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文檔簡(jiǎn)介

§4.2泰勒公式二、泰勒公式一、問(wèn)題引入二、泰勒公式的應(yīng)用一問(wèn)題引入泰勒研究了這些問(wèn)題，并能確定這類問(wèn)題的主部，其結(jié)論稱為泰勒定理二泰勒定理2證明作輔助函數(shù)則有即有：化簡(jiǎn)得：3說(shuō)明公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng)

.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫(xiě)為注意到③④*可以證明:④式成立特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見(jiàn)誤差稱為馬克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式4余項(xiàng)估計(jì)式

5舉例例1解：解：解：解：解：例2解：三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.已知例3.

計(jì)算無(wú)理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過(guò)解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為說(shuō)明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò)總誤差為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過(guò)因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.例4.

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.2.利用泰勒公式求極限例5.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),例6利用主部求極限

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