其他真題北大數(shù)學(xué)分析

PAGE1997入學(xué)PAGE1997入學(xué)考試試考試科目：數(shù)學(xué)分（10分）將函數(shù)f(x)arctan1x2在x0點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)， ln(1

dxx三、（15分）f(x在上有任意階導(dǎo)數(shù)f(nx)，且對(duì)任意有限閉區(qū)間abf(nx)在ab上一致收斂于(x)(n，求證：(x)cexc為常數(shù)四（15分）設(shè)xn0(n1,2)及l(fā)imxna，用N語言證明： SSx2y2z21 （20分）xf(uvyg(uv，ww(xyuvf

，

2(fg)2(fg)00

2w2w（2）w(uvwf(uvg(uv

0z dz dxdyd（15分）計(jì)算三重積 :x2y2z22

(x2y225/ 設(shè)f(x)定義在[a,b]上若對(duì)任意的gR([a,b])有fgR([a,b]) （A.fR([ab，BgC([ab，C.f可微，D.f設(shè)fC((a,b))，若存在limf(x)1，limf(x)2 （ f(x在[ab一致連續(xù)，B.f(x在[abC.f(x在(ab一致連續(xù)，D.f(x在(ab 若反常（廣義0f(x)dx，0g(x)dx0f(x)g(xdx（A.收斂，B.發(fā)散，C.不一定收斂，D.若limnan1，則 （ A.發(fā)散，B.收斂，C.不一定收斂，D.f(xy在區(qū)域{(xyx2y21}fx(0,0)0fy(0,0)，則f(x, （在點(diǎn)(0,0)處連續(xù) B.在點(diǎn)(0,0)處可微C.在點(diǎn)(0,0)處不一定連續(xù)，D.在點(diǎn)(0,0)處不可微。（24分）計(jì)算下列極限（寫出演算過程：

(alim(1cotxx0 limnx0n12x3dydzx2ydzdxx2zdxdySz0,zbx2y2a2S dx dy，C:y1,x4,yC

（16分）解答下列問(1)nn求冪級(jí)數(shù) xn的收斂半徑 n!e

2n(n（24分）試證明下列命題sin反常積分01xpd f(xy在Gxyx2y21}f(x0x0fy(xy在Gf(xy在(00)考試科目：數(shù)學(xué)分

1999年入學(xué)考試試 設(shè){an}是一個(gè)數(shù)列，若在任一子列{an中均存在收斂子列{an，則{an 列。（fC((ablimf(xA0limf(xB0 (a,b)，使得f()0 （f(x在[ab上有界，若對(duì)任意的0f(x在[abf(x[a,b]上可積 （設(shè)f(x)，g(x)在[0,1]上的暇積分均存在，則乘積f(x)g(x)在[0,1]上的暇積分必 （ 設(shè)級(jí)數(shù)bn收斂，若有anbn，(n1,2,)，則級(jí)數(shù)an必收斂 （ ，(a22x0log(1x)(1ex2sin sin n nsin

nn1 n1lim1(1x2)ndn1n1

nn

，(a（45分）求解下列命n31求級(jí)數(shù)n3

fC([0,1])(0,1)

1718證明：級(jí)數(shù)

narctannn

dy在(0,0設(shè)uf(xyz，g(x2eyz0ysinxfg d0， df 設(shè)f(x)在[1,1]上二次連續(xù)可微，且有l(wèi)im f(n)絕對(duì)

PAGE2001入學(xué)PAGE2001入學(xué)考試試考試科目：數(shù)學(xué)分一、計(jì)算（8分×5=40分(ax)x求極限lim ，a0 2x 求 到含x項(xiàng)的Taylor（2x 1xb ln dx，其中ab0(x2y2z2dxdydz，Vx2y2z2R20Vx3dydzy3dxdzz3dxdySx2y2z2a2S二、敘述定義（5分+5分=10分

f(xxa0f(xA（13分）f(x在[ab上一致連續(xù)，又在[bcabc，用定義證明f(x)在[a,c]上一致連續(xù)。（10分）f(xy，使得它在原點(diǎn)(0,0) （12分）f(x在[ab連續(xù)，證明不等式：[bf(x)dx]2ba)bf2x)dx （7分+8分=15分 在區(qū)間(0,2)內(nèi)展開f(x)的Fourier級(jí)數(shù)：f(x) 2 n1 1（10分）f(x在點(diǎn)af(a0limf(ann f （10分）證明函數(shù)f(x) （10分）Df(xyDxxyy0f(xyDx2x2

x2y2(a0割下的部分144t0f(0)0,f(0)1

fx2y2z2

x2y2z2dxdydzf在[0,1xdxx2x2y七（10分）求常數(shù)，使得曲線積分x2yL

dy0(r 對(duì)上半平（10分）f(x

arctan(bx2)arctan(ax20x0

dxba0（10分f(x是以2f(xxxf(x與|fFourier級(jí)數(shù)，它們的Fourier級(jí)數(shù)是否一致收斂（給出證明sin )1cosx222（10分）設(shè)02

xn1 1f(xf(x f(a2f(a2四（10分）設(shè)f(x) arcsinx，求f(x)yy

（10分）設(shè)u(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明u滿足偏微分

x22xy2當(dāng)且僅當(dāng)：存在二階連續(xù)可微函數(shù)(t),(t，使得u(xy)x(xyy(xyx2x2zx2y2

dxdydz，其中是曲面z （10分）Ix2dydzy2dzdxz2dxdy，其中x2y2z2az(a0)的外 n八（10分）判斷級(jí)數(shù)ln n數(shù)nxenx在區(qū)間(0,)上可逐項(xiàng)求導(dǎo)（10分）f(xg(x)xyf(xy)dyg(x0PAGE2005PAGE2005入學(xué)考試試考試科目：數(shù)學(xué)分x2sinx一、設(shè)f(x) sinx，試求limsupf(x)和liminff(x)x2sin二、證明下列各題

f(x在開區(qū)間(abf(x在(abf(x在(ab一致連f(x在開區(qū)間(ab)(abf(x在(a三、設(shè)f(x)sin2(x21)，求f(x)的林展開式f(n0)(n1,f(xy五、計(jì)算x2dsLx2y2z21xyz0L六、設(shè)函數(shù)列{fn(x)}滿足下列條件（1）nfn(x在[abfn(xfn1x)(x[ab證明：{fn(x)}在[ab上一致收斂于s(x)。（15分）f(xyx33xyy26y2y1f(xy在(2,2)（15分）F(xyx2y3|x|yy5F(xy0在(yf(xf(x（15分）x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中曲面

1

sinx

0y[cdlimf(xygylimf(x y（15分）f(x在區(qū)間[abf(x在[abRiemann極限lim()0

f(i

)收斂的Cauchyx(恒有|fn(x|M。假定對(duì)(中任意區(qū)間[ab

fn(xdx0。證明：對(duì)任意區(qū)間[cd以及[cdh(x)，恒有

fn(x)h(xdx0（15分）設(shè)存在一區(qū)間[a,b]使得兩個(gè)Fourier級(jí)數(shù) 2ancosnxbnsinnx20ncosnxnsinnx都在[ab上收斂，并且其和函數(shù)在[ab上連續(xù)且相等

f(x)dx f(x)dx 考試科目：數(shù)學(xué)分

2007年入學(xué)考試試一、用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的介f(xg(xf(x)g(x在此區(qū)間上也一致連續(xù)。三、f(x在[ab4階導(dǎo)數(shù)，且有f(4)0f(0，(a,b，證明：x1x2(abf(x1f(x2f()(x1x2四、構(gòu)造一函數(shù)在上無窮次可微f(2n1)0)nf(2n0)0，n0,1,D

f(的點(diǎn)(,)有無窮多個(gè)六、求sin4xdydzeydzdxz2dxdyx2y2z21z0方向向上。sinf(xx

，討論不同p對(duì)f(x在(1,上積分的斂散性九、F(x,y)nyen(xy)，是否存在a0以及h(x)(1a,1a)上可導(dǎo)b十、設(shè)f(x)，g(x)在[a,b]上可積，證明：f(x)，g(x)的展開式有相同系數(shù)的充要條件是af(x)g(x)dx0。b2009年入學(xué)考試數(shù)學(xué)證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)能取到最大值和最小值fx和gx是R上的有界一致連續(xù)函數(shù)fxgx在R上一致連續(xù)設(shè)fx是周期為2的連續(xù)函數(shù)，且其Fourier級(jí)a0acosnxbsin2 2處處收斂，求Fourier級(jí)數(shù)處處收斂到fx設(shè)a，b都是有界數(shù)列且 2ab若limb存在求證：liman存在

n n n是否存在RR的連續(xù)可fx滿足fx0f'xffxfx是0,上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)，且limfx0，求證x求曲線積

fxsinnxdx0yzdxzxdyxydzL其中L是球面x2y2z21與球面x12y12z124交成的曲線xyz0xyz，求2cosx3cosy4cosz的最大最小值fxCab，對(duì)任何xCablimfxhfxh0 求證fx在ab上單調(diào)不減已知fx是0,上正的連續(xù)函數(shù)，且 dx，求證lim

fxdxAAA2A證明：設(shè)an[A,A]為有界數(shù)列若ks.t.Cardlalak，則ak即為an之聚點(diǎn)。kCardlalak?，F(xiàn)用反證法證明an至少有一聚點(diǎn)。若x[A,A均不是anx0，s.t.Cardl;alBx(x)

xN,s.ta[A,A]N (x)i n i1 2、是否存在數(shù)列x，其極限點(diǎn)構(gòu)成的集合為M1,1 n因?yàn)闃O限點(diǎn)的集合為閉集，而MM10Mn

1,233If(xII上一致收斂的多項(xiàng)式序列Pn(x)，其極限函數(shù)為f(x) 0,N0，

nmN

P(x)P(x)Pn(x為多項(xiàng)式

x 且數(shù)列anm,按行排列具有性質(zhì)；

anm0 NlimaNa

nlanNaNanl

n

為Cauchy令nf(x

Pn(x)PN(x)anN2f(1)11e1x2f(x)dx22求證：存在(0,1)f(2f( 1

],2F(12e1x2f(x)dxf(1F(12Lagrange中值定理推得(,1)(0,1),0F()e12(f()2f())即n5fC1(II是有界閉區(qū)n

f(2f(F(x)

f

1f(x) n 證明函數(shù)序列Fn(x)II是有界開區(qū)間，問Fn(x)I上證明：a.Fn(x)IfC1(RfI上一致i.e.0,N0,s.t.x,xxx1

f(x)f

1 nnN

Fn(x)f(x)

f(xx)f(x)nFn(xf(xIn事實(shí)上，我們有例子，對(duì)f(x)lnx,x(0,1),

Fn(x)f(x),x nF()f() )n 1ln0解答：記Qrn，n2f(x)1n2nr則x

Qf

0)f

0)1f(xxQc7、設(shè)廣義積分xf(x)dx與f(x)dx

I(t)xtf0

I(t)xtf0 1xtf(x)dxxtf 1xt1f(x)dxxt1xf(x)dx 對(duì)任意11t[]，xtf0 1xtf(x)dxxtf 1xt1f(x)dxxt1xf(x)dx x(0,1)0xt1x1limxt10，關(guān)于t[]x1,0xt1x1limxt10，關(guān)于t[]Dirichlet判別法，xtf(x)dx在[]0又(xtf0xtlnxf(x)dx1xt1lnxf(x)dxxt1lnx(xf 在[,]上也是一致的（證法同上面的類似I(txtlnxf(x)dx在[]0由于的任意性，可知I(t)在(1,1)上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) ydxzdyxdz，其中為x2y2z21與xyz0解：記xyz:x2y2z21,xyzn (1,1,1)(cos,cos,cos)利用Stoks

I xdyydzcosxyz 0ds0x1y21zsinz0，并將f(x,y)在點(diǎn)(0,0)展開為 F(xyzx1y21zsinzF(0,0,00 F(xyz

cosz

2zf(xy定義在(0,0)F(x,y,f(x,y))z(0,0)011zcoszz由 21 y2zycoszzy在(0,0)

(0,0)2，

(0,0)022xx

sinz

)2coszzx2zxysinzzxzycoszzxy011 2

sinz(z

)2coszzyy

(0,0)0，zxy(0,0)0，z

(0,0)23故f(x,y)在(0,0)的展開f(xy)2x1y2o(x2y2 10f(xg(x是[0,

f(x)dx和

均發(fā)散。設(shè)h(xminf(xg(x)，試問n例如記Snk!fgk

h(x)dx f(x)(2n3) g(x)(2n4) 則 f(x)dx

(2n3)!12n3g(x)dx

(2n2)!(2n

(2n12n4 但是h(x)

(2n3)(2n4)n0

h(x)(n3) 從而0h(x)dx(n2)(n3)2

2n2011年數(shù)學(xué)分析考研試題f(xIf(I是一個(gè)區(qū)間f0,1上連續(xù)有界，

f(x)不存在，證明存在數(shù)列

0(n),使得nf'(x)nf(xI上連續(xù)，f(x)f(x也可導(dǎo)構(gòu)造兩個(gè)以2為周期的函數(shù)，使其Fourier級(jí)數(shù)在0,f(x在[0,1F(x,y)f(x在[0,1][0,1上可積f(xy其定義域中的某個(gè)點(diǎn)上存在非零方向?qū)?shù)，且在三個(gè)方向上的方向向量均存在且相等.證明f(x,y)不可微.設(shè)D為2上閉集，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f(x,y)，使它在一個(gè)由光滑曲線所圍成的D設(shè)T(x),xD 11 11 2

存在 設(shè)[abf(xfxf(xf f(x)在[ab連續(xù)2012!Q??m ????????????U???!d2x+y2+sinxy+1=xy ?y=f(x)??3x=0?fP?Tyrxn!f(x)= ??f(4)(0)"x1?sin

(x2+y2+z2yzV:{(x,y,z):x+y+

≤ V?!d???(.n?y??Y??0??n?2A^?Y??0??ny?(.n"8!D={(x,y):x2+y2<?,??? ?Y?? >?D?y)≥0.qu(x,yD??v?2u+?u+?u=??D ?ky)≥?!f3(,???x0∈(a,bf S={t∈R∪{?∞}∪{+∞} 3???{xn}?(a,b?v→x0,f0n→t,(n→S 8??qefx3(,b)?{x0}?n(n≥ ??y?f)x3(,l!f(x),g(x)∈C∞(?∞,+∞)?E??3R???g?? ??hx3?,1)?uf(x)?3R?(?1,1)?ug(x"∞?!Q??y?∞ 0Hl"∞?!@?<P??1Q???S Cauchy??n,???^Bolzano-?-%√S{xn}?vx1=1,xn+1 4+3xn,n=1,2, RRRp x2+y2dxdydz,???

x2+y2?z=1??y??????∞x3e?nx3[0, ????∞lncos

??f:Rn→R3n\0??,30:?Y,?lim?f(p)=0,i=1,2,.. n.y?f30f(x),g(x)?[,1]??Y??,?[0,1],?ef(x0)+3f(x0)=eg(x0)+

y?3x0P?={p∈R3||p|≤ V:R3→R3,V=(V1,V2,V3)C??|,33\???0,?V1+?V2+?V333 ef:R3→RC??,

?f·V ?V1f:R→R?k.?Y??,?limR+∞f t→0+ f:[0,1]→[0,1]C??,f(0)=f(1)=0,?f00(x)<0,?x∈[0,1].?{(,f(x))|x∈[0, l?L.y?L<12015年數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析考研試題及答案特別感謝交大的姚老師的指正計(jì)算

∫xe?t2dt? 0 討論廣義積分+∞ln(11?sin1

的斂散性 ?(1?cosx2)√2 2?函數(shù)f(xy)=?

y≠yy=

f(x,y)(0,0)可微嗎?證明你的結(jié)論L計(jì)算∫x[cosydx(ysinydy]Lysinx(0,0)(πL cos證明函數(shù)級(jí)數(shù)

n21(0,2π)一致收斂,并且在(0,2π)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)x0=1,xn+1

3+,3+,

n0.證明序列{xn}收斂并求其極限函數(shù)fC2(R2),且對(duì)于任意(xyR2,

(x,y)+??y

(x,y)>0.證明: 沒有極大值點(diǎn)f[ab]連續(xù)(ab)f(b任意xab]f(xf(ac(x存在ξab)f′(ξ

f(b)?c b? .證明: 必具備下述兩條性質(zhì)中的一個(gè)FR3R2C1映射x0R3,y0R2F(x0y0Fx0處的JacobiDF(x0)的秩為2ε以及C1γ(tεεR3γ′(0)是非零向量F(γ(0))y0開集URn,fU→Rn是同胚映fU上一致連明:URn參考答案：計(jì)算

∫xe?t2dt? 0 由羅必塔法則有+原式

e?x2?1

2

+ 討論廣義積分ln(11sin1

的斂散性∣ln1+

–sin1

ln(1+u)?sinu (x

x∣= ∣uxlim∣u→+∞

2

?sinu 1+u?cosu

(1+ =

∣

lim ∣

所以絕對(duì)收?(1?cosx2)2 2?函數(shù)f(xy)=?

y≠yy=

f(xy)(0,0)可微嗎?證明你的結(jié)論解：不可微，證明如若f(x,y)在(0,0)可微，則在(0,0)的某鄰域有存在AB使得f(xy)=f(xy)?f0)=Ax+By+o(√x2+y2于是fy0Byo(y)，得到B0f(x0)0Axo(x)，得到A于是f(xyo(√x2y2f (, 但√1 n2 =1?cos1?但√ )2+ 計(jì)算∫Lx[1cosydx(ysinydy],這里L(fēng)是曲線ysinx(0,0)(π解D為y0從(π0)到(0,0),D為y0從(00)到(π0),則L與D構(gòu)成單連通區(qū)域Ω的邊界。原式∫?Ω[x1cosydxex(ysinydyD′[xcosydxex(ysiny]=??Ω]

?(?ex(y?siny))

?(ex(1?cos dx + sin= sin=∫πexdx

∫=∫

π

0 (sinxex|?

exsin2 =?∫πexsin 最后的1個(gè)定積分，分部積分兩次可得一方原式

(eπ?5 cos證明函數(shù)級(jí)數(shù)2

))n=0 +導(dǎo)數(shù)

∣cosnx 證n1時(shí)

n2+1∣≤

，由M判別法得到級(jí)數(shù)一致收斂在任意關(guān)于x=π對(duì)稱的閉區(qū)間[π?p,π+p]?(0.2π) cos2首先每個(gè)一 ，且 )′2

對(duì)于函

h(x)

n2+

n2+ 1?

，連1有01+ ,1有0(x)

(1 n1n2單調(diào)遞減趨于0再注意到

x?

x=2cosnxsin 2

2n+

x

∣1

x+sin2∣≤ 于是,時(shí)有，∣∑k=0coskx)

cos∣說明∑n(?cos∣一致有界

雷判別法知，一般項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)一致收斂又逐項(xiàng)求導(dǎo)定理知，在這個(gè)閉區(qū)間上，原函x級(jí)數(shù)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連對(duì)任

x∈(0,2π)，只需取

=min{

,π

}，在閉區(qū)間[πpπp]做上述討論即可2 x0=1,xn+1

3+,3+,5

解注意到:xn1，x1

4x0，于是x1x00 注意到 ? 3+ 3+ 3+ 3+ 知xn+1?xn的符號(hào)都與x1?0相同，說明xn=3+=而 3+

=2

<3+2從而xn有界,xn極限存在,記作x,在遞推式令n→+∞得到2xx22

?x2+x?3=0?x=?1±因xn0知有:

xn=√13?注意：在搞定1和2的上下界后，用上下極限的知識(shí)，可以迅速搞定。另外可以由數(shù)列的壓縮性來證明極限的函數(shù)fC2(R2),且對(duì)于任意(xyR2,

(x,y)+??y

(x,y)>0.證明: 沒有極大值點(diǎn)證f在(ab)出取得極大值，則有fx(abfy(ab0。那么f(x,b)在x=a的某領(lǐng)域內(nèi)有f(x,b)?f(a,b)≤0,在這個(gè)鄰域內(nèi)使用由中值定理，則存在x與a之間的某數(shù)cx 使得f(xbf(ab得到fxx(cxb)≤

(a,b))(x?a)?

2fxx(cx,b)(x?a)2

2fxx(cx,b)(x?a)2≤令xa,則cxa，得到fxx(ab?同理可?y2(ab0? ?

于是?x2(a,b)+?y2(a,b)≤0 注意：利用黑塞矩陣相關(guān)，會(huì)有更簡潔的表達(dá)f[ab]連續(xù)(ab)f(b任意xab]f(xf(ac(x存在ξab)f′(ξ定義F(xf(xf(ac(x令F(x)=f(x)?f(a)?c(x?a),有F(a)=F(b)=否則存在y∈(a,b),F(y)≠0現(xiàn)在只需證明存在ξab)，F(xiàn)(ξ由中值定理存在ηay)及ζyb)滿足

f(b)?cb? .證明: 必具備下述兩條性質(zhì)中的一個(gè)cy?F′(η)=F(y)?y?

=F(y及F(ζy?

F(y)?y?

=y?因?yàn)閥ayb異號(hào)，故F(ηF(ζ)中必有一個(gè)為正FR3R2C1映射x0R3,y0R2F(x0y0Fx0Jacobi矩陣DF(x0)的秩為2ε以及C1映射γ(tεεR3γ′(0)是非零向量F(γ(0))y0證： 證： xR，x)ix的第i個(gè)分由于rankJF=2,所以存在一個(gè)二階子式非零

,

≠)≠ f1考慮映射fRR, f1

∣?∣→?那么f在x0處的雅可比行列式det??(x1, ?∣≠→? 10鄰域上的映記a=(x0)3,根據(jù)局部的逆映射定理,存在(y0,a)鄰域上的映

T滿足f°T因此存在a的鄰域Iaεaε)使得f令映射m(tattε那么考慮γ(tT→

)=

x),?x∈→→ 顯然γ∈

且γ(0)≠0,而且F(γ(0))

開集U?Rn,fU→Rn是同胚映射,且 在U上一致連續(xù).證明:U=Rn證URn,取xU?U，則存在U中的點(diǎn)列xn收斂于x由一致連續(xù)性，對(duì)給定?0，存在δ0，當(dāng)stUstδ時(shí)fsft于是存在自然數(shù)N，當(dāng)mn>N時(shí)|xm?xn|<δ，于是fm)?fn<fn} 列，設(shè)fn→y,n→∞。得到xn=f1fn)→f?1(y)。即x=f?1(y)?

?10Y0fx?[, f(ti)(xi?3.(150)(a, ?Y??f50f(