高等數(shù)學(xué)教材資料完整

高等數(shù)學(xué)教材完整一、函數(shù)與極限1、集合的概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：aA。⑴、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集。記作R。集合的表示方法⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關(guān)系⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB（或BA）。。⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：①、任何一個集合是它本身的子集。即AA②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。⑶、補集：①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作CUA。即CUA＝｛x|x∈U，且xA｝。集合中元素的個數(shù)⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。⑵、用card來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的問題：1、學(xué)校里開運動會，設(shè)A＝｛x|x是參加一百米跑的同學(xué)｝，B＝｛x|x是參加二百米跑的同學(xué)｝，C＝｛x|x是參加四百米跑的同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定，每個參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規(guī)定，并解釋以下集合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。2、在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關(guān)系。3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數(shù)a使A＝B成立？4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間的關(guān)系呢？5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少的方法嗎？2、常量與變量變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）（a，b]或[a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，+∞)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全體實數(shù)，也可記為：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分別讀作"負無窮大"和"正無窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號。鄰域：設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。2、函數(shù)函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)的表示方法a)：解析法：用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：將一系列的自變量值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法即是表格法。例：在實際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：3、函數(shù)的簡單性態(tài)函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)x1＜x2時，有在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)，則稱函數(shù)隨著x增大而減小，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x2，當(dāng)x1＜x2時，有區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。，則稱函數(shù)在例題：函數(shù)=x2在區(qū)間(-∞,0)上是單調(diào)減小的，在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)增加的。函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x都滿足叫做奇函數(shù)。=-，則注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。函數(shù)的周期性對于函數(shù)，若存在一個不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。例題：函數(shù)4、反函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)；函數(shù)tgx是以π為周期的周期函數(shù)。反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng)，即的反函數(shù).，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時，變量x在函數(shù)的定義域，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理：若定，且嚴格增(減).在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R上確注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=增(減).就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示：5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義：若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個函數(shù)的。因為對于定義。的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有6、初等函數(shù)基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：函數(shù)名稱函數(shù)的記號函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)a):不論x為何值,y總為正數(shù);b):當(dāng)x=0時,y=1.a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點b):當(dāng)a＞1時,在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.令a=m/n對數(shù)函數(shù)a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y是偶函數(shù);b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時,y是奇函數(shù);c):當(dāng)m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.冪函數(shù)a為任意實數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且三角函數(shù)(正弦函數(shù))這里只寫出了正弦函數(shù)反a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因(反正弦函三數(shù))角這里只寫出了反正弦函函數(shù)此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.數(shù)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).例題：是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)：在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是：(用表格來描述)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)a)：其定義域為:(-∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲正弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；b)：是偶函數(shù)；c)：其圖像過點(0,1)；雙曲余弦a)：其定義域為:(-∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；雙曲正切我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)b)：反雙曲余弦函數(shù)其定義域為：(-∞,+∞)；其定義域為：[1,+∞)；其定義域為：(-1,+1)；c)：反雙曲正切函數(shù)8、數(shù)列的極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。第n項an叫做數(shù)列的一般項或通項.注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù)極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2，A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，…當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀)的割圓術(shù)。數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式稱數(shù)列收斂于a.記作：或注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：使我們能理解它。數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)因不等式與不等式等價，故當(dāng)n＞N時，所有的點都落在開區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…是有界的，但它是發(fā)散的。9、函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢?下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限，記作：下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：數(shù)列的極限的定義函數(shù)的極限的定義與常數(shù)A，任給一ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對于n＞N的正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對于存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)存在函數(shù)適合的一切x，都滿足所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)，函數(shù)x→∞時的極限為A，記：當(dāng)x→∞時收斂于A記：。。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么？？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以看出x→1時，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足時，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為A，記：。注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？a):先任取ε＞0；b):寫出不等式＜ε；c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；＜δ時，d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜ε成立，因此10、函數(shù)極限的運算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的運算規(guī)則，我們知道數(shù)列可作為一類特殊的函數(shù)，故函數(shù)極限的運算規(guī)則與數(shù)列極限的運算規(guī)則相似。函數(shù)極限的運算規(guī)則若已知x→x0(或x→∞)時，.則：推論：在求函數(shù)的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜的函數(shù)化為若干個簡單的函數(shù)來求極限。例題：求解答：例題：求此題如果像上題那樣求解，則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。函數(shù)極限的存在準則學(xué)習(xí)函數(shù)極限的存在準則之前，我們先來學(xué)習(xí)一下左、右的概念。我們先來看一個例子：例：符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),x從左趨于0和從右趨于0時函數(shù)極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時，函數(shù)左極限.記：與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的右極限.記：注：只有當(dāng)x→x0時，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限的存在準則準則一：對于點x0的某一鄰域內(nèi)的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)的一切x)有≤≤，且，那末存在，且等于A注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要的極限一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=2.718281828459045...二：注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們.例題：求解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù)y=可找到正數(shù)δ，當(dāng)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總時，成立，則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時，無限趨大的定義：設(shè)有函數(shù)y=，當(dāng)x充分大時有定義，對于任意成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時給定的正數(shù)N(一個任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)是無窮大量，記為：時，無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設(shè)有函數(shù)，對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M)，使得對于適合不等式(或)的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值滿足不等式，則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時為無窮小量.記作：(或)注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，a)：如果b)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮??；，則稱α和β是同階無窮??；c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)，所以當(dāng)x→0時，x與3x是同階無窮?。焕阂驗橐驗橐驗?，所以當(dāng)x→0時，x2是3x的高階無窮小；，所以當(dāng)x→0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮小的性質(zhì)設(shè)，且存在，則.注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題：1.求解答：當(dāng)x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：例題：2.求解答：注：注：從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量設(shè)變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1增量△x可正可負.我們再來看一個例子：函數(shù)在點x0的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時，函數(shù)y相應(yīng)地從變到，其對應(yīng)的增量為：這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當(dāng)△x趨向于零時，函數(shù)y對應(yīng)的增量△y也趨向于零，即：在點x0處連續(xù)。，那末就稱函數(shù)函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有的連續(xù)點.稱函數(shù)在點x0處連續(xù)，且在區(qū)間(a,b]內(nèi)稱x0為函數(shù)的下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)有定義，如果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，如果右極限在點a右連續(xù).存在且等于，即：=，那末我們就稱函數(shù)一個函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù)，若又在a點右連續(xù)，b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù)。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題：函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點.它包括三種情形：a)：b)：在x0無定義；在x→x0時無極限；c)：在x→x0時有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點的類型：例1：正切函數(shù)在處沒有定義，所以點是函數(shù)的間斷點，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點；例2：函數(shù)在點x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點的振蕩間斷點；x=0叫做函數(shù)例3：函數(shù)當(dāng)x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點x=0時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點若x0是函數(shù)的間斷點，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點。此時函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點x0處連續(xù)，故這種間斷點x0稱為可去間斷點。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)(分母在該點不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù)，故它的反函數(shù)在閉區(qū)間[-1,1]上也是單調(diào)增且連續(xù)的。復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時的極限存在且等于a，即：當(dāng)x→x0時的極限也存在且等于.而函數(shù)在點u=a連續(xù)，那末復(fù).即：例題：求解答：注：函數(shù)可看作與復(fù)合而成，且函數(shù)在點u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù)，且，而函數(shù)在點u=u0連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù)在點x=x0也是連續(xù)的初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值。(在此不作證明)例：函數(shù)y=sinx在閉區(qū)間[0，2π]上連續(xù)，則在點x=π/2處，它的函數(shù)值為1，且大于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值；則在點x=3π/2處，它的函數(shù)值為-1，且小于閉區(qū)間[0，2π]上其它各點出的函數(shù)值。介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念在學(xué)習(xí)到數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數(shù)，，求質(zhì)點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t，這就是質(zhì)點在時間段△t的位移。因此，在此段時間內(nèi)質(zhì)時，質(zhì)點的位置有增量點的平均速度為：.若質(zhì)點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質(zhì)點是非勻速直線運動，則這還不是質(zhì)點在t0時的瞬時速度。我們認為當(dāng)時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時的瞬時速度，即：質(zhì)點在t0時的瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下：導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域，若△y與△x之比當(dāng)△x→0時極限存在，則稱這個極限內(nèi))時，相應(yīng)地函數(shù)有增量值為函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)。記為：還可記為：，在點x0處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個確定的x值，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。注：導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的左導(dǎo)數(shù)。若極限存在，我們就稱它為函數(shù)在x=x0處的右導(dǎo)數(shù)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差).用公式可寫為：其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。。例題：已知，求解答：例題：已知，求解答：函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成：例題：已知，求解答：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成：例題：已知，求解答：注：若是三個函數(shù)相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數(shù)的商的求導(dǎo)法則法則：兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。用公式可寫成：例題：已知，求解答：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一個例子!例題：求=?解答：由于，故這個解答正確嗎?這個解答是錯誤的，正確的解答應(yīng)該如下：我們發(fā)生錯誤的原因是是對自變量x求導(dǎo)，而不是對2x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則：兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。用公式表示為：，其中u為中間變量例題：已知解答：設(shè)，求,則可分解為,因此注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。例題：已知，求解答：反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù),它也是單調(diào)連續(xù)的.為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下(我們以定理的形式給出)：定理：若是單調(diào)連續(xù)的，且，則它的反函數(shù)在點x可導(dǎo)，且有：注：通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。注：這里的反函數(shù)是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換。即：是對y求導(dǎo)，的導(dǎo)數(shù).是對x求導(dǎo)例題：求解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)我們知道，在物理學(xué)上變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即：，而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導(dǎo)數(shù)：叫做s對t的二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義：，或。這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù).我們把的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作或，即：或.相應(yīng)地，把叫做函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，，…，或，，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連地求導(dǎo)，所以，在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)的求導(dǎo)方法。例題：已知，求解答：因為=a，故的n階導(dǎo)數(shù)。=0例題：求對數(shù)函數(shù)解答：，，，，一般地，可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù)，可以有不同的形式.若函數(shù)y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣的函數(shù)叫顯函數(shù).前面我們所遇到的函數(shù)大多都是顯函數(shù).一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時，相應(yīng)地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間上確定了x的隱函數(shù)y.把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的形式，叫做隱函數(shù)的顯化。注：有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。例題：已知，求解答：此方程不易顯化，故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進行求導(dǎo)，，，故=注：我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導(dǎo)時，一定要把變量y看成x的函數(shù)，然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。例題：求隱函數(shù)，在x=0處的導(dǎo)數(shù)解答：兩邊對x求導(dǎo)，故，當(dāng)x=0時，y=0.故。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時，若對其直接求導(dǎo)有時很不方便，像對某些冪函數(shù)進行求導(dǎo)時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對數(shù)，然后在求導(dǎo)。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。例題：已知x＞0，求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數(shù)，然后再把它看成隱函數(shù)進行求導(dǎo)，就比較簡便些。如下解答：先兩邊取對數(shù)：，把其看成隱函數(shù)，再兩邊求導(dǎo)因為，所以例題：已知，求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)，但是比較麻煩，下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進行求導(dǎo)解答：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為，所以函數(shù)的微分學(xué)習(xí)函數(shù)的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？解答：設(shè)此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數(shù)：薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量x從x0取的增量△x時，函數(shù)A相應(yīng)的增量△A，即：。從上式我們可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數(shù)，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，當(dāng)△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：由此我們可以發(fā)現(xiàn)，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義：函數(shù)微分的定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中A是不依賴于△x的常數(shù)，是△x的高階無窮小，則稱函數(shù)在點x0可微的。叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：是自變量改變量△x的線性函數(shù)，dy與△y的差=。通過上面的學(xué)習(xí)我們知道：微分是關(guān)于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當(dāng)△x→0時，△y≈dy.導(dǎo)數(shù)的記號為：，現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn)，它不僅表示導(dǎo)數(shù)的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，還可表示為：由此我們得出：若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則它在此區(qū)間上一定可微，反之亦成立。微分形式不變性什么是微分形式不邊形呢？設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為：，由于，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成由此可見，不論u是自變量還是中間變量，來表示，的微分dy總可以用與du的乘積我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。例題：已知，求dy解答：把2x+1看成中間變量u，根據(jù)微分形式不變性，則通過上面的學(xué)習(xí)，我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割的聯(lián)系，前面我們知道基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則，那么基本初等函數(shù)的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？下面我們來學(xué)習(xí)———基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則基本初等函數(shù)的微分公式由于函數(shù)微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式可得出基本初等函數(shù)微分的公式，下面我們用表格來把基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下：(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則由函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推出相應(yīng)的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導(dǎo)數(shù)的運算法則對照一下：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則就是前面我們學(xué)到的微分形式不變性，在此不再詳述。例題：設(shè)，求對x3的導(dǎo)數(shù)解答：根據(jù)微分形式的不變性微分的應(yīng)用微分是表示函數(shù)增量的線性主部.計算函數(shù)的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數(shù)的微分來近似的代替函數(shù)的增量，這就是微分在近似計算中的應(yīng)用.例題：求的近似值。解答：我們發(fā)現(xiàn)用計算的方法特別麻煩，為此把轉(zhuǎn)化為求微分的問題三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分學(xué)中值定理在給出微分學(xué)中值定理的數(shù)學(xué)定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：設(shè)有連續(xù)函數(shù)，a與b是它定義區(qū)間內(nèi)的兩點(a＜b)，假定此函數(shù)在(a,b)處處可導(dǎo)，也就是在(a,b)內(nèi)的函數(shù)圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因此成立。注：這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使成立。注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發(fā)明之前以幾何的形式提出來的。注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理柯西中值定理如果函數(shù)，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且≠0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點c，使成立。的導(dǎo)例題：證明方程證明：不難發(fā)現(xiàn)方程左端數(shù)：在0與1之間至少有一個實根是函數(shù)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理可知，在0與1之間至少有一點c，使，即也就是：方程在0與1之間至少有一個實根未定式問題問題：什么樣的式子稱作未定式呢？答案：對于函數(shù),來說，當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子型稱為未定式。分別記為我們?nèi)菀字?，對于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案注：它是根據(jù)柯西中值定理推出來的。羅彼塔(L'Hospital)法則當(dāng)x→a(或x→∞)時，函數(shù),都趨于零或無窮大，在點a的某個去≠0，且心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│＞N)時，與都存在，存在則：=這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。例題：求解答：容易看出此題利用以前所學(xué)的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們就可以利用上面所學(xué)的法則了。例題：求解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解另外，若遇到、、、、等型，通常是轉(zhuǎn)化為型后，在利用法則求解。例題：求解答：此題利用以前所學(xué)的法則是不好求解的，它為型，故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解，注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當(dāng)存在，則存在且二者的極限相同；而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)的單調(diào)性也就是函數(shù)的增減性，怎樣才能判斷函數(shù)的增減性呢？我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減)，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負來判定函數(shù)的增減性.判定方法：設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).a)：如果在(a,b)內(nèi)b)：如果在(a,b)內(nèi)＞0，那末函數(shù)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加；在[a,b]上單調(diào)減少.例題：確定函數(shù)的增減區(qū)間.解答：容易確定此函數(shù)的定義域為(－∞,＋∞)其導(dǎo)數(shù)為：，因此可以判出：當(dāng)x＞0時，＞0，故它的單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞)；函數(shù)的極值及其求法在學(xué)習(xí)函數(shù)的極值之前，我們先來看一例子：設(shè)有函數(shù)，容易知道點x=1及x=2是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點，又可知在點x=1左側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)增加的，在點x=1右側(cè)附近，函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢？事實上，這就是我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——函數(shù)的極值，函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，x0是(a,b)內(nèi)一點.若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＜均成立，則說是函數(shù)的一個極大值；若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外)，＞均成立，則說是函數(shù)的一個極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點。我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點凡是使的x點，稱為函數(shù)的駐點。判斷極值點存在的方法有兩種：如下方法一：設(shè)函數(shù)在x0點的鄰域可導(dǎo)，且.情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，＜0，＞0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，則函數(shù)在x0點取極大值。情況一：若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時，＞0，＜0，當(dāng)x取x0右側(cè)鄰近值時，則函數(shù)在x0點取極小值。注：此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在x0點不存在的情況。用方法一求極值的一般步驟是：a)：求；b)：求的全部的解——駐點；c)：判斷在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。例題：求極值點解答：先求導(dǎo)數(shù)再求出駐點：當(dāng)時，x=-2、1、-4/5判定函數(shù)的極值，如下圖所示方法二：設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù)，且時.則：a)：當(dāng)b)：當(dāng)＜0，函數(shù)＞0，函數(shù)在x0點取極大值；在x0點取極小值；c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定.例題：我們?nèi)砸岳?為例，以比較這兩種方法的區(qū)別。解答：上面我們已求出了此函數(shù)的駐點，下面我們再來求它的二階導(dǎo)數(shù)。，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；＜0，故此點為極大值點；＞0，故此點為極小值點。函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產(chǎn)品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題。怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了，函數(shù)的極值是局部的。要求在[a,b]上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為，在區(qū)間[-3，3/2]的最大值、最小值。在此區(qū)間處處可導(dǎo)，，故x=±1，所求。例題：求函數(shù)解答：先來求函數(shù)的極值再來比較端點與極值點的函數(shù)值，取出最大值與最小值即為所求。因為，，，故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最省？解答：由題意可知：為一常數(shù)，面積故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。故：時，用料最省。曲線的凹向與拐點通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道由一階導(dǎo)數(shù)的正負，可以判定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，但是還不能進一步研究曲線的性態(tài)，為此我們還要了解曲線的凹性。定義：對區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向的判定定理定理一：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹(或向在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。在區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)，并且具有一階導(dǎo)數(shù)和二階下凹)的充分必要條件是：導(dǎo)數(shù)定理二：設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)；那末：若在(a,b)內(nèi)，若在(a,b)內(nèi)，例題：判斷函數(shù)＞0，則＜0，則的凹向在[a,b]對應(yīng)的曲線是下凹的；在[a,b]對應(yīng)的曲線是上凹的；解答：我們根據(jù)定理二來判定。因為，所以在函數(shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0，故函數(shù)所對應(yīng)的曲線時下凹的。拐點的定義連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。拐定的判定方法如果在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點。(1)：求(2)：令；=0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。例題：求曲線的拐點。，解答：由令=0，得x=0，2/3四、不定積分不定積分的概念原函數(shù)的概念已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有dF'(x)=f(x)dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。例：sinx是cosx的原函數(shù)。關(guān)于原函數(shù)的問題函數(shù)f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？我們可以明顯的看出來：若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)，即：F"(x)=f(x)，則函數(shù)族F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù)，故：若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個.不定積分的概念函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作。由上面的定義我們可以知道：如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族F(x)+C.即:=F(x)+C=例題：求：.解答：由于不定積分的性質(zhì)，故1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和；即：2、求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即：求不定積分的方法換元法換元法（一）：設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u)，u=g(x)可導(dǎo)，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).即有換元公式:例題：求解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。設(shè)u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：換元法（二）：設(shè)x=g(t)是單調(diào)的，可導(dǎo)的函數(shù)，并且g'(t)≠0，又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t)，則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù)）即有換元公式:例題：求解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.設(shè)x=asint(-π/2<t<π/2)，那末，dx=acostdt,于是有：關(guān)于換元法的問題不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的，我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分，只有作大量的練習(xí)。分部積分法這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道，兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為：(uv)'=u'v+uv'，移項，得uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：，這就是分部積分公式例題：求解答：這個積分用換元法不易得出結(jié)果，我們來利用分部積分法。設(shè)u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：關(guān)于分部積分法的問題在使用分部積分法時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：(1)v要容易求得；(2)容易積出。幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當(dāng)分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式，反之為真分式。在求有理函數(shù)的不定積分時，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式，然后再求之。例題：求解答：關(guān)于有理函數(shù)積分的問題有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍，請諒。三角函數(shù)的有理式的積分舉例三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。例題：求解答：關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我們不再舉例。簡單無理函數(shù)的積分舉例例題：求解答：設(shè)，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念我們先來看一個實際問題———求曲邊梯形的面積。設(shè)曲邊梯形是有連續(xù)曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：現(xiàn)在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區(qū)間[a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。顯然：把區(qū)間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點a=x0<x1<...<xn-1<xn=b把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間[x0，x1]，...[xn-1,xn],在每個小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度的乘積f(ξi)△xi，并作出和，如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區(qū)間上的點ξi怎樣取法，只要當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時，和S總趨于確定的極限I，這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作。即：關(guān)于定積分的問題我們有了定積分的概念了，那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？定理（1）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。（2）：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積。定積分的性質(zhì)性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.即：性質(zhì)(2)：被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面.即：性質(zhì)(3)：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤（a<b)性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)≤≤M(b-a)性質(zhì)(5)：如果f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：=f(ξ)(b-a)注：此性質(zhì)就是定積分中值定理。微積分積分公式積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并且設(shè)x為[a,b]上的一點.現(xiàn)在我們來考察f(x)在部分區(qū)間[a,x]上的定積分,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續(xù)，因此此定積分存在。如果上限x在區(qū)間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在[a,b]上定義了一個函數(shù)，記作φ(x):注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)）定理(1)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)[a,b]上具有導(dǎo)數(shù)，在并且它的導(dǎo)數(shù)是（a≤x≤b)(2)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)。注意：定理（2）即肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的，又初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系。牛頓--萊布尼茲公式定理(3)：如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)，則注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間的聯(lián)系。它表明：一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數(shù)再去見[a,b]上的增量。因此它就給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。例題：求解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù)。因此，在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:例題:計算解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=a時，t=π/2.于是：注意：在使用定積分的換元法時，當(dāng)積分變量變換時，積分的上下限也要作相應(yīng)的變換。定積分的分部積分法計算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計算定積分也有分部積分法。設(shè)u(x)、v(x)在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的定積分，并移向得：上式即為定積分的分部積分公式。例題：計算解答：設(shè)，且當(dāng)x=0時，t=0；當(dāng)x=1時，t=1.由前面的換元公式得：再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設(shè)u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：故：廣義積分在一些實際問題中，我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點的積分，它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。一：積分區(qū)間為無窮區(qū)間的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取b>a.如果極限存在，則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞）上的廣義積分，記作：，即：=.此時也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發(fā)散，此時雖然用同樣的記號，但它已不表示數(shù)值了。類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，b]上連續(xù)，取a<b.如果極限存在，則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞，b]上的廣義積分，記作：，即：此時也就是說廣義積分發(fā)散。=.收斂。如果上述極限不存在，就說廣義積分如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞,+∞)上的廣義積分，記作：即：，=上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。例題：計算廣義積分解答：二：積分區(qū)間有無窮間斷點的廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，而.取ε>0，如果極限存在，則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b]上的廣義積分，仍然記作：.即：=，這時也說廣義積分收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分發(fā)散。類似地，設(shè)f(x)在[a,b)上連續(xù)，而.取ε>0，如果極限存在，則定義=；否則就說廣義積分發(fā)散。又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外連續(xù)，而.如果兩個廣義積分和都收斂，則定義：=+.否則就說廣義積分發(fā)散。例題：計算廣義積分(a>0)解答：因為，所以x=a為被積函數(shù)的無窮間斷點，于是我們有上面所學(xué)得公式可得：六、空間解析幾何空間直角坐標系空間點的直角坐標系為了溝通空間圖形與數(shù)的研究，我們需要建立空間的點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn)。過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統(tǒng)稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以π/2角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。（如下圖所示）三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱坐標面。取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系。例：設(shè)點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的確定了一個有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖所示）坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對應(yīng)關(guān)系。注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.例：如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是原點，則x=y=z=0，等?？臻g兩點間的距離設(shè)M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式：例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形.解答：由兩點間距離公式得：由于，所以△ABC是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。方向角與方向余弦設(shè)有空間兩點，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為有向線段.記作.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.關(guān)于方向角的問題若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。方向角的余弦稱為有向線段或相應(yīng)的有向線段的方向余弦。設(shè)有空間兩點，則其方向余弦可表示為：從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關(guān)系式：注意：從原點出發(fā)的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。方向數(shù)方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數(shù)就可以了。這三個與方向余弦成比例且不全為零的數(shù)A，B，C稱為空間直線的方向數(shù)，記作：{A，B，C}.即：據(jù)此我們可得到方向余弦與方向數(shù)的轉(zhuǎn)換公式：，，其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。關(guān)于方向數(shù)的問題空間任意兩點坐標之差就是聯(lián)結(jié)此兩點直線的一組方向數(shù)。兩直線的夾角設(shè)L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點O作平行與兩條直線的線段直線L1與L2的夾角..則線段的夾角稱為此兩若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：其中：θ為兩直線的夾角。若知道L1與L2的方向數(shù)則有公式為：兩直線平行、垂直的條件兩直線平行的充分必要條件為：兩直線垂直的充分必要條件為：平面與空間直線平面及其方程我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。設(shè)給定點為Po(x0,y0,z0),給定法線n的一組方向數(shù)為{A,B,C}A2+B2+C2≠0，則過此定點且以n為法線的平面方程可表示為：注意：此種形式的方程稱為平面方程的點法式。例題：設(shè)直線L的方向數(shù)為{3，-4，8}，求通過點(2,1,-4)且垂直于直線L的平面方程.解答：應(yīng)用上面的公式得所求的平面方程為：即我們把形式為：Ax+By+Cz+D=0.稱為平面方程的一般式。其中x,y,z的系數(shù)A，B，C是平面的法線的一組方向數(shù)。幾種特殊位置平面的方程1、通過原點其平面方程的一般形式為：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐標軸平行于x軸的平面方程的一般形式為：By+Cz+D=0.平行于y軸的平面方程的一般形式為：Ax+Cz+D=0.平行于z軸的平面方程的一般形式為：Ax+By+D=0.3、通過坐標軸通過x軸的平面方程的一般形式為：By+Cz=0.通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為：Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐標軸垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直線及其方程任一給定的直線都有著確定的方位.但是,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,它們相互平行.如果要求直線再通過某一定點,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數(shù)和定點的坐標表示出來。設(shè)已知直線L的方向數(shù)為{l,m,n}，又知L上一點Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為：上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對稱式。直線方程也有一般式，它是有兩個平面方程聯(lián)立得到的，如下：這就是直線方程的一般式。平面、直線間的平行垂直關(guān)系對于一個給定的平面，它的法線也就可以知道了。因此平面間的平行與垂直關(guān)系，也就轉(zhuǎn)化為直線間的平行與垂直關(guān)系。平面與直線間的平行與垂直關(guān)系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關(guān)系?？偟膩碚f，平面、直線間的垂直與平行關(guān)系，最終都轉(zhuǎn)化為直線與直線的平行與垂直關(guān)系。在此我們就不列舉例題了。曲面與空間曲線曲面的方程我們知道，在平面解析幾何中可把曲線看成是動點的軌跡.因此，在空間中曲面可看成是一個動點或一條動曲線(直線)按一定的條件或規(guī)律運動而產(chǎn)生的軌跡。設(shè)曲面上動點P的坐標為(x,y,z)，由這一條件或規(guī)律就能導(dǎo)出一個含有變量x,y,z的方程：如果此方程當(dāng)且僅當(dāng)P為曲面上的點時，才為P點的坐標所滿足。那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形?？臻g曲線的方程我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯(lián)立方程組來表示，這就是直線方程的一般式。一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面方程的聯(lián)立方程組來表示。設(shè)有兩個相交曲面，它們的方程是程組：，，那末聯(lián)立方便是它們的交線方程。兩類常見的曲面1、柱面設(shè)有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線。2、旋轉(zhuǎn)面設(shè)有一條平面曲線C，繞著同一平面內(nèi)的一條直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)面的軸。下面我們再列舉出幾種常見的二次曲面二次曲面的名稱二次曲面的方程橢球面單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓拋物面七、多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的概念我們前面所學(xué)的函數(shù)的自變量的個數(shù)都是一個，但是在實際問題中，所涉及的函數(shù)的自變量的個數(shù)往往是兩個，或者更多。例：一個圓柱體的體積與兩個獨立變量r,h有關(guān)。`我們先以二個獨立的變量為基礎(chǔ)，來給出二元函數(shù)的定義。二元函數(shù)的定義設(shè)有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量z稱為變量x與y的二元函數(shù)。記作：z=f(x,y).其中x與y稱為自變量，函數(shù)z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域。關(guān)于二元函數(shù)的定義域的問題我們知道一元函數(shù)的定義域一般來說是一個或幾個區(qū)間.二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成的連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域，不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域。如果一個區(qū)域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數(shù)M，則稱D為有界區(qū)域；否則稱D為無界區(qū)域。常見的區(qū)域有矩形域和圓形域。如下圖所示：例題：求的定義域.解答：該函數(shù)的定義域為：x≥,y≥0.二元函數(shù)的幾何表示把自變量x、y及因變量z當(dāng)作空間點的直角坐標，先在xOy平面內(nèi)作出函數(shù)z=f(x,y)的定義域D；再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值z；當(dāng)M點在D中變動時，對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)z=f(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性在一元函數(shù)中，我們曾學(xué)習(xí)過當(dāng)自變量趨向于有限值時函數(shù)的極限。對于二元函數(shù)z=f(x,y)我們同樣可以學(xué)習(xí)當(dāng)自變量x與y趨向于有限值ξ與η時，函數(shù)z的變化狀態(tài)。在平面xOy上，(x,y)趨向(ξ,η)的方式可以時多種多樣的，因此二元函數(shù)的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜得多。如果當(dāng)點(x,y)以任意方式趨向點(ξ,η)時，f(x,y)總是趨向于一個確定的常數(shù)A，那末就稱A是二元函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)→(ξ,η)時的極限。這種極限通常稱為二重極限。下面我們用ε-δ語言給出二重極限的嚴格定義：二重極限的定義如果定義于(ξ,η)的某一去心鄰域的一個二元函數(shù)f(x,y)跟一個確定的常數(shù)A有如下關(guān)系：對于任意給定的正數(shù)ε，無論怎樣小，相應(yīng)的必有另一個正數(shù)δ，凡是滿足的一切(x,y)都使不等式成立，那末常數(shù)A稱為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y)→(ξ,η)時的二重極限。正像一元函數(shù)的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：二重極限的運算法則如果當(dāng)（x,y)→(ξ,η)時，f(x,y)→A，g(x,y)→B.那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0像一元函數(shù)一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數(shù)連續(xù)的定義：二元函數(shù)的連續(xù)性如果當(dāng)點(x,y)趨向點(x0,y0)時，函數(shù)f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(x0,y0)處的函數(shù)值f(x0,y0)，那末稱函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處連續(xù).如果f(x,y)在區(qū)域D的每一點都連續(xù)，那末稱它在區(qū)域D連續(xù)。如果函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續(xù)的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個間斷點。關(guān)于二元函數(shù)間斷的問題二元函數(shù)間斷點的產(chǎn)生與一元函數(shù)的情形類似，但是二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜，它除了有間斷點，還有間斷線。二元連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零）和復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。例題：求下面函數(shù)的間斷線解答：x=0與y=0都是函數(shù)的間斷線。偏導(dǎo)數(shù)在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)我們同樣要研究它的"變化率"。然而，由于自變量多了一個，情況就要復(fù)雜的多.在xOy平面內(nèi)，當(dāng)變點由(x0,y0)沿不同方向變化時，函數(shù)f(x,y)的變化快慢一般說來時不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。在這里我們只學(xué)習(xí)(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時f(x,y)的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點.把y固定在y