自動(dòng)控制理論課后習(xí)題詳細(xì)解答答案

《自動(dòng)控制理論(夏德鈴)》習(xí)題答案詳解

第二章

2-1試求圖2-T-1所示RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

1「

(助石=—$=——R!—,Z2=R,，則傳遞函數(shù)為：

RJR.Cs+l

1Cs

Uo(s)_z2_R{R2CS+R2

Uj(s)z,+z2R、R2cs+Rt+R2

(b)設(shè)流過(guò)G、C2的電流分別為4、L，根據(jù)電路圖列出電壓方程:

4⑶=9⑶+R口⑸+/用]

U"(S)=3,2(S)

并且有

4，小)=(4+4)/2(5)

C]SC2s

聯(lián)立三式可消去/(，)與，2(S)，則傳遞函數(shù)為:

1

U“(s)_____________C￡____________=__________________1__________________

4(s)—1上AY1f「印2。。2s2+(R￡+/?G+R2G)S+l

(C]S人。2s)

2-2假設(shè)圖2-T-2的運(yùn)算放大器均為理想放大器，試寫出以均為輸入，以為輸出的傳遞函

數(shù)。

(a)由運(yùn)算放大器虛短、虛斷特性可知：以=—0色L+u=Ui-u0,

Rdtdt

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到

=-s4(s)+sU()(s)

故傳遞函數(shù)為

U0(s)RCs+]

S(s)-RCs

u：-U_憂＜.八4c八

(b)由運(yùn)放虛短、虛斷特性有:C*———-c+——=0,—^+―=0,

R2R2R/2&

聯(lián)立兩式消去〃，得到

CRduQ22

H---W；d----Wn=0

2R}dtR'Rt°

對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得

〃/、

CR2.2__z.

--5（/0（5）+—1/,.（5）+—1/0（5）0

ZA|AAj

故此傳遞函數(shù)為

Uo（s）=4式

UjG）-R（RCs+4）

0,且冬=--工，聯(lián)立兩式可消去％得到

dtRJ2Rj/2RRJ2

CR.du；2斯2M,八

2Rdt&R

對(duì)該式進(jìn)行拉氏變換得到

霖.皿（5）+N。（5）+25）=0

2.Kz\jK

故此傳遞函數(shù)為

U°G）_-（/?"+4）

Ui（s）-4R~

2-3試求圖2-T-3中以電樞電壓心為輸入量，以電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)角。為輸出量的微分方程式和傳

遞函數(shù)。

解：設(shè)激磁磁通0=K“/恒定

?（s）=___________________________________

U“（s）JLZv2+（L"+R,J）s+R,J+，C“M

_2萬(wàn)_

2-4一位置隨動(dòng)系統(tǒng)的原理圖如圖2-T-4所示。電動(dòng)機(jī)通過(guò)傳動(dòng)鏈帶動(dòng)負(fù)載及電位器的滑動(dòng)

觸點(diǎn)一起移動(dòng)，用電位器檢測(cè)負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，圖中以c表示電位器滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置。另

一電位器用來(lái)給定負(fù)載運(yùn)動(dòng)的位移，此電位器的滑動(dòng)觸點(diǎn)的位置（圖中以r表示）即為該

隨動(dòng)系統(tǒng)的參考輸入。兩電位器滑動(dòng)觸點(diǎn)間的電壓差〃，即是無(wú)慣性放大器（放大系數(shù)為K.）

的輸入，放大器向直流電動(dòng)機(jī)M供電，電樞電壓為“，電流為I。電動(dòng)機(jī)的角位移為8。

解：3-----------------------尹%一.-----------

）2

R國(guó)iLJS+i（L,f+R,J）s+^RJ+^Ce<f>Cjjs+KACJ

2-5圖2-T-5所示電路中，二極管是一個(gè)非線性元件，其電流。與物間的關(guān)系為

6

irf=10xe^-1o假設(shè)電路中的尺=1。3。，靜態(tài)工作點(diǎn)“o=2.39V,

\/

%=2.19x10-34。試求在工作點(diǎn)（曲,外附近=”〃d）的線性化方程。

3

解：z（/-2.19X10'=0.084。-0.2）

2-6試寫出圖2-T-6所示系統(tǒng)的微分方程，并根據(jù)力一電壓的相似量畫出相似電路。

解：分別對(duì)物塊機(jī)一加2受力分析可列出如下方程：

叫孚=尸⑴+&（力一%）一/一匕口

<at

加2勺1=原（當(dāng)一%）

Iat

代入匕=也、為=生得

dtdt

z/2

叫竽■=/"）+&（%-%）一7-%%

V

d2y..、

叫^^2=&（%-M）

2-7圖2-T-7為插了一個(gè)溫度計(jì)的槽。槽內(nèi)溫度為O,，溫度計(jì)顯示溫度為6。試求傳遞函數(shù)

史立（考慮溫度計(jì)有貯存熱的熱容C和限制熱流的熱阻R）。

MG）

解：根據(jù)能量守恒定律可列出如下方程：

rdee-0

~dt~R

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得到

「C/、0,（5）-G）（s）

CV0（5）=-'---------

R

則傳遞函數(shù)為

0（5）_1

?.（5）RCs+1

2-8試簡(jiǎn)化圖2-T-8所示的系統(tǒng)框圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)儂。

H(s)

a)

b)

圖2-T-8

解：(a)化簡(jiǎn)過(guò)程如下

R(s)G3(G1+G2)C⑸

I+G3(G+H])

傳遞函數(shù)為

C(5)_G3(G,+G2)

R(s)—]+G3(G+儲(chǔ))

(b)化簡(jiǎn)過(guò)程如下

傳遞函數(shù)為

C(s)=_________GOGa+GJ_________

l+Gad+GGs+GJ^+GR)

2-9試簡(jiǎn)化圖2-T-9所示系統(tǒng)的框圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)也。

R(s)

解：化簡(jiǎn)過(guò)程如下

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

C(5)_______________0.7s+0.42_____________

而-d+(0.9+0.74)$2+Q.18+0.42A)S+0.52

2-10繪出圖2-T-10所示系統(tǒng)的信號(hào)流程圖，并根據(jù)梅遜公式求出傳遞函數(shù)膽。

R(s)

圖2-T-10

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

C(s)=________GQ2G3_________+G

-4

/?(5)1+G2W,-G,G2H,+G2G3H2

2-11試?yán)L出圖2-T-ll所示系統(tǒng)的信號(hào)流程圖，并求傳遞函數(shù)42和6@(設(shè)

K(s)R?(s)

/?2(i)=0).

圖2-T-ll

解：系統(tǒng)信號(hào)流程圖如圖所示。

題2-11系統(tǒng)信號(hào)流程圖

C|(s)__________GOG、______

R(s)~1+G,G2+G&-GGGG”凡

g(s)______GGGGG6Hl_______

K(s)~1+G,G,+G4-G,G2G4G5/7,H2

2-12求圖2-T-12所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

RG)

解：（a）系統(tǒng)只有一個(gè)回環(huán)：EL、=cdh,

在節(jié)點(diǎn)R(s)和C(s)之間有四條前向通道，分別為：P,=abcdef,P2=abcdi,

P3-agdef,P4=agdi,相應(yīng)的，有：△1二△?=A3=△4=1

則

C(s)__abcdef+abcdi+agdef+agdi

R(s)ATZf\-cdh

111

（b）系統(tǒng)共有三個(gè)回環(huán),因此,ZL]=-

/?CsR2c2sR、C2s

]

兩個(gè)互不接觸的回環(huán)只有一組，因此，ZL=---—?———

2/?￡$（R2c2sR】R2cle2s2

在節(jié)點(diǎn)R（S）和c（s）之間僅有一條前向通道：q=i.一L.-L4.一:一=—1一并且有

sC}R、sC2RXC}C2S~

A=l,貝|J

2__I___________g______________

R（S）1-ZLj+Z&1+（R]G+R，G+凡。2），+1

2-13確定圖2-T13中系統(tǒng)的輸出C（s）。

圖2-T-13

解：采用疊加原理，當(dāng)僅有R（s）作用時(shí),CG)=%

R(s)-\+G2H2+G,G2H,

。2。)

當(dāng)僅有RG）作用時(shí),_G?

-

2G)\+G2H2+G}G2H}

C（5）

當(dāng)僅有。2（，）作用時(shí),3

-￡>2(5)l+G2H2+GlG2Hl

C（5）G&H]

當(dāng)僅有AG）作用時(shí)，4

￡>3(S)

\+G2H2+G}G2H,

根據(jù)疊加原理得出

GG2RG)+GR(s)—G2。?G)-GG27/Q3(s)

C(s)=G(s)+。2(s)+C3G)+C4(5)

1+G2H2+G,G2H,

第三章

3-1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

CG)_/

2

R(s)5+2^a>ns+①;

求此系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)誤差。

解：當(dāng)輸入為單位斜坡響應(yīng)時(shí)，有

r(t)=t,H(s)=l

s

所以有

c(5)=-~~歐—r-4

5-+2血5+恣S-

分三種情況討論

(1)當(dāng)？>1時(shí)，

(3)當(dāng)，=1時(shí),

%2=一①.

22,a>?

c(t)=t——+—e-'\+—t

gg2

設(shè)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，有

s(s+2軻)

E,(S)=MS)_C(S)=MS)

、2血+。:

系統(tǒng)對(duì)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為

%=f.ims,心+2血),=匹

Is~s'+2^colls+a)l~(on

3-2試求下列單位反饋控制系統(tǒng)的位置、速度、加速度誤差系數(shù)。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

50

(1)G(s)=(2)G(s)=------------------

(l+0.1.v)(l+2.v)5(1+0.15)(1+0.55)

K(l+2s)(l+4s)

(3)G(s)=(4)G(s)

52(52+25+10)S(S2+4S+200)

解(1)K,=limG(s)=50,Kv=limsG(s)=0,&=lims2G(s)=0；

1sf0.v->0STO

2

(2)Kn=limG(5)=00,Kv=hmsG(s)=K.Kn=hmsG(s)=0；

PSTOs->0sfO

°K

(3)=limG(s)=8,K,=limsG(s)=8,K〃=lims2G(s)=—；

ps—>0s—>0.$->0JQ

K7

(4)Kn=limG(5)=oo,Kv=limsG(s)=——,Ka=lims2G(s)=0

1$->()S->0200sf。

3-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

10

G(s)—

5(0.15+1)

若輸入信號(hào)如下，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。

(1)r(O=/?o>(2)r(f)=R0+Rtt,(3)?)=&+隼+

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

①人"瑞=17^5(0.15+1)

0.152+5+10

誤差系數(shù)可求得如下

人1.小/、「5(0.15+1)

C,,=lim①(s)=lim-------------=0

0一。2…。0.1/+S+10

cd4/、r10(0.25+1),

C.=hm—①，(s)=hm-----------^—=0n.1

1…ds八/…(O.Ld+s+10)2

2(0.1/+s+10)-20(0.2s+iy

=0

(0.1/+5+10)3

(1)”￡)=&,此時(shí)有G(f)=%，(⑴=00)=0,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

%(，)=%?)=。，12。

(2)r(t)=R0+R,t,此時(shí)有力)=凡+犀,2=&,r(r)=O,于是穩(wěn)態(tài)誤差

級(jí)數(shù)為

e,(f)="?)+C￡(f)=O.氏，^>0

2

(3)r(f)=/?(1+Rtt+-R2t,此時(shí)有4?)=r+7?/+；/?2巴q⑴=&+Rj，

匕⑺=&,于是穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

Q

e“(f)=Cor,?)+G9)+三匕⑺=0.1(/?,+M'f20

3-4設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=---

5(0.15+1)

若輸入為rQ）=sin5r，求此系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)。

解：首先求系統(tǒng)的給定誤差傳遞函數(shù)

小E(s)15(0.15+1)

①.⑶=----=--------=----;---------

R(s)1+G(s)0.1.y2+5+500

誤差系數(shù)可求得如下

?\..5(0.15+1)

C=hm①,(5)=lim----5------------------=0

°o.io'v^O0.152+5+500

?..d小(、500(0.25+1)1

C<-lim—①，(s)=lim-----；----------=-----

ST。ds''ST。(0.1s2+s+500)2500

limQ①_LJM100(0.1$2+S+500)-1000(0.2S+1)2_98

，照芯《M―恩(0.1/+5+500)3-5Q07

以及

r((?)=sin5z

rs(r)=5cos5t

[?)=-25sin5f

則穩(wěn)態(tài)誤差級(jí)數(shù)為

rQ~i

esr(/)=Co-x25+?-?sin51+[C\x5---]cos5f

=[4.9x10-4H—]sin5z+[lxl02---]cos5r

3-6系統(tǒng)的框圖如圖3-T-la所示，試計(jì)算在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差的終值。如在輸入

端加入一比例微分環(huán)節(jié)（參見(jiàn)圖3-T-lb）,試證明當(dāng)適當(dāng)選取a值后，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入的

穩(wěn)態(tài)誤差可以消除。

R(s)C(s)

--------?說(shuō)

,-s(s+2^?)

a)

b)

圖3-T-l

解：系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：e“=2￡,加入比例一微分環(huán)節(jié)后

C（s）=+as）-C（s）］G（s）

C（s）二中常砧（f'硝

1+G（s）S+2或y〃s+q

E（s）=R（s）-c（s）=57（.-。以）.R（s）

s+2Q〃s+q

Ms）一

esr=limsE（s）=-~

2。a＞n

可見(jiàn)取a=5,可使e.=0

以

3-7單位反饋二階系統(tǒng)，已知其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

八2

G（s）=------*——

s（s+23.）

從實(shí)驗(yàn)方法求得其零初始狀態(tài)下的階躍響應(yīng)如圖3-T-2所示。經(jīng)測(cè)量知，”,,=0.096,

。=0.2$。試確定傳遞函數(shù)中的參量，及

解：由圖可以判斷出0＜《＜1,因此有

%=exp(一xlOO%

代入〃〃=0.096,0.2可求出

4=0.598

=19.588

C(s

3-8反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-3所示，要求>G(s

(1)由單位階躍函數(shù)輸入引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。

(2)整個(gè)系統(tǒng)的特征方程為+4s2+6s+4=0

圖3-T-3

求三階開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s),使得同時(shí)滿足上述要求。

解：設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

C(s)K

32

R(s)s+k}s+k2s+k3

15^+^.51~+k-)s-i-k-,

根據(jù)條件(1)lim------=------；-----=-------=0可知:%3=0：

s-?ol+G(s)s++&+K

根據(jù)條件(2)O(s)=s3+4s2+6s+4=0可知:占=4,k2=6,K=4。

所以有

。"卜+1+6)

3-9一單位反饋控制的三階系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s),如要求

(1)由單位斜坡函數(shù)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差等于2.0。

(2)三階系統(tǒng)的一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為=-1±刀。

求同時(shí)滿足上述條件的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)。

解：按照條件(2)可寫出系統(tǒng)的特征方程

(.v+1—j)(s+1+j)(s+a)=(.v2+2s+2)(5+a)=.v3+(2+a).s-2+(2+2a)s+2a=0

將上式與1+G(s)=0比較，可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

2a

G(s)

s[s~+(2+a)s+(2+2a)]

根據(jù)條件(1),可得

2。

2+2。

解得。=1,于是由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

G(，)=宓l帝］

3-10已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=-------

5(n+l)

試求在下列條件下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)之超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。

(1)K=4.5,r=ls(2)K=1,T=1S(3)K=0.16,r=ls

解：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為

W=R⑸G(s)=*而

(1)將K=4.5,r=ls代入式中可求出現(xiàn)=2.12rad/$,<=0.24,為欠阻尼系統(tǒng),

因此得出

%=46%,4=7.86s(2%),5.905(5%)

(2)將K=l,7=ls代入式中可求出4=lrad/s,^=0.5,,為欠阻尼系統(tǒng)，因此

得出

Mp=16.3%,ts=8A(2%)S,6s(5%)

(3)將K=0.16,T=1S代入式中可求出可,=0.4md/s,，=1.25,過(guò)阻尼，無(wú)最

大超調(diào)量。因此只有15s。

3-11系統(tǒng)的框圖如圖3-T-4所示，試求當(dāng)a=0時(shí),系統(tǒng)的之值。如要求，是確定a的值。

O

(1)當(dāng)a=0時(shí)，則系統(tǒng)傳傳遞函數(shù)為G(s)=--------，其中必=我=2后，2窕“=2,

+2s+8

所以有，=0.354。

(2)以不變時(shí)，系統(tǒng)傳函數(shù)為G(s)==--------------要求4=0.7,則有

"52+(8?+2)5+8

2.叱=2(4。+1),所以可求得求得a=0.25。

3-12已知兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果兩者的參量均相等，試分析z=l的零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)單位

脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)的影響。

1.單位脈沖響應(yīng)

(a)無(wú)零點(diǎn)時(shí)

sinJ1-二%/，（，20）

(b)有零點(diǎn)1=一1時(shí)

c(f)=J2牛,叫e"sinJl-+arctg處,(f20)

比較上述兩種情況，可見(jiàn)有零點(diǎn)z=-1時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的振幅較無(wú)零點(diǎn)時(shí)小，而且產(chǎn)生

相移，相移角為近火前一‘

1-3“

2.單位階躍響應(yīng)

(a)無(wú)零點(diǎn)時(shí)

加了Z=-1的零點(diǎn)之后，超調(diào)量和超調(diào)時(shí)間tp都小于沒(méi)有零點(diǎn)的情況。

3-13單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)處于零初

始狀態(tài)。如果不考慮擾動(dòng)，當(dāng)參考輸入為階躍函數(shù)形式的速度信號(hào)時(shí)，試解釋其響應(yīng)為何

必然存在超調(diào)現(xiàn)象？

單位反饋控制系統(tǒng)的框圖如圖3-T-5所示。假設(shè)未加入外作用信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)中存在比例-

積分環(huán)節(jié)KikiS+l),當(dāng)誤差信號(hào)e(f)=0時(shí)，由于積分作用，該環(huán)節(jié)的輸出保持不變，故

系統(tǒng)輸出繼續(xù)增長(zhǎng)，知道出現(xiàn)e(f)<0時(shí)，比例-積分環(huán)節(jié)的輸出才出現(xiàn)減小的趨勢(shì)。因此，

系統(tǒng)的響應(yīng)必然存在超調(diào)現(xiàn)象。

3-14上述系統(tǒng)，如在/()為常量時(shí)，加于系統(tǒng)的擾動(dòng)〃為階躍函數(shù)形式，是從環(huán)節(jié)及物

理作用上解釋，為何系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差等于零？如擾動(dòng)〃(。為斜坡函數(shù)形式，為何擾動(dòng)

穩(wěn)態(tài)誤差是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量？

在r(f)為常量的情況下，考慮擾動(dòng)〃Q)對(duì)系統(tǒng)的影響，可將框圖重畫如下

N(s)C6)

圖A-3-2題3-14系統(tǒng)框圖等效變換

C(s)=_______必_______N(S)

2

S(T2S+1)+KtK2(ris+1)

根據(jù)終值定理，可求得〃（。為單位階躍函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0,〃（/）為單位斜坡函數(shù)

時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為O

從系統(tǒng)的物理作用上看，因?yàn)樵诜答伝芈分杏小獋€(gè)積分環(huán)節(jié)，所以系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)的擾

動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。在反饋回路中的積分環(huán)節(jié)，當(dāng)輸出為常量時(shí)，可以在反饋端產(chǎn)生一個(gè)與時(shí)

間成正比的信號(hào)以和擾動(dòng)信號(hào)平衡，就使斜坡函數(shù)的擾動(dòng)輸入時(shí)，系統(tǒng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差與時(shí)間

無(wú)關(guān)。

3-15已知系統(tǒng)的特征方程如下,試用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)其穩(wěn)定性。

54183

?3240

（1）勞斯表有52630則系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定o

30

,03

54112

53240

（2）勞斯表有s2-12勞斯陣列第?列符號(hào)改變兩次，根據(jù)勞斯判據(jù),

518

s°2

系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

551316

541910

(3)勞斯表有一66

勞斯陣列第?列符號(hào)改變兩次,根據(jù)勞斯判據(jù),

$21010

5112

5°10

系統(tǒng)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

1584

396

264

(4)勞斯表有53812系統(tǒng)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，由輔助方程

s--)34

4

3

4

A(s)=2/+6/+4可求得系統(tǒng)的兩對(duì)共規(guī)虛數(shù)極點(diǎn)九2=±上$3.4=±八歷。

3-16根據(jù)下列單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值的范圍。

(1)K>0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)K>0時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)0<K<3時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

3-17已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)=—"二W—請(qǐng)?jiān)谝訩為橫坐

5(CT+1)(25+1)

標(biāo)，7為縱坐標(biāo)的平面上，確定系統(tǒng)為穩(wěn)定的區(qū)域。

系統(tǒng)的特征方程為D(s)=2Ts3+(7+2)S2+(K+l)s+K=0

532rk+1

y2T*+2k

列寫勞斯表1(r+2)(k+l)-2永，得出系統(tǒng)穩(wěn)定應(yīng)滿足的條件

s-----------------

r+2

?+2)(K+1)-2TK

r+2

由此得到和應(yīng)滿足的不等式和條件

C2(K+1)

K>1,7w2

K-1

K234591530100

7643.332.52.282.132.04

根據(jù)列表數(shù)據(jù)可繪制K為橫坐標(biāo)、T為縱坐標(biāo)的曲線，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域?yàn)閳D

A-3-3中的陰影部分。

15K

圖A-3-3閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)區(qū)域

3-18已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=：K_+5)(S+40)試求系統(tǒng)的

?(5+200)(5+1000)

臨界增益K,之值及無(wú)阻尼振蕩頻率值。

根據(jù)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)得到特征方程

55+120054+20000053+ks2+45ks+2004=0

列寫勞斯表

S5120000045A

541200k200k

2.4x10-5.4xIO,女_200女

0

12001200

1.7544x10”—公

S200k

2.4x108_女

7.787xl0〃2_45%3—0.96x10。

1

S1.7544X10M_%2

s°200k

根據(jù)勞斯判據(jù)可得

2.4x108/

----------->0

1200

1.7544x103

----------3------>0

<2.4x10—

7.787乂10"2-45/一096><10瞪

1.7544X10U—公

200*>0

系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為

1.22xl06</T<1.7535x10s

當(dāng)儲(chǔ)=1.22x106、勺=1.7535x1()8時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共筑虛數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)產(chǎn)生等幅振蕩,

8

因此臨界增益Kc=1.22x1()6以及3=1.7535xlO.

根據(jù)勞斯表列寫K,=1.22x106時(shí)的輔助方程

1.7544X10隈1.22*1()6一(122xl()6)2工

+200xl.22xl06=0

2.4X108-1.22X106

解得系統(tǒng)的一對(duì)共規(guī)虛數(shù)極點(diǎn)為S1.2=±〃6,系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率即為\6rad/s。

￡=1.7535x1()8時(shí)的輔助方程

1.7544x1()8〉L7535X1()8—(I7535X10)工

+200x1.7535x108=0

2.4x108-1.7535xlO8、

解得系統(tǒng)的一對(duì)共規(guī)虛數(shù)極點(diǎn)為s*=±乃38,系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率為33Srad/s。

第四章

4-2設(shè)已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下，要求繪出當(dāng)開(kāi)環(huán)增益&變化時(shí)系統(tǒng)的根軌

跡圖，并加簡(jiǎn)要說(shuō)明。

⑴G(S)=―,---與-----r

s(s+l)(s+3)

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為0,-1,一3,無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。實(shí)軸［-1,0］與［-00,3］上有根軌跡，漸近線

相角e=±60°,±180°,漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)凡=—1.33,由也■=()可得出分離點(diǎn)為

匕“dS

(-0.45,J0),與虛軸交點(diǎn)±/百(&=⑵。常規(guī)根軌跡如圖A-4-2所示。

圖A-4-2題4-2系統(tǒng)(1)常規(guī)根軌跡

(2).心+4/$2+4s+20)

方法步驟同上，實(shí)軸(-4,0］上有根軌跡，化=±45°,±135°,%=—2,分離點(diǎn)

(-2,/0灼(-2土J2.5),與虛軸交點(diǎn)士=260)。常規(guī)根軌跡如圖A-4-3所示。

2T

圖A-4-3題4-2系統(tǒng)（2）常規(guī)根軌跡

4-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）=（1）試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形,

并對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。（2）若增加一個(gè)零點(diǎn)z=-l，試問(wèn)根軌跡圖有何變化，對(duì)系

統(tǒng)穩(wěn)定性有何影響？

⑴G（，）=*

2）

實(shí)軸［-oo,-2］上有根軌跡，%=±60°,巴=-0.67,由吧=0可得出分離點(diǎn)為

dS

（0J0）,與虛軸交點(diǎn)為川優(yōu)=0）常規(guī)根軌跡如圖A-4-4（a）所示。從根軌跡圖可見(jiàn)，當(dāng)

&〉0便有二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半，平面。所以無(wú)論K取何值，系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

圖A46超43系統(tǒng)（2）極貌進(jìn)

圖A-4-4題4-3系統(tǒng)常規(guī)根軌跡

M(s+1)

(2)G(s)=

$2(s+2)

實(shí)軸［-2,-1］上有根軌跡,夕“=±90°,5,=—0.5,分離點(diǎn)為(0,j0)；常規(guī)根軌跡如圖

A-4-4(b)所示。從根軌跡圖看，加了零點(diǎn)z=-l后，無(wú)論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

4-4設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)"(s)=—^i^試?yán)L制下列條件下系統(tǒng)的常規(guī)

s(s+2s+a)

根軌跡(l)a=l(2)a=1.185(3)a=3

(1)a=l時(shí)，實(shí)軸(一2,0］上有根軌跡，七=±90°,區(qū),=0,分離點(diǎn)為(—0.38,0),常

規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(1)

圖A-4-5(1)

(2)a=1.185時(shí)，實(shí)軸(-2,0］上有根軌跡，％=±90°,cr“=0,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

(0,±j),常規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(2)

圖A-4-5(2)

(3)a=3時(shí)，實(shí)軸(-2,0］上有根軌跡，(pa=±90°,b“=0,根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為(0,士力,

常規(guī)根軌跡如圖圖A-4-5(3)

RootLocus

ss

vx

A

m

ol

Ee

-1.4-1.2-1-0.6-0.4-02

RealAxis

圖A-4-5(3)

4-5求開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(S)"(S)=§9TD的系統(tǒng)在下列條件下的根軌跡(1)a=10(2)

s~(s+a)

a=9(3)a=8(4)a=3

(1)實(shí)軸［一10,-1］上有根軌跡，%=±9(r,b0=—4.5,分離點(diǎn)為(0,川)，與虛軸交點(diǎn)為

川(&=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(1)

圖A-4-6(1)

(2)實(shí)軸［—9,—1］上有根軌跡，以=±90°，5,=-4,分離點(diǎn)為(0,JO),與虛軸交點(diǎn)為

J0(K1=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(2)

Rootlocus

.ffl

yx

A

目

O

mw

RedAxls

圖A-4-6(2)

(3)實(shí)軸［—8,—1］上有根軌跡，%=±9(r,b〃=—3.5,分離點(diǎn)為(0,JO),與虛軸交點(diǎn)為

川(6=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(3)

RootLocus

MX

AV

BJ

-BU

-EB

圖A-4-6(3)

(4)實(shí)軸［—3,-1］上有根軌跡，化=±90。,/=—1,分離點(diǎn)為(0,川)，與虛軸交點(diǎn)為

川(6=0)。常規(guī)根軌跡大致圖形如圖A-4-6(4)

圖A-4-6(4)

4-7設(shè)系統(tǒng)的框圖如圖4-T-2所示，試?yán)L制以a為變量的根軌跡，并要求：(1)求無(wú)局部反

饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，阻尼比及調(diào)整時(shí)間。(2)討論a=2時(shí)局部反饋對(duì)系性

能的影響。(3)確定臨界阻尼時(shí)的a值。