2021年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）含答案

2021年高考文數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共12題；共45分）1.設(shè)集合，則(

)A.

B.

C.

D.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A.

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.

該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.

估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

3.已知，則z=（

）A.

-1-i

B.

-1+i

C.

-+i

D.

--i4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(

)A.

B.

C.

D.

5.點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為(

)A.

B.

C.

D.

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為（

）（≈1.259）A.

1.5

B.

1.2

C.

0.8

D.

0.67.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正試圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（

）A.

B.

C.

D.

8.在中，已知，則(

)A.

1

B.

C.

D.

39.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則(

)A.

7

B.

8

C.

9

D.

1010.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為(

)A.

0.3

B.

0.5

C.

0.6

D.

0.811.若,，則（

）A.

B.

C.

D.

12.設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f（-x）．若(

)A.

B.

C.

D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共17分）13.若向量滿足||＝3，||＝5，?＝1，則||＝________．14.己知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______．15.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則＝________．16.已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)堆成的兩點(diǎn)，且，則四邊形PF1QF2的面積為_(kāi)_______。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共40分）17.

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：

18.記為的前項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列．證明：是等差數(shù)列．19.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形．分別為和的中點(diǎn)，．（1）求三棱錐F－EBC的體積；（2）已知為棱上的點(diǎn)，證明：．20.設(shè)函數(shù)，其中a>0．（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）若y＝f(x)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍．21.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線L：x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP丄OQ.已知點(diǎn)M（2,0）,且M與L相切，（1）求M的方程；（2）設(shè)A1,A2,A3,是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2，A1A3均與M相切，判斷A2A3與M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.四、[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]。（共1題；共10分）22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cosθ.（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1,0）,M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足

=,寫(xiě)出P的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點(diǎn).五、[選修4－5：不等式選講]（共1題；共2分）23.已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=|2x+3|-|2x-1|.??（1）畫(huà)出f（x）和y=g（x）的圖像；（2）若f（x+a）≥g（x）,求a的取值范圍.

答案解析部分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.【解析】【解答】解：由2x>7，得，故，

則根據(jù)交集的定義易得M∩N={5,7,9}.

故答案為：B【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.2.【解析】【解答】解：對(duì)于A，由頻率分布直方圖得

對(duì)于B，由頻率分布直方圖得

對(duì)于D，由頻率分布直方圖得

故不正確的是C

故答案為：C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖直接求解即可.3.【解析】【解答】解：

故答案為：B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求解即可.4.【解析】【解答】解：對(duì)于A，考察函數(shù)f(x)=kx，易知當(dāng)x<0時(shí)，y=kx單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，考察函數(shù)f(x)=ax，易知當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)=ax單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，考察函數(shù)f(x)=x2，易知當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，考察函數(shù)，易知f(x)=ax單調(diào)遞增，故D正確.

故答案為：D

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性之間求解即可.5.【解析】【解答】解：不妨取雙曲線的一條漸近線為：，即3x-4y=0，

則所求距離為

故答案為：A【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.6.【解析】【解答】解：由題意得，將L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=，

所以

故答案為：C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化求解即可.7.【解析】【解答】解：由題意得正方體如圖所示，

則側(cè)視圖是

故答案為：D

【分析】根據(jù)三視圖的畫(huà)法求解即可.8.【解析】【解答】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°，

即19=4+BC2+2BC

即BC2+2BC-15=0

解得BC=3或BC=-5(舍去)

故BC=3

故答案為：D【分析】由余弦定理直接求解即可.9.【解析】【解答】由題意知S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列，

即4,2，S6-6成等比數(shù)列，

則4×（S6-6）=22解得S6=7

故答案為：A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.10.【解析】【解答】解：3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行一共有以下10種排法：

11100,11010,11001,10110,10101,10011,01110,01101,01011,00111其中2個(gè)0不相鄰共有6種，

所以所求概率為

【分析】根據(jù)古典概型，結(jié)合列舉法求解即可.11.【解析】【解答】解：由題意得

，

則，解得sinα=，

又因?yàn)?/p>

,所以

所以

故答案為：A

【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.12.【解析】【解答】解：因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f－x)，

所以

故答案為：C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)中函數(shù)的性質(zhì)求解即可.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【解析】【解答】解：由得

即9-2×1+=25

解得

故答案為：【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則求解即可.14.【解析】【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，

則底面面積S=πr2=36π，

則由得,

則

故圓錐的側(cè)面積為【分析】根據(jù)圓錐的特征，結(jié)合圓錐的體積與側(cè)面積公式求解即可.15.【解析】【解答】解：由題意得，則T=π，ω=2，所以,

將點(diǎn)代入得，則，

則，故，

所以，

所以，

故答案為：【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.16.【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2，

所以

故答案為：8

【分析】根據(jù)橢圓的定義及直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式求解即可三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率=頻數(shù)/總體直接求解即可；（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法直接求解即可.18.【解析】【分析】由數(shù)列是等差數(shù)列，及

，即可得到等差數(shù)列的公差,從而得到，，進(jìn)一步根據(jù)ａｎ與ｓｎ的關(guān)系，以及等差數(shù)列的定義，證明

是等差數(shù)列.

19.【解析】【分析】（１）連結(jié)AF，通過(guò)計(jì)算得出AC線段的長(zhǎng)度，得到，

進(jìn)一步可以計(jì)算出F－EBC的體積；

（２）由(1)的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，通過(guò)證明

平面，而得到DE.20.【解析】【分析】（１）先明確函數(shù)的定義域，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)a的取值，討論導(dǎo)數(shù)年的正負(fù)，來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（２）首先注意到且的圖與軸沒(méi)有公共點(diǎn)這一特點(diǎn)，表明的圖象在軸的上方，求函數(shù)f(x)的最小值，只要最小值大于０即可，解不等式，即可得到結(jié)果。21.【解析】【分析】（1）先設(shè)拋物線的方程由對(duì)稱性，可知，進(jìn)而由可以很容易求出拋物線的P值，進(jìn)而寫(xiě)出拋物線的方程；

由于圓M的圓心已知,且與x=1相切，立刻知道半徑，故很容易求得M的方程；（２）先設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)，分斜率不存在及直線斜率均存在討論，分別寫(xiě)出相應(yīng)的直線方程，根據(jù)相關(guān)直線與圓相切的條件，分別代入拋物線方程，