2016年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽試題與解答(B卷)

年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（B卷）一試一、選擇題：（每小題8分，共64分）1.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且則的值為．2.設(shè)，則平面點集的面積為．3.已知復(fù)數(shù)滿足（表示的共軛復(fù)數(shù)），則的所有可能值的積為．4.已知均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像關(guān)于點中心對稱，且，則的值為．5.將紅、黃、藍3個球隨機放入5個不同的盒子中，恰有兩個球放在同一盒子的概率為．6.在平面直角坐標系中，圓關(guān)于直線對稱的圓為則直線的方程為．7.已知正四棱錐-的高等于長度的一半，是側(cè)棱的中點，是側(cè)棱上點，滿足，則異面直線所成角的余弦值為．8.設(shè)正整數(shù)滿足，且．這樣的的個數(shù)為．這里，其中表示不超過的最大整數(shù)．二、解答題：（共3小題，共56分）9.（16分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程的兩個不同的解，求的值．10.（20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值．11.（20分）在平面直角坐標系中，雙曲線的方程為．求符合以下要求的所有大于的實數(shù)：過點任意作兩條互相垂直的直線與，若與雙曲線交于兩點，與交于兩點，則總有成立．2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（B卷）試題及答案一試一、選擇題：（每小題8分，共64分）1.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且則的值為．答案：6．解：由于且故另解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則又因而，從而2.設(shè)，則平面點集的面積為．答案：7．解：點集如圖中陰影部分所示，其面積為3.已知復(fù)數(shù)滿足（表示的共軛復(fù)數(shù)），則的所有可能值的積為．答案：3．解：設(shè)由知，比較虛、實部得又由知，從而有即，進而于是，滿足條件的復(fù)數(shù)的積為4.已知均為定義在上的函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像關(guān)于點中心對稱，且，則的值為．答案：2016.解：由條件知①②由圖像的對稱性，可得結(jié)合①知，③由②、③解得從而另解：因為，①所以②因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以③又因為的圖像關(guān)于點中心對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，，，從而④將③、④代入①，再移項，得⑤在⑤式中令，得⑥由②、⑥解得于是5.將紅、黃、藍3個球隨機放入5個不同的盒子中，恰有兩個球放在同一盒子的概率為．解：樣本空間中有個元素．而滿足恰有兩個球放在同一盒子的元素個數(shù)為過所求的概率為6.在平面直角坐標系中，圓關(guān)于直線對稱的圓為則直線的方程為．答案：解：的標準方程分別為由于兩圓關(guān)于直線對稱，所以它們的半徑相等．因此解得故的圓心分別是直線就是線段的垂直平分線，它通過的中點，由此可得直線的方程是7.已知正四棱錐-的高等于長度的一半，是側(cè)棱的中點，是側(cè)棱上點，滿足，則異面直線所成角的余弦值為．解：如圖，以底面的中心為坐標原點，的方向為軸的正向，建立空間直角坐標系．不妨設(shè)此時高從而由條件知，因此設(shè)異面直線所成的角為，則8.設(shè)正整數(shù)滿足，且．這樣的的個數(shù)為．這里，其中表示不超過的最大整數(shù)．解：由于對任意整數(shù)，有等號成立的充分必要條件是，結(jié)合知，滿足條件的所有正整數(shù)為共有個．另解：首先注意到，若為正整數(shù)，則對任意整數(shù)，若，則這是因為，當時，，這里是一個整數(shù)，故因此，當整數(shù)滿足時，容易驗證，當正整數(shù)滿足時，只有當時，等式才成立．而，故當時，滿足正整數(shù)的個數(shù)為二、解答題：（共3小題，共56分）9.（16分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且是方程的兩個不同的解，求的值．解對，有即因此，是一元二次方程的兩個不同實根，從而即由等比數(shù)列的性質(zhì)知，10.（20分）在中，已知（1）將的長分別記為，證明：；（2）求的最小值．解（1）由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即（2）由余弦定理及基本不等式，得等號成立當且僅當因此的最小值為11.（20分）在平面直角坐標系中，雙曲線的方程為．求符合以下要求的所有大于的實數(shù)：過點任意作兩條互相垂直的直線與，若與雙曲線交于兩點，與交于兩點，則總有成立．解過點作兩條互相垂直的直線與易知，與交于點（注意這里），與交于點由條件知，解得這意味著符合條件的只可能為下面驗證符合條件．事實上，當中有某條直線斜率不存在時，則可設(shè)，就是前面所討論的的情況，這時有若的斜率都存在，不妨設(shè)注意這里（否則將與的漸近線平行，從而與只有一個交點）．聯(lián)立與的方程知，即這是一個二次方程式，其判別式為．故與有兩個不同的交點．同樣，與也有兩個不同的交點由弦長公式知，用代替，同理可得于是綜上所述，為符合條件的值．加試一、（40分）非負實數(shù)和實數(shù)滿足：（1）；（2）是奇數(shù)．求的最小值．解：由已知條件（1）可得：于是（注意）①不妨設(shè)則若，并且令則于是由條件（2）知，是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，這與矛盾．因此必有，或者則于是結(jié)合①得又當時滿足題設(shè)條件，且使得不等式等號成立，所以的最小值為1．二、（40分）設(shè)是正整數(shù)，且是奇數(shù)．已知的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，證明：有一個約數(shù)，滿足證明：記，，則的不超過的正約數(shù)的集合是若結(jié)論不成立，我們證明對，因為是奇數(shù)，故，又，而沒有在區(qū)間中的約數(shù)，故，即，故反過來，對，設(shè)，則，是奇數(shù)，又，故從而所以故的不超過的正約數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾．從而結(jié)論成立．三、（50分）如圖所示，是平行四邊形，是的重心，點在直線上，使得證明：平分解：連接，與交于點由平行四邊形的性質(zhì)，點是的中點．因此，點在線段上．由于，所以四點共圓，并且其外接圓是以為直徑的圓．由相交弦定理知①取的中點注意到故有因此關(guān)于點對稱．于是②結(jié)合①、②，有，因此四點共圓．又所以，即平分四、（50分）設(shè)是任意一個11元實數(shù)集合．令集合求的元素個數(shù)的最小值．解：先證明考慮到將中的所有元素均變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時，集合不變，故不妨設(shè)中正數(shù)個數(shù)不少于負數(shù)個數(shù)．下面分類討論：情況一：中沒有負數(shù)．設(shè)是中的全部元素，這里于是上式從小到大共有個數(shù)，它們均是的元素，這表明情況二：中至少有一個負數(shù)．設(shè)是