2020-2021學(xué)年北京市首都師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市首都師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z＝﹣+i（其中i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若向量＝（0，1），＝（2，﹣1），＝（1，1），則（）A． B． C． D．3．函數(shù)y＝2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)4．已知等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個(gè)三角形底角的正弦值為（）A． B． C． D．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），則||的值是（）A． B． C． D．17．在邊長為1的正方形ABCD中，向量＝，＝，則向量，的夾角為（）A． B． C． D．8．已知z∈C，則“z2＝﹣|z|2”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的有（）個(gè)（1）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（1，0）為圓心，為半徑的圓上；（2）若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|＝2+8i，則復(fù)數(shù)z＝15+8i；（3）復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模；（4）復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則．A．1 B．2 C．3 D．410．在△ABC中，a，b分別為內(nèi)角A，B所對的邊，b＝5，B＝30°，若△ABC有兩解，則a的取值范圍是（）A．（2，5） B．（5，10） C．（2，2） D．（2，10）二、填空題11．（1）設(shè)復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是．（2）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則|z﹣3i|的取值范圍為．（其中i為虛數(shù)單位）12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若sin2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC，且，△ABC的面積S為．13．已知函數(shù)f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cosx．（1）＝；（2）時(shí)，f（x）的最小值為．14．如圖，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AD⊥AB，AD＝1，則＝．15．設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ＝．16．已知C是平面ABD上一點(diǎn)，AB⊥AD，CB＝CD＝1．①若＝3，則＝；②＝+，則的最大值為．三、解答題17．已知α∈（0，），β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，求tan（2α﹣β）的值及角2α﹣β．18．已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)α是銳角，且，求f（α）的值．19．在△ABC中，．（1）若c2＝5a2+ab，求；（2）求sinA?sinB的最大值．20．在△ABC中．∠BAC＝120°，AB＝AC＝1．（1）求的值；（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊AB在x軸上，設(shè)動點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的劣弧上運(yùn)動．求的最小值．

2020-2021學(xué)年北京市首都師大二附中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z＝﹣+i（其中i為虛數(shù)單位），z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念，以及幾何意義，即可求解．【解答】解：∵z＝﹣+i，∴，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，以及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．若向量＝（0，1），＝（2，﹣1），＝（1，1），則（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)；對于A，﹣＝（﹣2，2），有2×1≠（﹣2）×1，（﹣）∥不成立，A錯誤，對于B，﹣＝（﹣2，2），（﹣）?＝0，故（﹣）⊥，B正確；對于C，由B的結(jié)論，（﹣）?＝0，C錯誤；對于D，﹣＝（﹣2，2），則|﹣|＝2，||＝，D錯誤；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)y＝2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【分析】利用二倍角公式化簡為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y＝2cos2（x﹣）﹣1＝cos（2x﹣）＝sin2x，∴T＝π，且y＝sin2x奇函數(shù)，即函數(shù)y＝2cos2（x﹣）﹣1是奇函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)奇偶性的判斷，是基礎(chǔ)題．4．已知等腰三角形頂角的余弦值等于，則這個(gè)三角形底角的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)出三角形的底角，表示出三角形的頂角，利用等腰三角形頂角的余弦值等于，即可求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)三角形底角為α，則頂角為180°﹣2α∴cos（180°﹣2α）＝﹣cos2α＝∴2sin2α﹣1＝∵α為三角形的內(nèi)角∴sinα＝故選：C．【點(diǎn)評】本題考查二倍角的三角函數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【分析】由條件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，再由兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求得sinA＝1，可得A＝，由此可得△ABC的形狀．【解答】解：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∵bcosC+ccosB＝asinA，則由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB＝sinAsinA，即sin（B+C）＝sinAsinA，可得sinA＝1，故A＝，故三角形為直角三角形，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理以及兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），則||的值是（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示，把已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行化簡，進(jìn)而求出向量模．【解答】解：∵A（cos80°，sin80°），B（cos20°，sin20°），∴||＝＝＝1．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，即把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行化簡求值．7．在邊長為1的正方形ABCD中，向量＝，＝，則向量，的夾角為（）A． B． C． D．【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，以AD為x軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角的公式計(jì)算即可【解答】解：設(shè)向量，的夾角為θ，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，以AD為x軸，建立直角坐標(biāo)系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量＝，＝，∴E（，1），F(xiàn)（1，），∴＝（，1），＝（1，），∴||＝，＝，?＝+＝，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式，屬于中檔題．8．已知z∈C，則“z2＝﹣|z|2”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】由充分必要條件的判斷方法，結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件判斷即可．【解答】解：①對于復(fù)數(shù)z，若z2＝﹣|z|2，z不一定為純虛數(shù)，可以為0，∴充分性不成立，②若z為純虛數(shù)，設(shè)z＝bi（b∈R，且b≠0），∵z2＝﹣b2，﹣|z|2＝﹣b2，∴z2＝﹣|z|2，∴必要性成立，∴z2＝﹣|z|2是z為純虛數(shù)的必要非充分條件．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題．9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法中正確的有（）個(gè)（1）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以（1，0）為圓心，為半徑的圓上；（2）若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|＝2+8i，則復(fù)數(shù)z＝15+8i；（3）復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模；（4）復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷（1）；設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），代入z+|z|＝2+8i，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件判斷（2）；由復(fù)數(shù)模的概念即可判斷（3）；把已知等式兩邊平方，求得，從而得到判斷（4）．【解答】解：（1）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z対應(yīng)的點(diǎn)在以（0，1）為圓心，為半徑的圓上，故（1）錯誤；（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由z+|z|＝2+8i，得，解得a＝﹣15，b＝8，∴z＝﹣15+8i，故B錯誤；（3）由的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，可知復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模，故（3）正確；（4）復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的向量為，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則，兩邊平方可得＝，∴，∴，故（4）正確．∴說法正確的有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．10．在△ABC中，a，b分別為內(nèi)角A，B所對的邊，b＝5，B＝30°，若△ABC有兩解，則a的取值范圍是（）A．（2，5） B．（5，10） C．（2，2） D．（2，10）【分析】由三角形的有兩個(gè)解的條件可得a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出a的范圍．【解答】解：因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以滿足b＜a，所以5＜a＜10，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形的解的情況，屬于基礎(chǔ)題二、填空題11．（1）設(shè)復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（1）1．（2）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則|z﹣3i|的取值范圍為[2，4]．（其中i為虛數(shù)單位）【分析】（1）直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡z，再得到z的虛部；（2）由已知可得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再由|z﹣3i|的幾何意義，即單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離求解即可．【解答】解：（1）∵＝，∴z的虛部為1；（2）由|z|＝1，可得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，|z﹣3i|的幾何意義為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（0，3）的距離，則最小值為3﹣1＝2，最大值為3+1＝4．∴|z﹣3i|的取值范圍為[2，4]．故答案為：（1）1；（2）[2，4]．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若sin2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC，且，△ABC的面積S為．【分析】利用正余弦定理結(jié)合sin2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC可得，再根據(jù)可得bc＝8，再利用三角形面積公式可求得S．【解答】解：因?yàn)閟in2B+sin2C＝sin2A+sinBsinC，由正弦定理可得b2+c2＝a2+bc，由余弦定理可得，又A∈（0，π），所以，因?yàn)?，所以，所以bc＝8，故．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理的在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形面積的求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．13．已知函數(shù)f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cosx．（1）＝﹣；（2）時(shí)，f（x）的最小值為．【分析】（1）把x＝代入解析式計(jì)算；（2）利用二倍角公式和和差角公式化簡解析式，再通過換元t＝cosx把問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值．【解答】解：（1）＝．（2）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx＝3cos2x﹣4cosx﹣1，令t＝cosx，當(dāng)時(shí)，t∈[0，1]．所以函數(shù)轉(zhuǎn)化為y＝3t2﹣4t﹣1，t∈[0，1]開口向上，且對稱軸為．所以當(dāng)時(shí)，有最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查換元法求函數(shù)的最值，考查三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題．14．如圖，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AD⊥AB，AD＝1，則＝2．【分析】利用三角形法則以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解．【解答】解：由圖可知＝（）＝（）＝[＝（）＝＝2×12＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)以及運(yùn)算，涉及到向量垂直的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，則cosθ＝﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由x＝θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ＝，與sin2θ+cos2θ＝1聯(lián)立即可求出cosθ的值．【解答】解：方法一：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（sinx﹣cosx）＝sin（x﹣α）（其中cosα＝，sinα＝），∵x＝θ時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ＝，又sin2θ+cos2θ＝1，聯(lián)立得（2cosθ+）2+cos2θ＝1，解得cosθ＝﹣．方法二：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（其中tanφ＝﹣2，φ∈（﹣）），因?yàn)楫?dāng)x＝θ時(shí)，f（x）取得最大值，所以θ+φ＝，所以θ＝，所以cosθ＝cos（）＝sinφ＝﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．16．已知C是平面ABD上一點(diǎn)，AB⊥AD，CB＝CD＝1．①若＝3，則＝﹣；②＝+，則的最大值為2．【分析】根據(jù)向量的幾何意義作出幾何圖形，得出各點(diǎn)的位置關(guān)系，從而得出答案．【解答】解：①∵，∴C為AB的靠近A的三等分點(diǎn)，∴AB＝BC＝，AC＝BC＝，∵AD⊥AB，CD＝1，∴∠ACD＝60°，∴＝＝﹣．②∵CB＝CD＝1，∴C位于BD的中垂線上，∴當(dāng)C為BD的中點(diǎn)時(shí)，BD取得最大值2．∵AB⊥AD，∴||＝||＝||＝BD≤2．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量的幾何意義求解，屬于中檔題．三、解答題17．已知α∈（0，），β∈（0，π），且tan（α﹣β）＝，tanβ＝﹣，求tan（2α﹣β）的值及角2α﹣β．【分析】利用二倍角的正切可求得tan2（α﹣β）＝，再由兩角和的正切即可求得tan（2α﹣β）的值及角2α﹣β．【解答】解：∵tan（α﹣β）＝，∴tan2（α﹣β）＝＝＝，又tanβ＝﹣，β∈（0，π），∴＜β＜π，∵α∈（0，），∴﹣π＜2α﹣β＜0，∴tan（2α﹣β）＝tan[（2α﹣2β）+β]＝＝＝1，∴2α﹣β＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，著重考查二倍角的正切與兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)α是銳角，且，求f（α）的值．【分析】化簡解析式得f（x）＝cos2x，（1）進(jìn)而可得f（x）的最小正周期為T，令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（2）由α∈（0，）→cos（α﹣）＝，進(jìn)而可得f（α）＝cos2α＝﹣sin（α﹣）cos（α﹣）的值．【解答】解：f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）＝（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）＝（cosx）2﹣（sinx）2＝cos2x，（1）f（x）的最小正周期為T＝＝π，令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z解得kπ≤x≤+kπ，k∈Z所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ，+kπ]，k∈Z．（2）因?yàn)棣痢剩?，），則α﹣∈（﹣，），cos（α﹣）＞0，則cos（α﹣）＝，則f（α）＝cos2α＝﹣sin2（α﹣）＝﹣sin（α﹣）cos（α﹣）＝﹣×＝﹣．