＝22.8654×16312396.081/x20.43**2486.686934y=1/(a+bx)?＝1/(1.3103×10－3＋6.8147×10－4)65.82**488.2212862y=a+bx?＝105.4667－1.5371437.8985**4436.429植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第70頁(yè)二、多元線性回歸（一）、多元線性回歸數(shù)學(xué)模型

設(shè)依變量y與自變量x1、x2、……xm,共有n組觀察數(shù)據(jù)結(jié)果以下：結(jié)果如書本P248

其數(shù)學(xué)模型為：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第71頁(yè)

多元線性回歸模型

設(shè)有自變量x1,x2,…,xp和因變量Y以及一份由n個(gè)個(gè)體組成隨機(jī)樣本(x1i,x2i,…,xpi,，Yi），且有以下關(guān)系：

y=B0+B1x1+B2x2+…+Bpxp+(模型）

B0、B1、B2和Bp為待估參數(shù)，為殘差。由一組試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，可求出待估參數(shù)預(yù)計(jì)值b0、b1、b2和bp,，得到以下回歸方程：

?=b0+b1x1+b2x2+…+bpxp

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第72頁(yè)（二）、回歸方程中b0和bj確實(shí)定1、參數(shù)最小二乘預(yù)計(jì)實(shí)際觀察值和回歸方程預(yù)計(jì)值之間殘差平方和最小即Q＝

(yi

－?i)2=(yi

－b0－b1xi1－b2xi2－…－bpxip)2

因?yàn)镼是b0、bj非二次式，故最小值一定存在，要在Q最小時(shí)確定b0、bj,依據(jù)微積分中多元函數(shù)求極值方法則對(duì)b0、b1…、bp分別求偏導(dǎo)數(shù)，令偏導(dǎo)數(shù)為零可取得正規(guī)方程。即：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第73頁(yè)（i=1、2、……m）(j=1、2、……n)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第74頁(yè)經(jīng)整理得：該方程組稱為正規(guī)方程組。

對(duì)正規(guī)方程組求解，即得b0和bj。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第75頁(yè)求解正規(guī)方程組:方式很多，這里介紹矩陣法令A(yù)為正規(guī)方程組系數(shù)矩陣，即有植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第76頁(yè)=11……1x11x21……xN1x12x22……xN2………x1mx2m……xNm1x11x12……x1m

1x21x22……x2m

………1xN1xN2……xNm=X’X植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第77頁(yè)令B為正規(guī)方程組右端常數(shù)項(xiàng)矩陣,即:

B=X‘Y=

111…1y1x11x21x31…xn1y2x12x22x32…xn2y3..........x1mx2mx3m…xnmyn

∑ya

∑xa1ya

∑xa2ya

.

∑xakya==X`Y植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第78頁(yè)令b`=（b0b1b2……bp）則正規(guī)方程組能夠?qū)懗删仃囆问紸b=（X`X）b=X`Y求解得b=A-1B求得逆矩陣A-1中元素便可得到b植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第79頁(yè)2、求解b0和b要計(jì)算b0和b，要求逆矩陣，求逆矩陣方法很多，請(qǐng)參考線性代數(shù)，這里介紹2種植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第80頁(yè)（1）公式法：A-1＝A11A21….AP1A12A22….AP2… ….…A1PA2P….APP式中|A|為A行列式；Aij為|A|中元素aij代數(shù)余子式。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第81頁(yè)比如：求以下正規(guī)方程組系數(shù)矩陣A逆矩陣，并求出b0和bj。8b0+4b1+10b2=164b0+10b1+15b2=410b0+15b1+30b2=25植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第82頁(yè)A=841041015101530B=16425

841041015101530=320|A|=A11=(-1)1+1

10151530A12=(-1)1+2415

1030=75=30植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第83頁(yè)其余代數(shù)余子式Aij經(jīng)計(jì)算得A13=-40A21=30A22=140A23=-80A31=-40A32=-80A33=64A-1＝

A11A21….AP1A12A22….AP2… ….…A1PA2P….APP＝1/320

30-4030140-80-40-8064＝0.2343750.093750－0.1250000.0937500.437500－0.250000－0.125000－0.2500000.00植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第84頁(yè)b=

b0b1b2=A-1B

0.234375

0.093750－0.1250000.0937500.437500－0.250000－0.125000－0.2500000.00=16425=1-32所以，回歸方程為：?＝1－3x1+2x2植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第85頁(yè)（2）求解求逆緊湊變換法：

2.1將系數(shù)矩陣組成增廣矩陣8b0+4b1+10b2=164b0+10b1+15b2=410b0+15b1+30b2=25增廣矩陣為：A(0)=

8410164101541015305植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第86頁(yè)2.2求解求逆緊湊變換

求解求逆過程就是對(duì)bk施行消去變換過程。在正規(guī)方程組中有n個(gè)未知數(shù)b，就要對(duì)增廣矩陣A(0)施行n次消去變換。A(0)經(jīng)n次消去變換后得到A(n)，A(n)中前n列為系數(shù)矩陣A逆矩陣A-1，最終一列為正規(guī)方程組解。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第87頁(yè)

求解求逆緊湊變換消去變換公式為式中K為消去未知數(shù)b編號(hào)，K=1，2，3……n;L為增廣矩陣經(jīng)過消去變換次數(shù)；L＝1，2，3…n，植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第88頁(yè)解上例：增廣矩陣為：A(0)=8410164101541015305依據(jù)上面公式對(duì)b1,b2,b3施行消去變換當(dāng)k＝1時(shí)a(1)11=1/a(0)11=1/8=0.125(此時(shí)i=j=k＝1,,所以用到第4個(gè)公式)a(1)12=a(0)12/a(0)11=4/8=0.5(此時(shí)i=k=1,j≠k,所以用到第2個(gè)公式)a(1)13=a(0)13/a(0)11=10/8=1.25(此時(shí)i=k=1,j≠k,所以用到第2個(gè)公式)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第89頁(yè)其余請(qǐng)同學(xué)自己計(jì)算

得

A(1)=

0.1250.51.252－0.5810－4－1.251017.55植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第90頁(yè)當(dāng)k=2時(shí)a(2)11=a(1)11-a12(1)×a21(1)/a(1)22=0.125-0.5×(-0.5)/8=0.15625(此時(shí)j,i≠k,所以用到第1個(gè)公式)a(2)12=-a(1)12/a(1)22=-0.5/8=-0.625(此時(shí)j=k=2,i≠k,所以用到第3個(gè)公式)a(2)13=a(1)13-a12(1)×a23(1)/a(1)22=1.25-0.5×10/8=0.625(此時(shí)j,i≠k,所以用到第1個(gè)公式)植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第91頁(yè)得A(2)=0.15625-0.06250.6252.25－0.06250.1251.25－0.5－0.625-1.25510植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第92頁(yè)當(dāng)k=3時(shí)A(3)

0.2343750.093750－0.12500010.0937500.4375－0.250000－3－125000－0.2500000.002=

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第93頁(yè)所以A-1=0.2343750.093750－0.1250000.0937500.4375－0.250000－0.125000－0.2500000.00

b0=1,b1=-3,b2=2所以，回歸方程為：?＝1－3x1+2x2植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第94頁(yè)P(yáng)182例題：這里求逆矩陣可用公式法和緊湊變換法如書本植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第95頁(yè)求解該方程組可用常規(guī)方法，也能夠用咱們上面講公式法也和求解求逆法最終計(jì)算得b1=1.7848,b2=-0.0834,b3=0.1674，=42.89植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第96頁(yè)（三）、回歸方程顯著性檢驗(yàn)(1)總平方和與總自由度分解SS總＝Lyy＝∑（ya-?）2=∑(ya-?a）2+∑(?a-?)2∑(?a-?)2為回歸平方和u

，∑(ya-?a）2為剩下平方和Q。

Q=∑ya2

－b0B0-u=Lyy-Q或u=

Q=Lyy-u植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第97頁(yè)自由度可按下式確定：dfT=N-1=dfu+dfQdfu=pdfQ=N-1-p植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第98頁(yè)2、

F檢驗(yàn)F=Su2/SQ2=u/dfu/Q/dfQ上例中Lyy=∑y2

－1/N(∑y)2=12389.61Q=5592.61u＝6797.00計(jì)算得F=u/dfu/Q/dfQ=5.67**(F0.05=3.34F0.01=5.56),植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第99頁(yè)（四）、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)1、偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)1.1偏回歸平方和(記作Pj)計(jì)算計(jì)算Pj公式為：Pj＝bj2/Cjj其中Cjj為逆矩陣中主對(duì)角線上第j個(gè)元素，bj為回歸方程中xj偏回歸系數(shù)。1.2F檢驗(yàn)Fj=Pj/Q/dfQ植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第100頁(yè)上述例子回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)以下：表偏回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)方差分析表

變異起源SSDfMSFF0.05F0.01

x1偏回歸4393.8114393.8111.00**8.864.60x2偏回歸15.92115.920.04x3偏回歸837.201837.202.10剩下平方和5592.6114399.47植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第101頁(yè)2、自變量剔除與重新建立多元線性回歸方程（1）、自變量剔除

當(dāng)經(jīng)顯著性檢驗(yàn)有幾個(gè)不顯著偏回歸系數(shù)時(shí)，咱們一次只能剔除一個(gè)不顯著偏回歸系數(shù)對(duì)應(yīng)自變量，被剔除自變量偏回歸系數(shù)，應(yīng)該是全部不顯著偏回歸系數(shù)中F值（或∣t∣值、或偏回歸平方和）為最小者。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第102頁(yè)（2）、重新進(jìn)行少一個(gè)自變量多元線性回歸分析，方法與前面所講相同

所以，對(duì)該例，咱們能夠得出結(jié)論，影響土壤供磷能力主要原因是用酸性氟化銨溶液浸提無(wú)機(jī)磷。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第103頁(yè)（五）據(jù)多元線性回歸方程對(duì)y進(jìn)行區(qū)間預(yù)計(jì)P188植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第104頁(yè)四、多項(xiàng)式回歸（一）、多項(xiàng)式回歸概念

研究一個(gè)因變量與一個(gè)或多個(gè)自變量間多項(xiàng)式回歸分析方法，稱為多項(xiàng)式回歸（polynomialregression）。

假如自變量只有一個(gè)時(shí)，稱為一元多項(xiàng)式回歸；一元m次多項(xiàng)式回歸方程為：植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第105頁(yè)假如自變量有多個(gè)時(shí)，稱為多元多項(xiàng)式回歸。二元二次多項(xiàng)式回歸方程為

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第106頁(yè)（二）、多項(xiàng)式回歸分析普通方法2.1多項(xiàng)式回歸問題能夠經(jīng)過變量轉(zhuǎn)換化為多元線性回歸問題來處理。對(duì)于一元m次多項(xiàng)式回歸方程令

=

…=

就轉(zhuǎn)化為m

元線性回歸方程對(duì)于二元二次多項(xiàng)式回歸方程植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第107頁(yè)對(duì)于二元二次多項(xiàng)式回歸方程令

就轉(zhuǎn)化為五元線性回歸方程植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第108頁(yè)（三）、多項(xiàng)式回歸分析實(shí)例1、一元二次多項(xiàng)式回歸分析

例：有一玉米氮肥用量試驗(yàn)，試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果見下表處理號(hào)N（kg/0.07ha）產(chǎn)量（kg/0.07ha）

xx2yy2100229.952854.0123.512.25394.1155314.8137.049.00522.4272901.76410.5110.25548.1300413.61514.0196.00578.4334546.56617.5306.25628.1394509.61721.0441.00591.2349517.44∑73.51114.753492.21860057.80平均10.5498.89植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第109頁(yè)1、依據(jù)表中數(shù)據(jù)資料繪制x與y散點(diǎn)圖從散點(diǎn)圖上看，玉米產(chǎn)量隨施氮量增加而增加，但y增加速度是逐步降低，當(dāng)x超出一定值后，y隨之又降低，所以能夠配置一元二次多項(xiàng)式。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第110頁(yè)2進(jìn)行變量轉(zhuǎn)換設(shè)一元二次多項(xiàng)式回歸方程為：令則得二元線性回歸方程植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第111頁(yè)3、進(jìn)行二元線性回歸分析(方法與前相同）計(jì)算基礎(chǔ)數(shù)據(jù)得

植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第112頁(yè)X=10013.512.2517.049.00110.5110.25114.0196.00117.5306.25121.0441.00y=229.9394.1522.4548.1578.4628.1591.2A=X`X＝

N∑x1

∑x2∑x1∑x12∑x1x2∑x2

∑x22∑x22植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第113頁(yè)773.5

1114.7573.51114.75

18907.8751114.7518907.875

341392.1875=

B=X`Y=∑y∑x1y∑x2y=

3492.242295.75657294.575植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第114頁(yè)求解得A－1＝0.761905－0.1326530.004859－0.1326530.037901

－0.00166660.004859－0.0016666

0.000079b=A－1B＝

243.914344.7602－1.3501植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第115頁(yè)則得二元一次回歸方程為：復(fù)原為一元二次回歸方程：4、回歸方程顯著性檢驗(yàn)與多元線性回歸方程相同P1925、回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)該例回歸系數(shù)檢驗(yàn)都是顯著。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第116頁(yè)

作業(yè):利用該組數(shù)據(jù)再配置一元直線方程和一元三次多項(xiàng)式方程，請(qǐng)大家配置試一試，并給出最適宜模型（即∑（y-?）2最小植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第117頁(yè)（四）、多元多項(xiàng)式回歸

以二元二次多項(xiàng)式為例P193例：有一氮磷肥用量配比試驗(yàn)，施氮量為0.07ha施N：0，2.5，5.0，7.5，10.0kg五個(gè)水平，施磷量為：0.07ha0，2，4，6kg四個(gè)水平，共20個(gè)處理，試驗(yàn)結(jié)果列于下表，試作回歸分析。植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第118頁(yè)

NP2O502.55.07.510.0084.5100.0142.0175.5161.02105.5131.5165.5193.0172.04156.0177.0211.0245.0233.56154.0188.0217.0255.0235.5植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第119頁(yè)經(jīng)過對(duì)資料分析，配置二元二次回歸方程設(shè)x1=x1,x2=x2,x3=x12,x4=x22,x5=x1x2

則多項(xiàng)式回歸變換為多元線性回歸

按多元線性回歸進(jìn)行分析植物營(yíng)養(yǎng)的生物統(tǒng)計(jì)研究方法第120頁(yè)X=

1000001020401040160106036012.506.250012.526.254512.546.25161012.566.25361515025001522541015425162015625363017.5056.250