線代第四章nk4線性空間

第四章線性空間本章主要討論線性空間的一些基本概念與基本定理，在此基礎(chǔ)上使大家能利用這些基本概念與定理解決相關(guān)問題。第一節(jié)線性空間的概念

線性空間的定義與例子

子空間

第二節(jié)n維線性空間

n維線性空間的定義

基底變換與坐標(biāo)變換

第一節(jié)線性空間的概念

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念．線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問題看作向量空間，進(jìn)而通過研究向量空間來解決實(shí)際問題．一、線性空間的定義定義1.設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)為一個(gè)數(shù)域．如果在V的元素之間定義一個(gè)加法運(yùn)算，對(duì)于任意兩個(gè)元素α,β∈V，總有唯一的一個(gè)元素γ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為α與β的和，記作：γ=α+β

定義數(shù)域F的一個(gè)數(shù)與集合V中的元素之間的乘積運(yùn)算，若對(duì)于任一數(shù)λ∈R與任一元素α∈V，總有唯一的一個(gè)元素δ∈V與之對(duì)應(yīng)，稱為λ與α的積，記作δ=λα

如果上述定義的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么V就稱為數(shù)域F上的向量空間（或線性空間）．說明:凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．向量空間中的向量不一定是有序數(shù)組．線性空間的要點(diǎn)是：給定一個(gè)非空集合V和一個(gè)數(shù)域F，定義兩種運(yùn)算“+”和“·”，且這兩種運(yùn)算滿足運(yùn)算規(guī)律(1)－(8)。線性空間中的加法“+”與數(shù)量乘法“·”可以與通常的“+”和“·”不同。要證明某非空集合V對(duì)于給定的兩種運(yùn)算能構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，需逐條驗(yàn)證“+”和“·”的封閉性及運(yùn)算規(guī)律(1)—(8)成立；要證明某非空集合V對(duì)于給定的兩種運(yùn)算不能構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，只須證明加法運(yùn)算不封閉，或數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或(1)—(8)中有一條不滿足即可。給定V及F，一般可用多種不同的方法定義出不同的線性空間。例3a

判別下列集合是否為向量空間.解例3b

判別下列集合是否為向量空間.解例4.

n元實(shí)系數(shù)齊次線性方程組的全體解向量（Rn的一個(gè)子集合），按照n維向量的加法及它與實(shí)數(shù)的乘法兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間，稱為齊次線性方程組的解空間。特別，當(dāng)齊次線性方程組只有零解時(shí)，它的解空間只有一個(gè)元——零元，只有零元的空間稱為零空間。二、線性空間的性質(zhì)

對(duì)于線性空間中的向量組，我們也要討論它們的線性組合、線性相關(guān)、線性無關(guān)以及向量組的極大線性無關(guān)子組與秩等概念。前面有關(guān)向量的性質(zhì)和討論都可以推廣到線性空間來。

例

證明線性空間中向量組線性無關(guān)。時(shí)，(1)式對(duì)一切x的值都成立。這就證明了線性無關(guān)。

證

設(shè)有n＋1個(gè)實(shí)數(shù)，使得(1)成立，即對(duì)于x的一切值都成立。但由多項(xiàng)式理論知道，如果某個(gè)不等于零，則(1)至多對(duì)有限個(gè)x的值成立。因此僅當(dāng)定義2設(shè)V是F上的一個(gè)線性空間，L是V的一個(gè)非空子集，如果L對(duì)于V中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成F上的一個(gè)線性空間，則稱L為V的子空間．

例1

在線性空間中，由單個(gè)的零向量所組成的子集合{0}是一個(gè)線性子空間，它叫做零子空間。例2

線性空間V本身也是V的一個(gè)子空間.叫做V的平凡子空間

其它的線性子空間叫做非平凡子空間。

三、線性空間的子空間定理：若L是線性空間V的非空子集且關(guān)于V的線性運(yùn)算是封閉的（即若），則L是V的子空間。例：中所有滿足的向量構(gòu)成的集合L，是否構(gòu)成Rn的線性子空間？【是】例設(shè)是數(shù)域F上線性空間V中的一組向量，考慮這組向量的所有可能的線性組合：所組成的集合。顯然這個(gè)集合是非空的，并且對(duì)于V的兩種運(yùn)算是封閉的。因此它是V的一個(gè)線性子空間。稱它為由生成的子空間。記為據(jù)此，我們很容易證明：線性空間V中的兩組向量和，則的充要條件是與等價(jià)。第二節(jié)n維線性空間n維線性空間的定義已知：在Rn中，線性無關(guān)的向量組最多由n個(gè)向量組成，而任意n+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的。問題：線性空間的一個(gè)重要特征，在線性空間V中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？一、線性空間的基與維數(shù)二、元素在給定基下的坐標(biāo)基底變換與坐標(biāo)變換問題：在n維線性空間V中，任意n

個(gè)線性無關(guān)的向