2020-2021學(xué)年北京八十中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京八十中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．（4分）口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)球，用X表示取出球的最小號(hào)碼，則X的取值為（）A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，42．（4分）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），則P（ξ＜3）＝（）A． B． C． D．3．（4分）從3名男生和4名女生中各選2人組成一隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模比賽，則不同的選法種數(shù)是（）A．12 B．18 C．35 D．364．（4分）若二項(xiàng)式（2x+）7的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝（）A．2 B． C．1 D．5．（4分）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24 B．18 C．12 D．96．（4分）給出如下數(shù)據(jù)：第一組：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二組：12，20，14，22，16，11，15，17，18，則下列說(shuō)法：①這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等；②這兩組數(shù)據(jù)的極差相等；③這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；④這兩組數(shù)據(jù)的方差相等．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④7．（4分）從6人中選出4人分別到北京、上海、深圳和廣州4個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有1人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，則這6人中甲、乙兩人不去北京游覽的概率是（）A． B． C． D．8．（4分）2020年5月，修訂后的《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施，某校為宣傳垃圾分類知識(shí)，組織高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行垃圾分類知識(shí)測(cè)試．下表記錄了各年級(jí)同學(xué)參與測(cè)試的優(yōu)秀率（即測(cè)試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)占該年級(jí)總?cè)藬?shù)的比例）．年級(jí)高一高二高三垃圾分類知識(shí)測(cè)試優(yōu)秀率52%71%68%假設(shè)從高k（k＝1，2，3）年級(jí)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)分別進(jìn)行考察，用“ξk＝1”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀，“ξk＝0”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀．Dξk表示測(cè)試成績(jī)的方差，表示則下列判斷正確的是（）A．Dξ1＞Dξ3＞Dξ2 B．Dξ2＞Dξ1＞Dξ3 C．Dξ1＞Dξ2＞Dξ3 D．Dξ2＞Dξ3＞Dξ19．（4分）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai（i＝1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，則不同的排列方法種數(shù)為（）A．18 B．30 C．36 D．4810．（4分）組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法進(jìn)行證明：分別求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展開(kāi)式中xm的系數(shù)．前者（1+x）n+1的展開(kāi)式中xm的系數(shù)為；后者（1+x）（1+x）n+1的展開(kāi)式中xm的系數(shù)為．因?yàn)椋?+x）n+1＝（1+x）（1+x）n，所以這兩個(gè)展開(kāi)式中xm的系數(shù)相等，即，請(qǐng)用“算兩次”的方法化簡(jiǎn)式子＝（）（其中1≤k＜m≤n，k，m，n∈N*）A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布如表：ξ123P？??？請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算ξ的數(shù)字特征，盡管“！”處無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處數(shù)值相同．據(jù)此，同學(xué)們可以計(jì)算出E（ξ）＝，若，則“！”處的數(shù)值應(yīng)是．12．（5分）從某校高一年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)選取100名學(xué)生，將他們參加知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．從成績(jī)?cè)赱70，80），[80，90]兩組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取了6人參加一項(xiàng)活動(dòng)，若從這6人中隨機(jī)選取兩人擔(dān)任正副隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人來(lái)自同一組的概率為13．（5分）設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，（1+）n的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+?+anxn．若點(diǎn)Ai（i，ai）（i＝0，1，2）位置如圖所示，則a＝；3a1+9a2+?+3nan＝.（用數(shù)字作答）14．（5分）若＝a+b（a、b為有理數(shù)），則a+b＝．15．（5分）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某城市肥胖者占10%，中等體型者占82%，消瘦者占8%．已知肥胖者患高血壓的概率為0.2，中等體型者患高血壓的概率為0.1，消瘦者患高血壓的概率為0.05，則該城市居民患高血壓的概率為；若該城市有一居民患有高血壓，那么該居民是肥胖者的概率是（保留三位有效數(shù)字）．三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．（13分）新生嬰兒性別比是指在某段時(shí)間內(nèi)新生兒中男嬰人數(shù)與女嬰人數(shù)的比值的100倍．如表是通過(guò)抽樣調(diào)查得到的某地區(qū)2014年到2018年的年新生嬰兒性別比．年份20142015201620172018新生嬰兒性別比110.8108.0106.4105.4104.8（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰的概率（精確到0.01）；（Ⅱ）從2014年到2018年這五年中，隨機(jī)選取兩年，用X表示該地區(qū)的新生嬰兒性別比高于107的年數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷？并說(shuō)明理由．17．（13分）已知函數(shù)．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值．18．（14分）某部門共有10人，其中有6人已接種某處疫苗，4人未接種該種疫苗，從中隨機(jī)地抽取4人作為樣本，用X表示樣本中接種疫苗者的人數(shù)．（1）若不放回地隨機(jī)抽取，求X＝2或3時(shí)的概率；（2）若有放回的隨機(jī)抽取，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）分別就有放回抽取和不放回抽取，用樣本接種疫苗人數(shù)的比例估計(jì)總體中接種疫苗人數(shù)的比例，求誤差不超過(guò)0.2的概率；試比較兩種抽取方法，哪種抽取方法估計(jì)的結(jié)果更可靠？19．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為，，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線DP與EP的斜率之積等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)F是曲線C的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作直線l的垂線與x軸相交于M，N兩點(diǎn)．若，求此時(shí)直線l的斜率．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（15分）已知{an}是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj（i＞j），在{an}中都存在一項(xiàng)am，使得2ai﹣aj＝am；②對(duì)于{an}中任意項(xiàng)an（n≥3），在{an}中都存在兩項(xiàng)ak，al（k＞l），使得an＝2ak﹣al．（Ⅰ）若，判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；（Ⅱ）若an＝n（n＝1，2，…），判斷數(shù)列{an}是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；（Ⅲ）若{an}是遞增數(shù)列，a1＝0，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為等差數(shù)列．

2020-2021學(xué)年北京八十中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．（4分）口袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)球，用X表示取出球的最小號(hào)碼，則X的取值為（）A．1 B．1，2 C．1，2，3 D．1，2，3，4【分析】羅列出所抽3個(gè)球的編號(hào)可解決此題．【解答】解：編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任意取出3個(gè)球的所有情況為：123，124，125，134，135，145，234，235，245，345．從中可知取出球的最小號(hào)碼有1，2，3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查事件的羅列，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），則P（ξ＜3）＝（）A． B． C． D．【分析】由正態(tài)分布的圖象規(guī)律知，其在x＝μ左側(cè)一半的概率為，故得P（ξ＜3）的值．【解答】解：ξ服從正態(tài)分布N（3，σ2），曲線關(guān)于x＝3對(duì)稱，，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正態(tài)分布的圖象，結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解．3．（4分）從3名男生和4名女生中各選2人組成一隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模比賽，則不同的選法種數(shù)是（）A．12 B．18 C．35 D．36【分析】利用組合知識(shí)，結(jié)合乘法原理，可得結(jié)論【解答】解：從3名男生和4名女生中各選2人組成一隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模比賽，則不同的選法種數(shù)C32C42＝18，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）若二項(xiàng)式（2x+）7的展開(kāi)式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝（）A．2 B． C．1 D．【分析】利用二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，通過(guò)x冪指數(shù)為﹣3，求出a即可．【解答】解：二項(xiàng)式（2x+）7的展開(kāi)式即（++2x）7的展開(kāi)式中x﹣3項(xiàng)的系數(shù)為84，所以Tr+1＝，令﹣7+2r＝﹣3，解得r＝2，代入得：＝84，解得a＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，特定項(xiàng)的求法，基本知識(shí)的考查．5．（4分）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31＝3種走法，利用乘法原理可得結(jié)論．【解答】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題6．（4分）給出如下數(shù)據(jù)：第一組：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二組：12，20，14，22，16，11，15，17，18，則下列說(shuō)法：①這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等；②這兩組數(shù)據(jù)的極差相等；③這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；④這兩組數(shù)據(jù)的方差相等．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)題意，依次計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差、中位數(shù)，比較可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于第一組：3，11，5，13，7，2，6，8，9；其平均數(shù)＝（3+11+5+13+7+2+6+8+9）＝，中位數(shù)是7，極差為13﹣2＝11，方差s12＝[（3﹣）2+（11﹣）2+（5﹣）2+（13﹣）2+（7﹣）2+（2﹣）2+（6﹣）2+（8﹣）2+（9﹣）2]＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892≈11.43；對(duì)于第二組：12，20，14，22，16，11，15，17，18，其平均數(shù)＝（12+20+14+22+16+11+15+17+18）＝，中位數(shù)是16，極差為22﹣11＝11，方差s12＝[（12﹣）2+（20﹣）2+（14﹣）2+（22﹣）2+（16﹣）2+（11﹣）2+（15﹣）2+（17﹣）2+（18﹣）2]＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892≈11.43；兩組數(shù)據(jù)中相同是極差和方差，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、極差、中位數(shù)的計(jì)算，注意平均數(shù)、方差、極差、中位數(shù)的計(jì)算的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）從6人中選出4人分別到北京、上海、深圳和廣州4個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有1人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，則這6人中甲、乙兩人不去北京游覽的概率是（）A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)n＝＝360，這6人中甲、乙兩人不去北京游覽分三種情況：情況一：不選甲、乙兩個(gè)去游覽，情況二：甲、乙中有一人去游覽，情況三：甲、乙兩人都去游覽，利用排列組合求出不同的選擇方案，由此能求出這6人中甲、乙兩人不去北京游覽的概率．【解答】解：從6人中選出4人分別到北京、上海、深圳和廣州4個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有1人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，基本事件總數(shù)n＝＝360，這6人中甲、乙兩人不去北京游覽分三種情況：情況一：不選甲、乙兩個(gè)去游覽，則有＝24種選擇方案，情況二：甲、乙中有一人去游覽，有＝144種選擇方案；情況三：甲、乙兩人都不去游覽，有＝72種選擇方案．綜上不同的選擇方案共有24+144+72＝240種，則這6人中甲、乙兩人不去北京游覽的概率是P＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查排列組合、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．8．（4分）2020年5月，修訂后的《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》正式實(shí)施，某校為宣傳垃圾分類知識(shí)，組織高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行垃圾分類知識(shí)測(cè)試．下表記錄了各年級(jí)同學(xué)參與測(cè)試的優(yōu)秀率（即測(cè)試達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)占該年級(jí)總?cè)藬?shù)的比例）．年級(jí)高一高二高三垃圾分類知識(shí)測(cè)試優(yōu)秀率52%71%68%假設(shè)從高k（k＝1，2，3）年級(jí)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)分別進(jìn)行考察，用“ξk＝1”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀，“ξk＝0”表示該同學(xué)的測(cè)試成績(jī)沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀．Dξk表示測(cè)試成績(jī)的方差，表示則下列判斷正確的是（）A．Dξ1＞Dξ3＞Dξ2 B．Dξ2＞Dξ1＞Dξ3 C．Dξ1＞Dξ2＞Dξ3 D．Dξ2＞Dξ3＞Dξ1【分析】根據(jù)已知及0﹣1分布的方差公式分別求出Dξ1，Dξ2，Dξ3，比較大小即可求得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)k＝1時(shí)，在高一年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則P（ξ1＝1）＝0.52，P（ξ1＝0）＝0.48，則Dξ1＝0.52×0.48＝0.2496，當(dāng)k＝2時(shí)，在高二年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則P（ξ2＝1）＝0.71，P（ξ2＝0）＝0.29，則Dξ2＝0.71×0.29＝0.2059，當(dāng)k＝3時(shí)，在高一年級(jí)中隨機(jī)選取一名同學(xué)進(jìn)行考察，則P（ξ3＝1）＝0.68，P（ξ3＝0）＝0.32，則Dξ3＝0.68×0.32＝0.2176，所以Dξ1＞Dξ3＞Dξ2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．9．（4分）將數(shù)字1，2，3，4，5，6拼成一列，記第i個(gè)數(shù)為ai（i＝1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，則不同的排列方法種數(shù)為（）A．18 B．30 C．36 D．48【分析】本題為有特殊要求的排列問(wèn)題，可以從特殊位置入手考慮．由a1≠1且a1＜a3＜a5，故a1的取法方法只有2、3、4三種，由a1的三種情況分別考慮a3、a5的安排方式，最后考慮a2，a4，a6【解答】解：分兩步：（1）先排a1，a3，a5，a1＝2，有2種；a1＝3有2種；a1＝4有1種，共有5種；（2）再排a2，a4，a6，共有A33＝6種，故不同的排列方法種數(shù)為5×6＝30，選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查有特殊要求的排列問(wèn)題，需要較強(qiáng)的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．10．（4分）組合恒等式，可以利用“算兩次”的方法進(jìn)行證明：分別求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展開(kāi)式中xm的系數(shù)．前者（1+x）n+1的展開(kāi)式中xm的系數(shù)為；后者（1+x）（1+x）n+1的展開(kāi)式中xm的系數(shù)為．因?yàn)椋?+x）n+1＝（1+x）（1+x）n，所以這兩個(gè)展開(kāi)式中xm的系數(shù)相等，即，請(qǐng)用“算兩次”的方法化簡(jiǎn)式子＝（）（其中1≤k＜m≤n，k，m，n∈N*）A． B． C． D．【分析】依題意，可得所化簡(jiǎn)的關(guān)系式是（1+x）k?（1+x）n的展開(kāi)式中含有xm項(xiàng)的系數(shù)，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理可得答案．【解答】解：（1+x）k?（1+x）n的展開(kāi)式中，含有xm項(xiàng)的系數(shù)為；又（1+x）k?（1+x）n＝（1+x）k+n的展開(kāi)式中，含有xm項(xiàng)的系數(shù)?1n+k﹣m＝，∴＝＝，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，明確所化簡(jiǎn)的關(guān)系式是“（1+x）k?（1+x）n的展開(kāi)式中，含有xm項(xiàng)的系數(shù)”是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，考查邏輯思維與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．（5分）老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量ξ的概率分布如表：ξ123P？！？請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算ξ的數(shù)字特征，盡管“！”處無(wú)法看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處數(shù)值相同．據(jù)此，同學(xué)們可以計(jì)算出E（ξ）＝2，若，則“！”處的數(shù)值應(yīng)是．【分析】設(shè)“？”為x，“！”為y，利用離散型的隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得2x+y＝1，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得出第一問(wèn)．利用方差公式求解第二問(wèn)【解答】解：設(shè)“？”為x，“！”為y，由離散型的隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得2x+y＝1．∴Eξ＝1×x+2y+3x＝2（2x+y）＝2．若，可得＝x（1﹣2）2+y（2﹣2）2+x（3﹣2）2，解得x＝，y＝．故答案為：2；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型的隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）從某校高一年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)選取100名學(xué)生，將他們參加知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．從成績(jī)?cè)赱70，80），[80，90]兩組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取了6人參加一項(xiàng)活動(dòng)，若從這6人中隨機(jī)選取兩人擔(dān)任正副隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人來(lái)自同一組的概率為【分析】從成績(jī)?cè)赱70，80）的學(xué)生中抽取4人，從成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生中抽取2人，從這6人中隨機(jī)選取兩人擔(dān)任正副隊(duì)長(zhǎng)，基本事件總數(shù)n＝＝15，這兩人來(lái)自同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝7，由此能求出這兩人來(lái)自同一組的概率．【解答】解：從成績(jī)?cè)赱70，80），[80，90]兩組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取了6人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從成績(jī)?cè)赱70，80）的學(xué)生中抽?。?×＝4人，從成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生中抽?。?×＝2人，從這6人中隨機(jī)選取兩人擔(dān)任正副隊(duì)長(zhǎng)，基本事件總數(shù)n＝＝15，這兩人來(lái)自同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝7，∴這兩人來(lái)自同一組的概率為p＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力，是基礎(chǔ)題．13．（5分）設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，（1+）n的展開(kāi)式為a0+a1x+a2x2+?+anxn．若點(diǎn)Ai（i，ai）（i＝0，1，2）位置如圖所示，則a＝3；3a1+9a2+?+3nan＝511.（用數(shù)字作答）【分析】先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得a、n值，再把x＝3代入即可解決此題．【解答】解：由題意得：a0＝1，a1＝3，a2＝4．∴，解得：．∴把x＝3代入展開(kāi)式得：（1+）9＝1+3a1+9a2+???+39a9，∴3a1+9a2+?+3nan＝29﹣1＝511．故答案為：3，511．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（5分）若＝a+b（a、b為有理數(shù)），則a+b＝70．【分析】由題意，的展開(kāi)式中所有實(shí)數(shù)項(xiàng)的和為a，所有無(wú)理數(shù)項(xiàng)中的系數(shù)的和為b，由此求得a，b的值，即可求出a+b得到答案【解答】解：由題意若＝a+b（a，b為有理數(shù)），由二項(xiàng)式定理得a＝C50+C52×2+C54×4＝41，b＝C51+C53×2+C55×4＝29∴a+b＝70故答案為70【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理，理解方程＝a+b的意義是解題的關(guān)鍵，理解a，b的意義是本題的難點(diǎn)，也是求解本題的切入點(diǎn)，解題時(shí)能把這樣的切入點(diǎn)找出來(lái)，解題就成功了一半．15．（5分）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某城市肥胖者占10%，中等體型者占82%，消瘦者占8%．已知肥胖者患高血壓的概率為0.2，中等體型者患高血壓的概率為0.1，消瘦者患高血壓的概率為0.05，則該城市居民患高血壓的概率為0.106；若該城市有一居民患有高血壓，那么該居民是肥胖者的概率是0.189（保留三位有效數(shù)字）．【分析】設(shè)事件A表示“居民患高血壓”，B1，B2，B3分別為肥胖者、中等體型、消瘦者，利用全概率計(jì)算公式能求出該城市居民患高血壓的概率；若該城市有一居民患有高血壓，利用條件概率計(jì)算公式能求出該居民是肥胖者的概率．【解答】解：設(shè)事件A表示“居民患高血壓”，B1，B2，B3分別為肥胖者、中等體型、消瘦者，∴該城市居民患高血壓的概率為：P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）＝0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05＝0.106．若該城市有一居民患有高血壓，那么該居民是肥胖者的概率是：P（B1|A）＝＝≈0.189．故答案為：0.106，0.189．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查全概率計(jì)算公式、條件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．（13分）新生嬰兒性別比是指在某段時(shí)間內(nèi)新生兒中男嬰人數(shù)與女嬰人數(shù)的比值的100倍．如表是通過(guò)抽樣調(diào)查得到的某地區(qū)2014年到2018年的年新生嬰兒性別比．年份20142015201620172018新生嬰兒性別比110.8108.0106.4105.4104.8（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰的概率（精確到0.01）；（Ⅱ）從2014年到2018年這五年中，隨機(jī)選取兩年，用X表示該地區(qū)的新生嬰兒性別比高于107的年數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷？并說(shuō)明理由．【分析】（Ⅰ）設(shè)“從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰”為事件A，然后求解概率即可．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望．（Ⅲ）答案一：可以否定．利用樣本估計(jì)總體，以及生男孩和生女孩是等可能的這個(gè)判斷．答案二：不能否定．由于抽樣調(diào)查本身存在一定的隨機(jī)性，不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷．答案三：無(wú)法判斷．由于樣本容量未知，樣本容量較小，不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷，樣本容量足夠大，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)“從該地區(qū)2015年的新生兒中隨機(jī)選取1人為女嬰”為事件A，則＝．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2．，，，所以X的分布列為X012P所以X的數(shù)學(xué)期望．（Ⅲ）答案一：可以否定．從樣本數(shù)據(jù)看這五年的男嬰在新生兒中的比例都高于0.5，由樣本估計(jì)總體，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷．答案二：不能否定．盡管從樣本數(shù)據(jù)看這五年的男嬰在新生兒中的比例都高于0.5，但由于抽樣調(diào)查本身存在一定的隨機(jī)性，且從數(shù)據(jù)上看，男女嬰在新生兒中的比例都近似于0.5，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷．答案三：無(wú)法判斷．由于樣本容量未知，如果樣本容量較小，那么通過(guò)樣本數(shù)據(jù)不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷，如果樣本容量足夠大，那么根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，等可能事件以及抽樣方法的判斷，是中檔題．17．（13分）已知函數(shù)．（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），代入切線方程即可，整理即可；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），f′（x）＝，f（1）＝0，f′（1）＝1，∴切線方程是：y﹣0＝（x﹣1），故切線方程為：x﹣y﹣1＝0；（2）f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＜e，∴f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，∴f（x）極大值＝f（e）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．18．（14分）某部門共有10人，其中有6人已接種某處疫苗，4人未接種該種疫苗，從中隨機(jī)地抽取4人作為樣本，用X表示樣本中接種疫苗者的人數(shù)．（1）若不放回地隨機(jī)抽取，求X＝2或3時(shí)的概率；（2）若有放回的隨機(jī)抽取，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）分別就有放回抽取和不放回抽取，用樣本接種疫苗人數(shù)的比例估計(jì)總體中接種疫苗人數(shù)的比例，求誤差不超過(guò)0.2的概率；試比較兩種抽取方法，哪種抽取方法估計(jì)的結(jié)果更可靠？【分析】（1）由對(duì)立事件的概率公式及古典概型概率公式計(jì)算即可得解；（2）由題意可知X～B（4，0.6），從而可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）由|﹣0.6|≤0.2，求得X的值，分別計(jì)算有放回抽取和不放回抽取的概率，從而可得結(jié)論．【解答】解：（1）P（X＝2或3）＝P（X＝2）+P（X＝3）＝+＝．（2）有放回的隨機(jī)抽取，各次試驗(yàn)結(jié)果相互對(duì)立，所以X～B（4，0.6），X的取值為0，1，2，3，4，P（X＝0）＝×0.60×0.44＝0.0256，P（X＝1）＝×0.61×0.43＝0.1536，P（X＝2）＝×0.62×0.42＝0.3456，P（X＝3）＝×0.63×0.41＝0.3456，P（X＝4）＝×0.64×0.40＝0.1296，所以X的分布列為：X01234P0.02560.15360.34560.34560.1296數(shù)學(xué)期望E（X）＝4×0.6＝2.4．（3）樣本接種疫苗人數(shù)的比例為，由題意|﹣0.6|≤0.2，解得1.6≤X≤3.2，X取2，3，不放回的抽取，P（X＝2或3）＝≈0.8095，有放回的抽取，P（X＝2或3）＝0.3456+0.3456＝0.6912，所以不放回的抽取方法更可靠．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為，，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線DP與EP的斜率之積等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)F是曲線C的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作直線l的垂線與x軸相交于M，N兩點(diǎn)．若，求此時(shí)直線l的斜率．【分析】（1）設(shè)P（x，y），寫出直線DP的斜率kDP，直線EP的斜率為kEP，由kDP?kEP＝﹣，化簡(jiǎn)即可得出答案．（2）由（1）可知F（﹣，0），設(shè)直線l方程為y＝k（x+）（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），進(jìn)而可得直線AM的方程為y＝﹣（x﹣x1）+y1，推出M點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線BN的方程，推出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再計(jì)算|MN|＝，解得k．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），則直線DP的斜率kDP＝，直線EP的斜率為kEP＝，因?yàn)閗DP?kEP＝﹣，所以?＝﹣，所以＝﹣，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為+y2＝1（y≠0）．（2）由（1）可知a2＝3，b2＝1，解得c2＝a2﹣b2＝2，所以c＝，所以F（﹣，0），設(shè)直線l方程為y＝k（x+）（k＞0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AM的方程為y＝﹣（x﹣x1）+y1，因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸上，所以M（ky1+x1，0），因?yàn)橹本€BN的方程為y＝﹣（x﹣x2）+y2且N位于x軸上，所以N（ky2+x2，0），所以|MN|＝|ky1+x1|+|ky2+x2|＝|ky1+x1﹣ky2﹣x2|＝|k2（x1+）+x1﹣k2（x2+）﹣x2|＝|（k2+1）（x1﹣x2）|＝（k2+1），聯(lián)立，得（1+3k2）x2+6k2x+6k2﹣3＝0，所以Δ＝（6k2）2﹣4（3k2+1）（6k2﹣3）＝4（3k2+3）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝（1+k2）＝＝，即＝6，解得k2＝1，因?yàn)閗＞0，所以k＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，a＜﹣時(shí)，a＝﹣時(shí)，﹣＜a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）＝（x﹣1）ex+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex+2a），①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增（如右上圖）；②當(dāng)a＜0時(shí)，（如右下圖），由ex+2a＝0，可得x＝ln（﹣2a），由ln（﹣2a）＝1，解得a＝﹣，若a＝﹣，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；若a＜﹣時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；在（1，ln（﹣2a））遞減；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；在（ln（﹣2a），1）遞減；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；當(dāng)x→﹣∞時(shí)f（x）＞0或找到一個(gè)x＜1使得f（x）＞0對(duì)于a＞0恒成立，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝（x﹣2）ex，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x＝2；③當(dāng)a＜0時(shí)，若a＜﹣時(shí)，f（x）在（1，ln（﹣2a））遞減，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥﹣時(shí)，在（﹣∞，ln（﹣2a））單調(diào)增，在（1，+∞）單調(diào)增，在（ln（﹣2a），1）單調(diào)減，只有f（ln（﹣2a））等于0才有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以只有一個(gè)零點(diǎn)不符題意．綜上可得，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為（0，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間