2020-2021學(xué)年北京師大三附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京師大三附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2﹣i）i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）已知空間向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且與垂直，則x等于（）A．4 B．1 C．3 D．23．（4分）如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B． C． D．4．（4分）和直線x﹣y+2＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）A．﹣x+y﹣2＝0 B．﹣x+y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y﹣2＝05．（4分）經(jīng)過圓x2+2x+y2＝0的圓心C，且與直線x+y＝0平行的直線方程是（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝06．（4分）已知兩定點A（﹣2，0），B（1，0），如果動點P滿足條件|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）A．π B．4π C．8π D．9π7．（4分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E為BB1中點，平面A1EC與平面ABCD所成二面角的余弦值為（）A． B． C． D．8．（4分）若焦點在x軸上的橢圓+＝1的離心率是，則m等于（）A． B． C． D．9．（4分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于（）A． B． C．24 D．4810．（4分）已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q（2，﹣1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A．（，﹣1） B．（，1） C．（，﹣1） D．（，1）二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）11．（5分）圓心為（1，1）且與直線x+y＝4相切的圓的方程是．12．（5分）已知雙曲線的離心率為2，焦點是（﹣4，0），（4，0），則雙曲線方程為．13．（5分）橢圓＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝．14．（5分）曲線y＝與直線y＝x+b恰有1個公共點，則b的取值范圍為．三、解答題（本大題共4小題，共40.0分）15．（10分）設(shè)點P（2，5）關(guān)于x軸的對稱點為Q，求過點Q且與直線x+y﹣3＝0垂直的直線l的方程．16．（10分）拋物線y2＝4x截直線y＝2x+k所得弦長為3．（1）求k的值；（2）以此弦為底邊，以x軸上點P為頂點的三角形面積為9，求點P坐標(biāo)．17．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E為PD中點．（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求PC與平面ACE所成角的正弦值；（3）在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．18．（10分）已知橢圓G：的離心率為，經(jīng)過左焦點F1（﹣1，0）的直線l與橢圓G相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，且點C在線段AB上．（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）若|AF1|＝|CB|，求直線l的方程．

2020-2021學(xué)年北京師大三附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（2﹣i）i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先對已知復(fù)數(shù)進行化簡，然后求出共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合幾何意義即可求解．【解答】解：（2﹣i）i＝2i+1的共軛復(fù)數(shù)z＝1﹣2i對應(yīng)的點（1，﹣2）位于第四象限．故選：D．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．2．（4分）已知空間向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且與垂直，則x等于（）A．4 B．1 C．3 D．2【分析】根據(jù)⊥，可得?＝0，解得x．【解答】解：∵⊥，∴?＝﹣3+2x﹣5＝0，解得x＝4，故選：A．【點評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）如圖：在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B． C． D．【分析】利用向量的運算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出．【解答】解：∵＝＝＝＝故選：A．【點評】本題考查利用向量的運算法則將未知的向量用已知的基底表示從而能將未知向量間的問題轉(zhuǎn)化為基底間的關(guān)系解決．4．（4分）和直線x﹣y+2＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為（）A．﹣x+y﹣2＝0 B．﹣x+y﹣2＝0 C．x+y+2＝0 D．x+y﹣2＝0【分析】設(shè)所求直線上的點P（x，y），求出點P關(guān)于x軸對稱的點為P'，由點P'在直線x﹣y+2＝0上，即可得到答案．【解答】解：設(shè)所求直線上的點P（x，y），則點P關(guān)于x軸對稱的點為P'（x，﹣y），由點P'（x，﹣y）在直線x﹣y+2＝0上，所以x+y+2＝0，則和直線x﹣y+2＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程為x+y+2＝0．故選：C．【點評】本題考查了直線關(guān)于直線的對稱直線的求解，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）經(jīng)過圓x2+2x+y2＝0的圓心C，且與直線x+y＝0平行的直線方程是（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0【分析】圓x2+2x+y2＝0的圓心C（﹣1，0），直線x+y＝0的斜率k＝﹣1，由此利用點斜式方程級求出結(jié)果．【解答】解：∵圓x2+2x+y2＝0的圓心C（﹣1，0），直線x+y＝0的斜率k＝﹣1，∴經(jīng)過圓x2+2x+y2＝0的圓心C，且與直線x+y＝0平行的直線方程為：y＝﹣（x+1），整理，得：x+y+1＝0．故選：A．【點評】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意圓的性質(zhì)和直線與直線的位置關(guān)系的合理運用．6．（4分）已知兩定點A（﹣2，0），B（1，0），如果動點P滿足條件|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）A．π B．4π C．8π D．9π【分析】設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），用坐標(biāo)表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|＝2|PB|，整理即得點P的軌跡方程，然后根據(jù)軌跡確定面積．【解答】解：已知兩定點A（﹣2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），則（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，即（x﹣2）2+y2＝4，所以點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，所以點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，故選：B．【點評】考查兩點間距離公式及圓的性質(zhì)．是訓(xùn)練基礎(chǔ)知識的好題．7．（4分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E為BB1中點，平面A1EC與平面ABCD所成二面角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】延長A1E與AB相交于M，連接MC，過點B作BF⊥MC于F，連接EF，先證∠EFB為平面A1EC與平面ABCD所成二面角的平面角，再利用Rt△BEF求其余弦值．【解答】解：延長A1E與AB相交于M，連接MC，過點B作BF⊥MC于F，連接EF，因為E為BB1中點，易證BM＝AB，所以BM＝BC，所以F為MC的中點，因為EB⊥平面ABCD，MC?平面ABCD，所以EB⊥MC，又因為EB∩BF＝B，EB?平面BEF，BF?平面BEF，所以MC⊥平面BEF，又EF?平面BEF，所以MC⊥EF，所以∠EFB為平面A1EC與平面ABCD所成二面角的平面角，設(shè)正方體的棱長為2，在△MBC中，易得BF＝，在Rt△BEF中，BE＝1，所以EF＝＝，所以cos∠EFB＝＝．故選：C．【點評】本題考查二面角的求法，屬中檔題．8．（4分）若焦點在x軸上的橢圓+＝1的離心率是，則m等于（）A． B． C． D．【分析】先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a，b，c，再結(jié)合橢圓的離心率公式列出關(guān)于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由題意，則，化簡后得m＝1.5，故選：B．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)與其性質(zhì)的應(yīng)用，注意根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a，b，c，進而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡、轉(zhuǎn)化、計算，最后得到結(jié)論．9．（4分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于（）A． B． C．24 D．48【分析】先由雙曲線的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的面積．【解答】解：F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），|F1F2|＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴設(shè)|PF2|＝x，則，由雙曲線的性質(zhì)知，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面積＝．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運用．10．（4分）已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q（2，﹣1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A．（，﹣1） B．（，1） C．（，﹣1） D．（，1）【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)，再由拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)P，Q和焦點三點共線且點P在中間的時候距離之和最小，進而先求出縱坐標(biāo)的值，代入到拋物線中可求得橫坐標(biāo)的值從而得到答案．【解答】解：∵y2＝4x∴p＝2，焦點坐標(biāo)為（1，0）過M作準(zhǔn)線的垂線于M，由PF＝PM，依題意可知當(dāng)P，Q和M三點共線且點P在中間的時候，距離之和最小如圖，故P的縱坐標(biāo)為﹣1，然后代入拋物線方程求得x＝，故選：A．【點評】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，考查拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）11．（5分）圓心為（1，1）且與直線x+y＝4相切的圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．【分析】先求圓的半徑，再求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：圓心到直線的距離就是圓的半徑：r＝＝．所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2故答案為：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2【點評】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．12．（5分）已知雙曲線的離心率為2，焦點是（﹣4，0），（4，0），則雙曲線方程為﹣＝1．【分析】由題意，可得e＝2，c＝4，再由e＝解出a的值，由b2＝c2﹣a2解出b2，即可得出雙曲線的方程【解答】解：由題意e＝2，c＝4，由e＝，可解得a＝2，又b2＝c2﹣a2，解得b2＝12所以雙曲線的方程為﹣＝1故答案為﹣＝1【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解性質(zhì)，利用性質(zhì)建立方程求出a，b的值，本題考查了方程的思想及推理判斷的能力，是雙曲線的基本題13．（5分）橢圓＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝．【分析】先根據(jù)橢圓的方程求得橢圓的左準(zhǔn)線方程，進而根據(jù)橢圓的第二定義求得答案．【解答】解：橢圓的左準(zhǔn)線方程為x＝﹣＝﹣，∵＝e＝，∴|PF2|＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義．屬基礎(chǔ)題．14．（5分）曲線y＝與直線y＝x+b恰有1個公共點，則b的取值范圍為[﹣2，2）∪{2}．【分析】由題意可得直線y＝x+b與半圓x2+y2＝4（y≥0）有公共點，當(dāng)直線過點A（2，0）時，求得b的值；當(dāng)直線和半圓相切于點B時，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得b的值，數(shù)形結(jié)合從而得到b的取值范圍．【解答】解：由題意可得直線y＝x+b與半圓x2+y2＝4（y≥0）恰有1個公共點，如圖所示：當(dāng)直線過點A（2，0）時，可得0＝2+b，求得b＝﹣2．當(dāng)直線和半圓相切于點B時，由圓心到直線的距離等于半徑可得＝2，求得b＝2，或b＝﹣2（舍去），故b的取值范圍是[﹣2，2）∪{2}，故答案為：[﹣2，2）∪{2}．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共4小題，共40.0分）15．（10分）設(shè)點P（2，5）關(guān)于x軸的對稱點為Q，求過點Q且與直線x+y﹣3＝0垂直的直線l的方程．【分析】先求出Q，然后結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系求出直線l的斜率，再結(jié)合直線的點斜式方程可求．【解答】解：由題意得Q（2，﹣5），所以過點Q且與直線x+y﹣3＝0垂直的直線l的方程為y+5＝x﹣2，即x﹣y﹣7＝0．【點評】本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，還考查了直線的點斜式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（10分）拋物線y2＝4x截直線y＝2x+k所得弦長為3．（1）求k的值；（2）以此弦為底邊，以x軸上點P為頂點的三角形面積為9，求點P坐標(biāo)．【分析】（1）聯(lián)立方程可得，4x2+4（k﹣1）x+k2＝0由Δ＞0有16（k﹣1）2﹣16k2＞0得k＜，由弦長公式可得弦長＝3＝，可求k；（2）設(shè)P（x0，0），先求點P（x0，0）到AB：2x﹣y﹣4＝0距離d＝，再根據(jù)|AB|d＝9，可求P得坐標(biāo)．【解答】解：（1）聯(lián)立方程可得4x2+4（k﹣1）x+k2＝0，由Δ＞0有16（k﹣1）2﹣16k2＞0，解得k＜，設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），則x1+x2＝1﹣k，x1x2＝，∵AB＝3＝，解得k＝﹣4符合題意，∴k＝﹣4；（2）由（1）可得4x2﹣20x+16＝0，則A（1，﹣2）B（4，4），所以AB方程為2x﹣y﹣4＝0，設(shè)P（x0，0），則點P（x0，0）到AB：2x﹣y﹣4＝0距離d＝，依題意|AB|d＝9，即××3＝9，解得x0＝5或x0＝﹣1，∴P（5，0）或P（﹣1，0）．【點評】本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關(guān)鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系表示由AB＝，這是圓錐曲線的考查的熱點之一，屬于中檔題．17．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E為PD中點．（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求PC與平面ACE所成角的正弦值；（3）在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由已知證明AD⊥平面PAB，得PA⊥AD，同理PA⊥AB，再由直線與平面垂直的判定可得PA⊥平面ABCD；（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACE的一個法向量與的縱坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值可得PC與平面ACE所成角的正弦值；（3）設(shè)F（2，t，0）（0≤t≤2），求出平面PAF的一個法向量，代入點E到平面PAF的距離公式，構(gòu)造方程求出t值，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，則AB⊥AD，∵PB⊥BC，AD∥BC，∴PB⊥AD，又AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB，∵PA?平面PAB，∴PA⊥AD，同理，PA⊥AB，∵AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD；（2）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），＝（0，1，1），＝（2，2，0），設(shè)平面ACE的一個法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），又＝（﹣2，﹣2，2），則PC與平面ACE所成角的正弦值為|cos＜＞|＝＝；（3）解：設(shè)F（2，t，0）（0≤t≤2），則，＝（2，t