2020-2021學(xué)年北京師大二附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京師大二附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題；共40分）1．（4分）cos330°＝（）A． B． C． D．2．（4分）若向量，且，則x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或13．（4分）設(shè)α∈（﹣π，π），且，則α＝（）A．﹣或 B．﹣或 C．﹣或 D．﹣或4．（4分）已知sin（﹣α）＝，則cos（π+α）＝（）A． B． C．﹣ D．5．（4分）向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＜，＞＝（）A．45° B．60° C．120° D．135°6．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin7．（4分）設(shè)α∈[0，2π），則使成立的α的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC邊上的動點，則的取值范圍是（）A．[﹣4，1] B．[1，4] C．[﹣1，4] D．[﹣4，﹣1]9．（4分）若函數(shù)（ω＞0）的圖象向左平移個單位后，所得圖象關(guān)于原點對稱，則ω的最小值為（）A． B． C． D．10．（4分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E、F分別在邊BC、CD上，＝λ，＝μ．若λ+μ＝，則?的最小值（）A． B． C． D．二、填空題（共5小題；共25分）11．（5分）設(shè)扇形半徑為2cm，圓心角的弧度數(shù)為2，則扇形的面積為．12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，角α和角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則sinβ＝．13．（5分）已知0＜，cos（α+）＝，則cosα＝．14．（5分）將函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，所得函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）＝．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx．若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12（m≥2，m∈N*），則m的最小值為．三、解答題（共6小題；共85分）16．已知，且α是第_______象限角．從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當(dāng)?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：（1）求cosα，tanα的值；（2）化簡求值：．17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A為單位圓與x軸正半軸的交點，點P為單位圓上的一點，且∠AOP＝，點P沿單位圓按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ后到點Q（a，b）．（1）當(dāng)θ＝時，求ab的值：（2）設(shè)θ∈[，]，求b﹣a的取值范圍．18．已知函數(shù)的最大值為1．（1）求常數(shù)a的值．（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（3）若，求函數(shù)f（x）的值域．19．在正△ABC中，AB＝2，＝t（t∈R）．（1）試用，表示：（2）當(dāng)?取得最小值時，求t的值．20．已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期，對稱中心，對稱軸；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，試討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．21．對于定義域為R的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期．已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R．設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）＝0，f（T）＝4π．（1）驗證g（x）＝x+sin是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)a＜b，證明對任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）＝c；（3）證明：“u0為方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）＝1在區(qū)間[T，2T]上的解”，并證明對任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）．

2020-2021學(xué)年北京師大二附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題；共40分）1．（4分）cos330°＝（）A． B． C． D．【分析】由cos（α+2kπ）＝cosα、cos（﹣α）＝cosα解之即可．【解答】解：cos330°＝cos（360°﹣30°）＝cos（﹣30°）＝cos30°＝，故選：C．【點評】本題考查余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式．2．（4分）若向量，且，則x的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1【分析】可以求出，根據(jù)即可得出，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出x的值．【解答】解：∵，且，∴，解得x＝0或1．故選：D．【點評】本題考查了向量垂直的充要條件，向量坐標的減法和數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）設(shè)α∈（﹣π，π），且，則α＝（）A．﹣或 B．﹣或 C．﹣或 D．﹣或【分析】由已知角及范圍，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)即可求解．【解答】解：因為α∈（﹣π，π），且，則α＝﹣或．故選：A．【點評】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．4．（4分）已知sin（﹣α）＝，則cos（π+α）＝（）A． B． C．﹣ D．【分析】利用誘導(dǎo)公式先求出cosα＝，cos（π+α）＝﹣cosα，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵，∴cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故選：A．【點評】本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．（4分）向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則＜，＞＝（）A．45° B．60° C．120° D．135°【分析】可作，然后根據(jù)余弦定理即可求出cosA＝0，從而可得出∠B，進而得出的值．【解答】解：如圖，，設(shè)網(wǎng)格的一個單位長度為1，則，由余弦定理得，，∴∠A＝90°，且AB＝AC，∴∠B＝45°，∴．故選：D．【點評】本題考查了相等向量的定義，余弦定理，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sin【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：在區(qū)間（0，）上，2x∈（0，π），y＝sin2x沒有單調(diào)性，故排除A．在區(qū)間（0，）上，2x∈（0，π），y＝cos2x單調(diào)遞減，故排除B．在區(qū)間（0，）上，y＝tanx單調(diào)遞增，且其最小正周期為π，故C正確；根據(jù)函數(shù)以π為最小正周期，y＝sin的周期為＝4π，可排除D．故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）設(shè)α∈[0，2π），則使成立的α的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵α∈[0，2π），，∴．∴設(shè)α∈[0，2π），則使成立的α的取值范圍是（，）．故選：B．【點評】本題考查滿足正弦值的角的取值范圍的求法，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8．（4分）在△ABC中，，AB＝2，AC＝1．D是BC邊上的動點，則的取值范圍是（）A．[﹣4，1] B．[1，4] C．[﹣1，4] D．[﹣4，﹣1]【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量、，求出的取值范圍即可．【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖所示；則A（0，0），B（2，0），C（0，1），設(shè)D（x，y），則+y＝1，x∈[0，2]；∴＝（x，y），＝（﹣2，1），∴?＝﹣2x+y＝﹣2x+（1﹣x）＝﹣x+1∈[﹣4，1]，則的取值范圍是[﹣4，1]．故選：A．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的計算問題，是基礎(chǔ)題．9．（4分）若函數(shù)（ω＞0）的圖象向左平移個單位后，所得圖象關(guān)于原點對稱，則ω的最小值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖象平移關(guān)系求出函數(shù)的解析式，結(jié)合原點對稱的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：若函數(shù)（ω＞0）的圖象向左平移個單位后，則y＝sin[ω（x+）﹣]＝sin（ωx+ω﹣），若所得圖象關(guān)于原點對稱，則ω﹣＝kπ，得ω＝+kπ，得ω＝+3k，k∈Z，∵ω＞0，∴當(dāng)k＝0時，ω取得最小值，故選：B．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用原點對稱的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．10．（4分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E、F分別在邊BC、CD上，＝λ，＝μ．若λ+μ＝，則?的最小值（）A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，把?用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有λ，μ的代數(shù)式，再結(jié)合λ+μ＝及基本不等式求得?的最小值．【解答】解：如圖，∵＝λ，＝μ，且λ+μ＝，∴?＝（）?（），＝＝＝＝＝．由題意可得，λ，μ＞0，∵λ+μ＝，∴λμ，則﹣2（1+λμ）≥，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），∴?的最小值為．故選：A．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量加法的三角形法則，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．二、填空題（共5小題；共25分）11．（5分）設(shè)扇形半徑為2cm，圓心角的弧度數(shù)為2，則扇形的面積為4cm2．【分析】由已知利用扇形的面積公式即可計算得解．【解答】解：由已知可得：半徑r為2cm，圓心角α的弧度數(shù)為2，則扇形的面積S＝r2α＝＝4cm2．故答案為：4cm2．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）在平面直角坐標系xOy中，角α和角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱．若，則sinβ＝．【分析】由題意可得sinβ＝sin（﹣α），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱，∴sinβ＝sin（﹣α）＝﹣sinα＝﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查角的正弦值的求法，考查對稱角、誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知0＜，cos（α+）＝，則cosα＝．【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α+）＝，再由cosα＝cos[（α+）﹣]利用兩角差的余弦公式求出結(jié)果．【解答】解：∵已知0＜，cos（α+）＝，∴sin（α+）＝，∴cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sinα+）sin＝+＝＝，故答案為．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（5分）將函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，所得函數(shù)的部分圖象如圖所示，則f（x）＝2sin（2x﹣）．【分析】利用三角函數(shù)平移變換可得平移后的g（x）解析式，利用平移后的圖象即可求得A，ω，φ，從而得解．【解答】解：將函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）的圖象上所有點向左平行移動個單位長度，所得函數(shù)g（x）＝Asin（ωx+ω+φ），由g（x）圖象可得A＝2，＝﹣（﹣）＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，因為f（）＝2，所以2sin（2×++φ）＝2，2×++φ＝2kπ+，k∈Z，所以φ＝2kπ﹣，k∈Z，因為，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2sin（2x﹣）．故答案為：2sin（2x﹣）．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的解析式的確定，屬于中檔題．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinx．若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12（m≥2，m∈N*），則m的最小值為8．【分析】由正弦函數(shù)的有界性可得，對任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，盡可能多讓xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高點，然后作圖可得滿足條件的最小m值．【解答】解：∵y＝sinx對任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，盡可能多讓xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高點，考慮0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12，按下圖取值即可滿足條件，∴m的最小值為8．故答案為：8．【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析問題和解決問題的能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解對任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2是解答該題的關(guān)鍵，是難題．三、解答題（共6小題；共85分）16．已知，且α是第_______象限角．從①一，②二，③三，④四，這四個選項中選擇一個你認為恰當(dāng)?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：（1）求cosα，tanα的值；（2）化簡求值：．【分析】（1）由已知可得α為第三象限或第四象限角，分類討論，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（2）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可計算得解．【解答】解：（1）因為，所以α為第三象限或第四象限角；若選③，，；若選④，，；（2）原式＝＝＝．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A為單位圓與x軸正半軸的交點，點P為單位圓上的一點，且∠AOP＝，點P沿單位圓按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ后到點Q（a，b）．（1）當(dāng)θ＝時，求ab的值：（2）設(shè)θ∈[，]，求b﹣a的取值范圍．【分析】（1）由三角函數(shù)的正弦、余弦的定義可得a，b的值；（2）由三角函數(shù)的定義和輔助角公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．【解答】解：（1）由題意可得P（cos，sin）即為（，），a＝cos（+）＝cos，b＝sin，可得ab＝sincos＝sin＝；（2）由題意可得a＝cos（+θ），b＝sin（+θ），即有b﹣a＝sin（+θ）﹣cos（+θ）＝sinθ，由θ∈[，]，可得sinθ∈[，1]，則b﹣a的范圍是[1，]．【點評】本題考查任意角三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的恒等變換，以及三角函數(shù)的求值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知函數(shù)的最大值為1．（1）求常數(shù)a的值．（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（3）若，求函數(shù)f（x）的值域．【分析】首先化簡函數(shù)＝cosx++a＝2sin（x+）+a．（1）可得2+a＝1，即可求得a＝﹣1．（2）由2k≤x+，k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，x+∈[，]，求得sin（x+）∈，1]，即可．【解答】解：函數(shù)＝cosx+﹣a＝2sin（x+）+a．（1）∵函數(shù)f（x）的最大值為1，且x∈R，∴2+a＝1，∴a＝﹣1．（2）由2k≤x+，k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，2kπ+]，k∈Z，（3）當(dāng)時，x+∈[，]，則sin（x+）∈，1]，函數(shù)f（x）的值域為[0.1]．【點評】本題考查了三角恒等變形，三角函數(shù)的性質(zhì)、值域，屬于中檔題．19．在正△ABC中，AB＝2，＝t（t∈R）．（1）試用，表示：（2）當(dāng)?取得最小值時，求t的值．【分析】（1）根據(jù)即可得出，從而解出；（2）可得出，根據(jù)即可得出，而根據(jù)解△ABC是正三角形，AB＝2即可求出，，從而進行數(shù)量積的運算即可得出＝4t2﹣6t+2，配方即可得出t＝時，取最小值．【解答】解：（1）∵；∴；∴；（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；∴；∵；∴；∴＝＝；∴時，取最小值．【點評】考查向量減法、加法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及向量的數(shù)量積運算及計算公式，配方法解決二次函數(shù)問題的方法．20．已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期，對稱中心，對稱軸；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k，，其中k∈R，試討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．【分析】（1）＝sinx（sinx+cosx）＝．根據(jù)周期計算公式可得f（x）的最小正周期，令2x﹣＝kπ可得對稱中心，令2x﹣＝kπ+可得對稱軸；（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在[0，]遞增，在[]遞減，且f（）＝1，f（0）＝0，結(jié)合圖像即可求得函數(shù)y＝f（x）與y＝k的交點個數(shù)，從而求解．【解答】解：（1）＝sinx（sinx+cosx）＝+＝．所以f（x）的最小正周期為π，令2x﹣＝kπ，可得對稱中心為：（，），k∈Z，令2x﹣＝kπ+，可得對稱軸為：直線x＝+，k∈Z；（2）由，可得≤，則﹣≤sin（2x﹣）≤1，所以函數(shù)f（x），的值域為[0，]．由（1）可得函數(shù)f（x）在[0，]遞增，在[]遞減，且f（）＝1，f（0）＝0，因為函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k，的零點個數(shù)．就是函數(shù)y＝f（x）與y＝k的交點個數(shù)．所以．當(dāng)k∈[0，1），或k＝時，函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為1；當(dāng)k∈（﹣∞，0），或k∈（，+∞）時，函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為0；當(dāng)k∈[1，）時，函數(shù)g（x）的零點個數(shù)為2；【點評】本題考查了三角恒等變形，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．21．對于定義域為R的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，且稱T為其余弦周期．已知f（x）是以T為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域為R．設(shè)f（x）單調(diào)遞增，f（0）＝0，f（T）＝4π．（1）驗證g（x）＝x+sin是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；（2）設(shè)a＜b，證明對任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）＝c；（3）證明：“u0為方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，”的充要條件是“u0+T為方程cosf（x）＝1在區(qū)間[T，2T]上的解”，并證明對任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T）．【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的周期定義，判斷cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；（2）根據(jù)f（x）的值域為R，便可得到存在x0，使得f（x0）＝c，而根據(jù)f（x）在R上單調(diào)遞增即可說明x0∈[a，b]，從而完成證明；（3）只需證明u0+T為方程cosf（x）＝1在區(qū)間[T，2T]上的解得出u0為方程cosf（x）＝1在[0，T]上的解，是否為方程的解，代入方程，使方程成立便是方程的解．證明對任意x∈[0，T]，都有f（x+T）＝f（x）+f（T），可討論x＝0，x＝T，x∈（0，T）三種情況：x＝0時是顯然成立的；x＝T時，可得出cosf（2T）＝1，從而得到f（2T）＝2k1π，k1∈Z，根據(jù)f（x）單調(diào)遞增便能得到k1＞2，然后根據(jù)f（x）的單調(diào)性及方程cosf（x）＝1在[T，2T]和它在[0，T]上解的個數(shù)的情況說明k1＝3，和k1≥5是不存在的，而k1＝4時結(jié)論成立，這便說明x＝T時結(jié)論成立；而對于x∈（0，T）時，通過考查cosf（x）＝c的解得到f（x+T）＝f（x）+f（T），綜合以上的三種情況，最后得出結(jié)論即可．【解答】解：（1）g（x）＝x+sin；∴＝＝cosg（x）∴g（x）是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；（2）∵f（x）的值域為R；∴存在x0，使f（x0）＝c；又c∈[f（a），f（b）]；∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）為增函數(shù)；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f（x0）＝c；（3）證明：若u0+T為方程cosf（x）＝1在區(qū)間[T，2T