雙曲線知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)大全

雙曲線知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)大全雙曲線知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)大全/NUMPAGES14雙曲線知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)大全雙曲線知識(shí)點(diǎn)與性質(zhì)大全雙曲線與方程【知識(shí)梳理】1、雙曲線的定義（1）平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于定長的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，其中兩定點(diǎn)、稱為雙曲線的焦點(diǎn)，定長稱為雙曲線的實(shí)軸長，線段的長稱為雙曲線的焦距.此定義為雙曲線的第一定義.【注】，此時(shí)點(diǎn)軌跡為兩條射線.（2）平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為定值的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，其中定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，定直線稱為雙曲線的準(zhǔn)線，定值稱為雙曲線的離心率.此定義為雙曲線的第二定義.2、雙曲線的簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)上焦點(diǎn)，下焦點(diǎn)虛軸與虛軸實(shí)軸長、虛軸長實(shí)軸長、虛軸長有界性，對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.3、漸近線雙曲線的漸近線為，即，或.【注】①與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可以設(shè)為；②漸近線為的雙曲線方程可以設(shè)為；③共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.共軛雙曲線具有相同的漸近線.④等軸雙曲線：實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線稱為等軸雙曲線.4、焦半徑雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑.若為雙曲線上的任意一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，，其中.5、通徑過雙曲線焦點(diǎn)作垂直于虛軸的直線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，稱線段為雙曲線的通徑，且.6、焦點(diǎn)三角形為雙曲線上的任意一點(diǎn)，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形.若，則焦點(diǎn)三角形的面積為：.7、雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（虛半軸長）.8、雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡為9、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線，雙曲線：，則與相交；與相切；與相離.10、平行于（不重合）漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).【注】過平面內(nèi)一定點(diǎn)作直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線可以為4條、3條、2條，或者0條.11、焦點(diǎn)三角形角平分線的性質(zhì)點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，是的角平分線上一點(diǎn)，且，則，即動(dòng)點(diǎn)的點(diǎn)的軌跡為.12、雙曲線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)為雙曲線上的任意兩點(diǎn)，且，則.【推廣1】直線過雙曲線的中心，與雙曲線交于兩點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，則（均存在）.【推廣2】設(shè)直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則.13、中點(diǎn)弦的斜率直線過與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，則直線的斜率.14、點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作實(shí)軸的平行線，交漸近線于兩點(diǎn)，則定值.15、點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作漸近線的平行線，交漸近線于兩點(diǎn)，則定值.【典型例題】例1、雙曲線的漸近線方程為，焦距為，這雙曲線的方程為_________.【變式1】若曲線表示雙曲線，則的取值范圍是_________.【變式2】雙曲線的兩條漸近線的夾角為_________.【變式3】已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程為_________.【變式4】若橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)、，為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則_________.【變式5】如果函數(shù)的圖像與曲線恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B.C.D.【變式6】直線與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，設(shè)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【變式7】設(shè)連接雙曲線與的四個(gè)頂點(diǎn)為四邊形面積為,連接其四個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為，則的最大值為_________.例2、設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn),若點(diǎn)在雙曲線上，且，則=_________.【變式1】過雙曲線的左焦點(diǎn)的弦，則（為右焦點(diǎn)）的周長為_________.【變式2】雙曲線的左、右焦點(diǎn)、，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則_________.例3、設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的任意一點(diǎn)，且，求的面積.例4、已知直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果以為直徑的圓恰好過原點(diǎn),試求的值.例5、已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，那么是否存在實(shí)數(shù)使得兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.例6、已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求此直線的斜率的取值范圍為_________.【變式1】已知曲線:；（1）畫出曲線的圖像；（2）若直線：與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若，為曲線上的點(diǎn)，求的最小值.【變式2】直線：與曲線：.（1）若直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線被曲線截得的弦長，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例7、已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，,是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【變式】是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值等于_________.例8、已知?jiǎng)訄A與兩個(gè)定圓和都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【變式1】的頂點(diǎn)為,，的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)的軌跡方程是_________.【變式2】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程.例9、已知雙曲線，若點(diǎn)為雙曲線上任一點(diǎn)，則它到兩漸近線距離的乘積為_________.例10、焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的兩條漸近線經(jīng)過原點(diǎn)，且兩條漸近線均與以點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓相切，又知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過點(diǎn)及的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距的取值范圍.【變式】設(shè)直線的方程為，等軸雙曲線：右焦點(diǎn)為.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn),記中點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)，求直線在軸上的截距的取值范圍.例11、已知雙曲線方程為：.（1）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求的值；（2）設(shè)直線是圓：上動(dòng)點(diǎn)（）處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.例12、已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，其漸近線方程是，雙曲線過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）動(dòng)直線經(jīng)過的重心，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使平分線段，證明你的結(jié)論.例13、已知點(diǎn)、為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且．圓的方程是．（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；（3）過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：．例14、已