拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月問題情境

第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物線的生活實例拋球運動第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。一、定義即:︳︳︳︳··FMlN定點F叫做拋物線的焦點。定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。定點F與定直線l的位置關(guān)系是怎樣的？第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月二、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)··FMlN步驟：（1）建系（2）設(shè)點（3）列式（4）化簡（5）證明想一想？1.求曲線方程的基本步驟是怎樣的？第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月yxoy=ax2+bx+cy=ax2+cy=ax2思考：

拋物線是一個怎樣的對稱圖形？··FMlN

回憶一下，看看上面的方程哪一種簡單，為什么會簡單？啟發(fā)我們怎樣建立坐標(biāo)系？學(xué)生活動

第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)xyo··FMlNK設(shè)︱KF︱=p則F（，0），l：x=-

p2p2設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），由定義可知，化簡得y2=2px（p＞0）2取過焦點F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，線段KF的中垂線為y軸第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月其中p為正常數(shù)，它的幾何意義是:

焦點到準(zhǔn)線的距離2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

方程y2=2px（p＞0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程yox··FMlNK方程y2=2px（p＞0）表示拋物線的焦點在X軸的正半軸上

焦點：F（，0），準(zhǔn)線L：x=-

p2p2構(gòu)建數(shù)學(xué)

第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有幾種不同的形式?它們是如何建系的?構(gòu)建數(shù)學(xué)

第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月準(zhǔn)線方程焦點坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置

圖

形三.四種拋物線及其它們的標(biāo)準(zhǔn)方程

x軸的正半軸上

x軸的負(fù)半軸上

y軸的正半軸上

y軸的負(fù)半軸上y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(----第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月想一想:1、根據(jù)上表中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式與圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線

方程的應(yīng)關(guān)系？第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一：一次項的變量如為X（或Y）則X軸（或Y軸）為拋物線的對稱軸，焦點就在對稱軸上。第二：一次的系數(shù)的正負(fù)決定了開口方向

2、如何判斷拋物線的焦點位置，開口方向？第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3、我們以前學(xué)習(xí)的拋物線和現(xiàn)在學(xué)習(xí)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有什么聯(lián)系？第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)合拋物線y2=2px(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的幾何性質(zhì):(1)范圍(2)對稱性(3)頂點類比橢圓、雙曲線如何探索拋物線的幾何性質(zhì)？x≥0,y∈R關(guān)于x軸對稱,對稱軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點..yxoF第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)離心率(5)焦半徑(6)通徑e=1通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長度：2P第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對稱

關(guān)于x軸對稱

關(guān)于y軸對稱

關(guān)于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）已知拋物線的方程是y=－6x2,求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（3）已知拋物線的焦點坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。解:因焦點在y軸的負(fù)半軸上,且p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為:x=-8y232解：因為ｐ＝３，故焦點坐標(biāo)為（－,０）32準(zhǔn)線方程為x=-－.數(shù)學(xué)應(yīng)用

解:方程可化為:故焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點是F（3，0）；（2）準(zhǔn)線方程是x=；（3）焦點到準(zhǔn)線的距離是2。y2=12xy2=xy2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y練習(xí)1

第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2、已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(1)y2=12x、(2)y＝12x2求它們的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，，焦點坐標(biāo)是（0，），準(zhǔn)線方程是y＝－.

（1）p＝6，焦點坐標(biāo)是（3，0）準(zhǔn)線方程是

x＝－3．解：

練習(xí)1

第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)應(yīng)用

例2、求過點A（-3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。．AOyx解：當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上時，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=當(dāng)焦點在x軸的負(fù)半軸上時，把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y或y2=x

。第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

已知拋物線經(jīng)過點P(4,－2)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或x2=-2py練習(xí)2

第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例3、點M與點F（4，0）的距離比它到直線l：x＋5＝0的距離小1，求點M的軌跡方程．

如圖可知原條件等價于M點到F（4，0）和到x＝－4距離相等，由拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點，x＝－4為準(zhǔn)線的拋物線．因為p/2=4,所以p=8,所求方程是y2＝16x．分析：

數(shù)學(xué)應(yīng)用

第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1、M是拋物線y2=2px（P＞0）上一點，若點M的橫坐標(biāo)為X0，則點M到焦點的距離是——————X0+—2pOyx．FM．拋物線(p.0)上任意一點P到焦點的距離（稱為焦半徑）

等于練習(xí)3

第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2、拋物線y2=2px(p>0)上一點M到焦點的距離是a(a>),則點M到準(zhǔn)線的距離是

,點M的橫坐標(biāo)是

.aa－

3、拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標(biāo)是

.第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線相交于兩點A、B,

求線段AB的長.lXyFAOB數(shù)學(xué)應(yīng)用

第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析1：直線與拋物線相交問題，可聯(lián)立方程組求交點坐標(biāo)，由距離公式求；或不求交點，直接用弦長公式求。

解法一：如圖8—22，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點的坐標(biāo)為F（1，0），所以直線AB的方程為y=x－1.①將方程①代入拋物線方程y2=4x,得（x－1）2=4x

化簡得x2－6x＋1=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)得：x1+x2=6,x1x2=1

.將x1+x2,x1x2的值分別代入弦長公式第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析2：直線恰好過焦點，可與拋物線定義發(fā)生聯(lián)系，利用拋物線定義將AB轉(zhuǎn)化成A、B間的焦點弦（兩個焦半徑的和），從而達(dá)到求解目的.同理于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2＋2.于是

|AB|=6+2=8解法二：在圖8—22中，由拋物線的定義可知，|AF|=說明：解法二由于靈活運用了拋物線的定義，所以減少了運算量，提高了解題效率.

由方程x2－6x＋1=0，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以得

x1+x2=6第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

求證:以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.A1M1B1AXyOFBlM例題講解

第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月F第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

在拋物線y2=2x上求一點P,

使P到焦點F與到點A(3,2)的距離之和最小.PQlAXyOF例題講解

第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1.直線與拋物線只有一個公共點是它們相切的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．過原點的直線l與雙曲線交于兩點，則l的斜率的取值范圍是___________.

3．過拋物線y2=2px的焦點F的諸弦中，最短的弦長是

。課堂練習(xí)4B2p4.過點(0,2)與拋物線A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)多條只有一個公共點的直線有()C第32頁，課