高數(shù)卷子2007級07二期中試卷答案

B 主考教師：高數(shù)B （525廣義積分

exe2

。ex

1

d e e

1arctg

1() exe2

e2x

e

exex exe e

e 函數(shù)zx2y2在點(diǎn)1,2處，沿點(diǎn)1,2到點(diǎn)2,23方向的方向?qū)?shù) 答案：1232y1交換積分次序2y1

f(x,y)dx 答案0dx0f(xy)dy

f(xy)dy曲面z3x22y2在點(diǎn)(2,1,14)出的切平面方程 .答案：12x4yz14設(shè)zzx,y是由方程x22y23z2e2z所確定的隱函數(shù)，則z

e2z1（8分）x2y3z4與平面2xyz6 x2 直線參數(shù)方程y3z4

2(2t3t42t60，解得t（1，2，2另外，直線的方向向量l1,12)，平面的法向量n2,1,1 sin|ln| 21111

，arcsin5|l||n

121222

2212 2（8 x1的切線，求該切線與拋物線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸ykxyxx

x1即y

k2x2x10，當(dāng)14k20時，它與拋物線yyO xyO x2x0k1，切點(diǎn)為2,1x2

x121 Vπ02xdxπ1x1dx6 x y3（8分）zfxy,ygxfuvgw 2 zyf1fyg y 2z yxf

f1f1xf

f

g

y

y212 y2 y y222

x2x1 x11f11

gy

g

4.（8）x,yuu(xyvv(xy為由方程組xyu2v20 解對方程組同時對x2xvuuv0，y2uu2vv 解得u

4xv2(u2v2

，v

4xu2(u2v25（9x2, f(x,y), x2x2計算二重積分f(xy)dD(xD f(x,y)d4f(x,y)d 其中D1D在第I象限的部分，

|x||y|1|x||y||x||y|2}f(x,y)df(x,y)df(x,y)d 其中D11{(xy|0y1x0xD12{(x,y)|1xy2,x0,y

（如圖因為f(xy)dx2d1dx1xx2dy1x21x)dx

0sin

f(x,y)d

22

d1

2

sincos = x2x22 2 0sin2cos

d2

0sin( 42 2csc()d2csc()d)ctg(

4 2ln[csc3ctg3]ln[csc 2

ctg4 222 1] 1]2ln[2122]

2

2 222

1

令u ，2

sin

1

,cos

1u2

d

1u2當(dāng)0u0u12所以

d

2 10sin1

012u

102(u1222

2(u 02(u0

12ln1222

2121

1

2222

212所 f(x,y)d41

222

1)142ln(2DD

y26（9分）I(x2y2z)dxdydz，其中是由曲線

zz4x2y22zz40r

xI(x2y2dxdydzzdxdydz

:020z 2 1

(x2y2)dxdydz r3dr[(x2y2)dxdydz r3dr[r4]2zdzz2dz

2z3

128

I(x2y2dxdydzzdxdydz256 (x2y2)7（900

1x2x2x2，x2y2

，試問該函數(shù)在點(diǎn)(00（2）（3）1x2 （1）因|f(x,y)0|(x21x2

(x2y2)

limf(xy0f(00，因此有原函數(shù)在點(diǎn)(00

f(0,0)xx

f(0x,0)f(0,

(x)21(x)21

0fy(00)0點(diǎn)(00fx(000fy(00)0(x)2(x)2

z[fx(0,0)xfy(0,

[(x)2[(x)2(y)2]cos (x)2

=

2cos故原函數(shù)在點(diǎn)(00處可微，且df0

z

zzxyFx

,y 0所確定，證明：

zxy。（8 x z

證明：由Fx ,y 0兩邊分別對x和y求導(dǎo)，可 F11zF

1z01F1Fz

zFF1 yx

2

xx

x

y1 x2 FF

1zF11z01F1Fz

zFF1

yy 2

y x

y1 y2 由上兩式，得1F1FxzyzzFxFzFyFzxy1F1Fx

y1

y

x

1 xxyyzxyyf(x)P與原點(diǎn)OOPOP為在點(diǎn)P處yf(x的法線。(8證明yf(x所確定的曲線為。如果P(x,y，求距離函數(shù)|OP|2x2f(x)y

F(xyxyyf(x由

2y xyf