《統(tǒng)計學經典范例》

頻數(shù)分布編制舉例例6、某批貨物依價值分組（變量分組）的頻數(shù)分布注釋：本例中的累計頻數(shù)和累計頻率均為向上累計。貨物價值（元）

組中值x（元）

貨物數(shù)（箱）

比重（%）

累計頻數(shù)（箱）

累計頻率（%）

500-60055021011.671800100.00400-50045054030.00159088.33300-40035068037.78105058.33200-30025023813.2237020.55100-2001501327.331327.33合計—1800100.00——.頻數(shù)分布編制舉例例7、某市外貿企業(yè)依類別分組（品質分組）的頻數(shù)分布注釋：本例中的累計頻數(shù)和累計頻率均為向上累計。企業(yè)類別

組中值

企業(yè)數(shù)（個）

比重（%）

累計頻數(shù)（個）

累計頻率（%）

綜合貿易公司4016.66240100.00其它產品貿易公司2510.4220083.34工業(yè)品貿易公司14861.6717572.92農產品貿易公司2711.252711.25合計240100.00——.頻數(shù)分布編制舉例例8、某礦井工人依生產效率分組（變量分組）的頻數(shù)分布注釋：本例中的累計頻數(shù)和累計頻率均為向上累計。效率（噸/日）

組中值x（噸）

工人數(shù)（人）

比重（%）

累計頻數(shù)（人）

累計頻率（%）

0-2100.000.02-431254.61254.64-65940.92195.56-8714.522100.0合計—22100.0——.頻數(shù)分布編制舉例例7、某礦井工人依工資等級分組（品質分組）的頻數(shù)分布注釋：本例中的累計頻數(shù)和累計頻率均為向上累計。工資等級工人數(shù)（人）

比重（%）

累計頻數(shù)（人）

累計頻率（%）

高級29.122100.0中級1045.52090.9初級731.81045.4無級313.6313.6合計22100.0——.價值總量舉例例5.1.4：2005年與2006年某企業(yè)計算的可變價格產值和按2000年價格計算的不變價格產值：

價值總量年份20052006可變價格產值（萬元）

2005年產量×2005年價格2006年產量×2006年價格不變價格產值（萬元）2005年產量×2000年價格2006年產量×2000年價格.絕對指標的類關系估算法舉例。例5.1.5某供銷社依據其所屬的甲、乙、丙、丁、戊五個食品加工廠的產量與費用資料（見下表），試確定擬辦類似工廠（己），在產量為240噸時的費用。解法一：參照指標估算因為接近，所以生產費用也接近：=470（百元）解法二：參照比例估算

因為接近，所以生產費用率也接近：

=470÷250×240=451.2(百元)

工廠指標甲廠乙廠丙廠丁廠戊廠己廠產量（噸）200220250270280240費用（百元）400450470450520？.例5.1.4某供銷社依據其所屬的甲、乙、丙、丁、戊五個食品加工廠的產量與費用資料（見下表），試確定擬辦類似工廠己廠在產量為240噸時的費用。解法三：參照趨勢估算因為己廠類同已辦廠，所以己廠的指標點（，）應該滿足已辦廠的指標點所決定的直線方程：

（兩點式拉格朗日插值公式）（百元）工廠指標甲廠乙廠丙廠丁廠戊廠己廠產量（噸）200220250270280240費用（百元）400450470450520？.比較相對指標舉例例5.2.17甲乙兩廠同種指標的比較相對指標=甲廠某種指標／乙廠同種指標例5.2.18若某企業(yè)10月份計劃產量200噸，實際產量240噸，則有：產量計劃完成相對指標=240／200=120%例5.2.19若某企業(yè)10月份計劃成本80萬元，實際成本72萬元，則有：成本計劃完成相對指標=72／80=90%例5.2.20若某企業(yè)2006年產值計劃提高2%，實際提高3.2%，則有：產值計劃完成相對指標=（100%+3.2%）／（100%+2%）=101.18%例5.2.21若某企業(yè)三季度次品計劃降低1.8%，實際降低2.1%，則有：質量計劃完成相對指標=（100%－2.1%）／（100%－1.8%）=99.69%.例5.2.22若某企業(yè)四月份計劃產量8噸，截止于四月二十日已完成6噸，則有：計劃完成進度指標=6／8=75%例5.2.23若某企業(yè)8月份計劃成本40萬元，實際成本38萬元，則有：超額完成成本計劃相對指標=（40－38）／40=5%.算術平均數(shù)表示的平均指標（一）1、定義算術平均數(shù)表示的平均指標就是總體的標志總量與單位總量的相比結果。記作2、種類（1）簡單算術平均數(shù)

（適用于未分組資料）（2）加權算術平均數(shù)

（適用于分組資料）其中為權數(shù)（頻數(shù)），為權重系數(shù)（頻率）。.算術平均數(shù)表示的平均指標（二）3、性質.算術平均數(shù)舉例（一）例6.1.1某養(yǎng)豬農戶的8頭存欄豬的體重分別為90公斤、108公斤、94公斤、102公斤、105公斤、113公斤、107公斤、118公斤，求這8頭豬的平均體重。=（90+108+94+102+105+113+107+118）／8=104.6（公斤）

.算術平均數(shù)舉例（二）例6.1.2依據某省縣市總體的GDP分組表，求縣均GDP。

=（500×12+600×8+…+1000×5）／（12+8+…+5）=740（千萬元）=500×0.20+600×0.13+…+1000×0.08=740（千萬元）

GDP（千萬元）縣市數(shù)(個)

比重(%)

累計頻數(shù)或頻率

500122060081375016278501017900915100058合計60100.算術平均數(shù)舉例（三）例6.1.3依據某省縣市總體的GDP分組表，求縣均GDP。=（600×20+800×26+1000×14）／（20+26+14）=780（千萬元）

=600×0.333+800×0.434+1000×0.233=780（千萬元）GDP（千萬元）

組中值（千萬元）

縣市數(shù)(個)

比重(%)

累計頻數(shù)或頻率500～7006002033.3700～9008002643.4900～110010001423.3合計—60100.0.算術平均數(shù)舉例（四）例6.1.4依據某批出口貨物的價值分組表，求貨均價值。

=(550×210+450×540+350×680+250××238+150×132)

÷(210+540+680+238+132)≈375.44（元）

=550×0.1167+450×0.3+350×0.3778+250×0.1322+150×0.0733

≈375.44（元）貨物價值（元）

組中值（元）

貨物數(shù)（箱）

比重（%）累計頻數(shù)（箱）

累計頻率（%）

500-60055021011.671800100.00400-50045054030.00159088.33300-40035068037.78105058.33200-30025023813.2237020.55100-2001501327.331327.33合計—1800100.00——.調和平均數(shù)表示的平均指標1、定義調和平均數(shù)表示的平均指標是總體單位標志值倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)（即倒數(shù)平均數(shù)的倒數(shù)）。記作2、種類（1）簡單調和平均（適用于未分組資料）

（2）加權調和平均數(shù)

（適用于分組資料）.調和平均數(shù)舉例（一）（1）求平均價格依據的基本關系式：購價=購額／購量例6.1.5某種蔬菜早市、中市和晚市的價格分別為1.2元、1元和0.9元。若于早市、中市和晚市分別購買1元、1.5元和2元該種蔬菜，求平均購買價格。平均購買價格=全天購買總額／全天購買總量=（1+1.5+2）／（1÷1.2+1.5÷1+2÷0.9）=0.99（元）特別強調：調和平均數(shù)“平均購買價格”是購買蔬菜總體的平均指標.調和平均數(shù)舉例（一）（1）求平均價格依據的基本關系式：購價=購額／購量例6.1.6某種貨物英國、美國、法國和德國的出口價格分別為12美元、8美元、10美元和9美元。若于上述四國分別購進8000美元、20000美元、12000美元和18000美元該種貨物，試求該貨物的平均進口價格。平均進口價格=進口總額／進口總量=(8000+20000+12000+18000)／(8000÷12+20000÷8+12000÷10+18000÷9)≈9.11（美元）特別強調：調和平均數(shù)“平均進口價格”是進口貨物總體的平均指標.調和平均數(shù)舉例（二）（2）求平均計劃完成程度依據的基本關系式：計劃完成程度=完成數(shù)／計劃數(shù)例6.1.7利用下表資料計算某集團公司下屬企業(yè)的平均產值計劃完成程度平均產值計劃完成程度=集團實際總產值／集團計劃總產值=（77+105+47）／（77÷1.1+105÷1.05+47÷0.94）=104.1%

特別強調：調和平均數(shù)“平均產值計劃完成程度”不是集團企業(yè)總體的平均指標。企業(yè)產值計劃完成程度（%）

實際產值（萬元）

計劃產值（萬元）甲1107770乙105105100丙944750合計—229220.調和平均數(shù)舉例（三）（3）求平均勞動生產率依據的基本關系式：勞動生產率=實際總產量／實際總工時例6.1.8利用下表資料計算某煤礦公司下屬礦井的平均勞動生產率（或平均資產負債率）平均勞動生產率=全礦實際總產量／全礦實際總工時=（20+22+25+26+28）／（20÷4.2+22÷4.5+25÷4.7+26÷5+28÷5.2）=4.736（百噸／天）

特別強調：調和平均數(shù)“平均勞動生成率”不是公司礦井總體的平均指標。

礦井勞動生產率（百噸／天）

實際產量（百噸）

實際工時（天）

一號井4.2204.76二號井4.5224.89三號井4.7255.32四號井5.0265.20五號井5.2285.38合計—12125.55.調和平均數(shù)舉例（四）（4）求平均盈利水平依據的基本關系式：業(yè)務盈利水平=業(yè)務盈利總額／業(yè)務總量例6.1.9利用下表資料計算某貿易公司下屬分公司五月份的平均業(yè)務盈利水平平均業(yè)務盈利水平=全公司盈利總額／全公司業(yè)務總量=（20+22+25+26+28）／（20÷4.2+22÷4.5+25÷4.7+26÷5+28÷5.2）=4.736（萬元／單）

特別強調：調和平均數(shù)“平均業(yè)務盈利水平”不是分公司總體的平均指標，卻是公司業(yè)務總體的平均指標。分公司業(yè)務盈利水平（萬元／單）

業(yè)務盈利總額（萬元）

業(yè)務總量（單）

A4.2204.76B4.5224.89C4.7255.32D5.0265.20E5.2285.38合計—12125.55.幾何平均數(shù)表示的平均指標

1、定義幾何平均數(shù)表示的平均指標就是總體的個單位標志值的連乘積的次方根。記作2、種類（1）簡單幾何平均數(shù)（適用于未分組資料）（設,則）（2）加權幾何平均數(shù)（適用于分組資料）（設,則）若將個總體單位劃分為組，則應有：

.幾何平均數(shù)舉例（一）（1）求連續(xù)遞進工序的平均合格率依據的基本關系式：合格率=合格品數(shù)／原料數(shù)例6.1.10某產品需經八道連續(xù)遞進工序完成生產，各道工序的合格率依次為90%、92%、92%、93%、96%、96%、96%、98%，求平均合格率。解：假設最初投入的原料數(shù)為，則八道工序的合格品數(shù)依次為、、、……、。最終合格率=最終合格品數(shù)／最初投入原料數(shù)=平均合格率=最終合格率的8次方根===0.941=94.1%

特別強調：幾何平均數(shù)“平均合格率”不是產品總體的平均指標，卻是工序總體的平均指標。.幾何平均數(shù)舉例（二）（2）求連續(xù)遞進（按復利）計息的平均本利率依據的基本關系式：本利率=本利和／本金例6.1.11某項16年期的投資按復利計息：第1年利率為6%，第2年至第4年利率為8%，第5年至第6年利率為9%，第7年至第12年利率為11%，第13年至第16年利率為14%。試求平均年利率。解：假設最初投入的本金為元，則各年本利和依次為元、元、…、元。最終本利率=最終本利和／最初投入本金=平均本利率=最終本利率的16次方根===110.6%

平均年利率=平均本利率-100%=10.6%

特別強調：幾何平均數(shù)“平均年利率”不是投資總體的平均指標，卻是投資程序總體的平均指標。.幾何平均數(shù)舉例（三）（3）求連續(xù)遞進開展業(yè)務程序的平均圓滿率依據的基本關系式：程序圓滿率=程序效益／預計效益例6.1.12若將DDP貿易方式下的出口簡化為8道程序，即“簽訂合同”、“審證備貨”、“出口商檢”、“出口報關”、“投保裝運”、“交單結匯”、“進口報關”及“進口商檢”

，各程序圓滿率分別為90%、95%、95%、95%、92%、96%、94%及94%。試求平均圓滿率。解：假設最初預計的效益為，則各程序取得的效益依次為、、…、。最終圓滿率=最終過序效益／最初預計效益=平均圓滿率=最終圓滿率的8次方根=≈≈93.86%

特別強調：幾何平均數(shù)“平均圓滿率”不是業(yè)務總體的平均指標，卻是業(yè)務程序總體的平均指標。.眾數(shù)的計算（一）1、單項式頻數(shù)分布列中的眾數(shù)①確定眾數(shù)所在組：最高頻數(shù)所在組②確定眾數(shù)：頻數(shù)最高組的標志值例6.1.13確定某貿易公司2008年某月業(yè)務損失的單項式頻數(shù)分布列中的眾數(shù)：

=11.4（萬元）

損失(萬元)業(yè)務數(shù)（筆）比重（%）向上累計頻數(shù)（筆）總損失(萬元)5.41515.46.8210313.67.21547.28.31558.38.5210717.09.6210919.210.8151010.810.9151110.911.45251657.012.52101825.013.2151913.214.8152014.8合計20100—202.4.眾數(shù)的計算（二）2、組距式頻數(shù)分布列中的眾數(shù)①確定眾數(shù)所在組：最高頻數(shù)所在的第組；②確定眾數(shù)：利用下限公式或上限公式計算眾數(shù)其中：為眾數(shù)組的下限，為眾數(shù)組的上限，為眾數(shù)組的頻數(shù)，為眾數(shù)組的前一組的頻數(shù)，為眾數(shù)組的后一組的頻數(shù)，為眾數(shù)組的組距。.例6.1.14確定某貿易公司2008年某月業(yè)務損失的組距式頻數(shù)分布列中的眾數(shù)：

（萬元）特別強調：眾數(shù)與統(tǒng)計分組有關；眾數(shù)不一定是實際標志值序列中的值。

損失區(qū)間（萬元）組中值（萬元）業(yè)務數(shù)（筆）比重（%）向上累計頻數(shù)（筆）總損失（萬元）5--763153187--984207329--1110420114011--1312735188413-計—20100—202.例6.1.15確定某貿易公司2008年某月業(yè)務損失的單項式頻數(shù)分布列中的中位數(shù)：

=（10.80+10.90）／2=10.85（萬元）

損失(萬元)業(yè)務數(shù)（筆）比重（%）向上累計頻數(shù)（筆）總損失(萬元)5.41515.46.8210313.67.21547.28.31558.38.5210717.09.6210919.210.8151010.810.9151110.911.45251657.012.52101825.013.2151913.214.8152014.8合計20100—202.4.中位數(shù)的計算（二）2、組距式頻數(shù)分布列中的中位數(shù)ⅰ、確定中位數(shù)所在組：恰好不小于的向上累計頻數(shù)所在組即第組；ⅱ、確定中位數(shù)：利用下限公式或上限公式計算眾數(shù)(下限公式)(上限公式)其中：為中位數(shù)組的下限，為中位數(shù)組的上限，為中位數(shù)組的頻數(shù)，為中位數(shù)組的前一組的向上累計頻數(shù)，為中位數(shù)組的后一組的向下累計頻數(shù)，為中位數(shù)組的組距。.例6.1.16確定某貿易公司2008年某月業(yè)務損失的組距式頻數(shù)分布列中的中位數(shù)：

萬元

特別強調：中位數(shù)與統(tǒng)計分組有關；中位數(shù)不一定是實際標志值序列中的值；中位數(shù)與眾數(shù)不一定在同一組。

損失區(qū)間（萬元）組中值（萬元）業(yè)務數(shù)（筆）比重（%）向上累計頻數(shù)（筆）總損失（萬元）5--763153187--984207329--1110420114011--1312735188413-計—20100—202.平均指標與變異指標計算的綜合練習例6.2.3針對30箱進口貨物的價值額的單項式頻數(shù)分布列求貨物價值額的算術平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、平均差、標準差和標準差系數(shù)：

=49380／30=1646（元）

價值額（元）貨物數(shù)（箱）比重（%）向上累計頻數(shù)（箱）總價值（元）82013.33182082668227696013.332960686470596100026.67420001372834632120013.33512004461989161300310.008390010383591481500413.33126000584852641600310.0015480013863481800516.672090007701185801900310.002357007621935482000413.332780001416501264230026.672946001308855432240013.33302400754568516合計30100.00—49380101004874520.（元）（元）（元）

（元）

.例6.2.4針對30箱進口貨物的價值額的組距式頻數(shù)分布列求貨物價值額的算術平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、平均差、標準差和標準差系數(shù)：（元）

價值區(qū)間（元）組中值（元）貨物數(shù)（箱）比重（%）向上累計頻數(shù)（箱）總價值（元）800-1100950413.33438002920213160011003385000172073960014003315108509101183001700-20001850826.67231480013602312002000-23002150413.3327860018808836002300-26002450310.0030735023101778700合計—30100.00—50400111005883000.

（元）

（元）

（元）

（元）.平均指標與變異指標計算的綜合練習例6.2.8針對某車間職工工資的單項式頻數(shù)分布列求職工工資的算術平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、平均差、標準差和標準差系數(shù)。

=20240／20=1012（元）

工資（元）職工數(shù)（人）比重（%）向上累計頻數(shù)（人）總工資（元）5401515404722227846802103136066422044872015472029285264830155830182331248502107170032452488960210919201045408108015101080684624109015111090786084114052516570064081920125021018250047611328813201519132030894864148015201480468219024合計20100—2024040761139320.

=1140（元）

=（1080+1090）／2=1085（元）

=4076／20=203.8（元）

（元）.例6.2.9針對某車間職工工資的組距式頻數(shù)分布列求職工工資的算術平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、平均差、標準差和標準差系數(shù)。

=20200／20=1010（元）（元）

（元）=4220／20=211（元）（元）

工資區(qū)間（元）組中值（元）職工數(shù)（人）比重（%）向上累計頻數(shù)（人）總工資（元）500--700600315318001230504300700--90080042073200840176400900--11001000420114000404001100--1300120073518840013302527001300--15001400210202800780304200合計—20100—2020042201238000.例7.2.1.已知某賓館的客房服務人員比重序列、客房服務人員序列和賓館職工序列的資料，求各序列下半年的平均發(fā)展水平和平均增長水平。

月份123456789101112客房服務人員(人)

849290898683838584888685賓館職工(人)120128130127125124126125127128126127客房人員比重(%)

707269706967666866696867.例7.2.2.已知某企業(yè)的資產利潤率序列、利潤總額序列和資產總額序列資料，求各序列全年的平均發(fā)展水平和平均增長水平。

某年各月121371012利潤總額(萬元)380400371416380420資產總額(萬元)360038003750378036903680資產利潤率(%)10.210.59.911.010.311.4.例7.2.3.已知某企業(yè)的產品積壓率序列、產品庫存序列和產品產量序列資料，求各序列全年的平均發(fā)展水平和平均增長水平。

某年各月121371012產品庫存(噸)380400371416380420產品產量(噸)360038003750378036903680產品積壓率(%)10.210.59.911.010.311.4.例7.2.4.某個建設項目最初投資800萬元，此后五年共追加投資4300萬元.求投資的年平均增長量。

年份123456投資（萬元）.指標時態(tài)序列的變動速度舉例例7.3.1.某企業(yè)2000～2004年的產值分別為80萬元、84萬元、90萬元、95萬元、98萬元，求該企業(yè)產值的平均發(fā)展速度和平均增長速度。.

例7.3.2.某企業(yè)2008年產量較2000年翻了兩番，求該企業(yè)產量的平均發(fā)展速度和平均增長速度。

.環(huán)比增長1%的絕對數(shù)

環(huán)比增長1%的絕對數(shù)=前一期水平的1%=（逐期增長量／100）／環(huán)比增長速度例7.3.3.甲乙兩廠2000年產值分別為800萬元、600萬元，2001年產值分別為864萬元、648萬元。試比較兩廠產值增長的實際力度。不難算出兩廠產值的環(huán)比增長速度均為8%，但是甲廠環(huán)比增長1%的絕對數(shù)為8萬元，乙廠環(huán)比增長1%的絕對數(shù)為6