第八章理想流體有旋流動和無旋流動演示文稿

第八章理想流體有旋流動和無旋流動演示文稿目前一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點（優(yōu)選）第八章理想流體有旋流動和無旋流動目前二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在許多工程實際問題中，流動參數(shù)不僅在流動方向上發(fā)生變化，而且在垂直于流動方向的橫截面上也要發(fā)生變化。要研究此類問題，就要用多維流動的分析方法。本章主要討論理想流體多維流動的基本規(guī)律，為解決工程實際中類似的問題提供理論依據(jù)，也為進一步研究粘性流體多維流動奠定必要的基礎(chǔ)。

目前三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點本章內(nèi)容微分形式的連續(xù)方程

流體微團運動分解

理想流體運動方程定解條件

理想流體運動微分方程的積分

渦線渦管渦束渦通量速度環(huán)量斯托克斯定理湯姆孫定理亥姆霍茲定理

平面渦流

速度勢流函數(shù)流網(wǎng)幾種簡單的平面勢流

簡單平面勢流的疊加

均勻等速流繞過圓柱體的平面流動均勻等速流繞過圓柱體有環(huán)流的平面流動目前四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第一節(jié)微分形式的連續(xù)方程目前五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

當(dāng)把流體的流動看作是連續(xù)介質(zhì)的流動，它必然遵守質(zhì)量守恒定律。對于一定的控制體，必須滿足它表示在控制體內(nèi)由于流體密度變化所引起的流體質(zhì)量隨時間的變化率等于單位時間內(nèi)通過控制體的流體質(zhì)量的凈通量。

目前六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點直角坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程在流場中取出微元六面體ABCDEFG微元六面體中心點上流體質(zhì)點的速度為vx、vy、vz密度為ρ和x軸垂直的兩個平面上的速度和密度目前七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在x方向上，dt時間內(nèi)通過左面流入的流體質(zhì)量為：dt時間通過右面流出的流體質(zhì)量為：則dt時間內(nèi)沿x軸通過微元體表面的質(zhì)量凈通量為目前八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在dt時間內(nèi)沿y軸和z軸方向流體質(zhì)量的凈通量分別為：在dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為開始瞬時流體的密度為ρ，經(jīng)過dt時間后的密度為在dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為目前九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點連續(xù)性方程表示了單位時間控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量等于流體在控制體表面上的凈通量。它適用于理想流體和粘性流體、定常流動和非定常流動。

——可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程目前十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點定常不可壓縮定常物理意義：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。目前十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

柱坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程定常不可壓縮定常目前十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

球坐標(biāo)系中微分形式的連續(xù)性方程定常不可壓縮定常目前十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】已知不可壓縮流體運動速度v在x，y兩個軸方向的分量為vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0處，有vz=0。試求z軸方向的速度分量vz。

目前十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第二節(jié)流體微團運動分解

目前十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。流體微團在運動過程中不但象剛體那樣可以有移動和轉(zhuǎn)動，而且還會發(fā)生變形運動。一般情況下，流體微團的運動可以分解為移動，轉(zhuǎn)動和變形運動。

目前十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在流場中任取一微元平行六面體邊長分別為dx、dy、dz。t瞬時A點的速度為頂點M速度為目前十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點線速度線變形速率剪切變形速率旋轉(zhuǎn)角速度目前十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分：以流體微團中某點的速度作整體平移運動——線速度繞通過該點軸的旋轉(zhuǎn)運動——旋轉(zhuǎn)角速度微團本身的變形運動——線變形速率、剪切變形速率目前二十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點oxy坐標(biāo)面內(nèi)，t時刻矩形ABCD的運動目前二十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點平移運動矩形ABCD各角點具有相同的速度分量vx、vy。導(dǎo)致矩形ABCD平移vxδt,上移vyδt,ABCD的形狀不變。目前二十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點線變形運動x方向的速度差y方向的速度差A(yù)B、DC在δt時間內(nèi)伸長AD、BC在δt時間內(nèi)縮短目前二十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點定義：單位時間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團的線變形速率。沿x軸方向的線變形速率為沿y軸、z軸方向的線變形速率為目前二十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點對于不可壓縮流體，上式等于零，是不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團在運動中體積不變。三個方向的線變形速率之和所反映的實質(zhì)是流體微團體積在單位時間的相對變化，稱為流體微團的體積膨脹速率。不可壓縮流體的連續(xù)性方程也是流體不可壓縮的條件。目前二十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點角變形運動目前二十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點角變形速度：兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內(nèi)的變化量剪切變形速率該夾角變化的平均值在單位時間內(nèi)的變化角變形速度的平均值目前二十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點旋轉(zhuǎn)運動

流體微團只發(fā)生角變形流體微團只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形流體微團在發(fā)生角變形的同時，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動目前二十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點旋轉(zhuǎn)角速度：單位時間角平分線的旋轉(zhuǎn)量角平分線的旋轉(zhuǎn)量旋轉(zhuǎn)角速度單位時間二直角邊旋轉(zhuǎn)角速度代數(shù)和的平均值目前二十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前三十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前三十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點亥姆霍茲速度分解定理

在一般情況下微小流體質(zhì)團的運動可以分解為三部分：（1）隨質(zhì)團中某點（基點）一起前進的平移運動；（2）繞該點的旋轉(zhuǎn)運動；（3）含有線變形和角變形的變形運動。微小流體質(zhì)團的維長趨于零的極限是流體微團流體微團的運動分解定理目前三十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點亥姆霍茲速度分解定理對于流體力學(xué)的發(fā)展有深遠的影響：由于把旋轉(zhuǎn)運動從一般運動中分離出來，才使我們有可能把運動分成無旋運動和有旋運動；正是由于把流體的變形運動從一般運動中分離出來，才使我們有可能將流體變形速度與流體應(yīng)力聯(lián)系起來，這對于粘性流體運動規(guī)律的研究有重大的影響。目前三十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點根據(jù)流體微團是否旋轉(zhuǎn)可將流體的流動分為兩大類有旋流動流體在流動中，如果流場中有若干處流體微團具有繞通過其自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動，則稱為有旋流動。流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零（數(shù)學(xué)條件）無旋流動

如果在整個流場中各處的流體微團均不繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)運動，則稱為無旋流動。流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度等于零（數(shù)學(xué)條件）目前三十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點無旋流動需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關(guān)。

目前三十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】給定直角坐標(biāo)系中速度場vx=x2y+y2，vy=x2-xy2，vz=0。求各變形速度，并判斷流場是否為不可壓縮流場。目前三十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】給定兩個流場：

（1）vx=-y，vy=x；vz=0；（2）vx=-y/(x2+y2)，vy=x/(x2+y2)，vz=0。求這兩個流場的跡線和旋轉(zhuǎn)角速度。目前三十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第三節(jié)理想流體運動微分方程定解條件

目前三十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、理想流體運動方程在流場中取一平行六面體邊長分別為δx，δy，δz

中心點為(x,y,z)中心點的壓強為p=p(x,y,z)密度為ρ=ρ(x,y,z)因研究的對象為理想流體，作用于六個面上的表面力只有壓力作用于微元體上的單位質(zhì)量力沿三個坐標(biāo)軸的分量分別為fx，fy，fz

以該六面體為控制體，應(yīng)用動量方程目前三十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點沿x方向從左面單位時間流入控制體的動量為從右面流出的動量為沿x方向單位時間流出與流入控制體的動量差y方向、z方向經(jīng)過控制面單位時間流體動量的凈通量為目前四十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點控制體內(nèi)單位時間流體動量的變化作用在控制體內(nèi)流體上的質(zhì)量力沿x方向壓強的合力y方向、z方向作用在控制面上壓強的合力為目前四十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前四十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

理想流體微分形式的運動方程，又稱流體運動的歐拉方程。表示了作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力、表面力和慣性力相平衡：在流場的某點，單位質(zhì)量流體的當(dāng)?shù)丶铀俣扰c遷移加速度之和等于作用在它上面的重力與壓力之和。該式推導(dǎo)過程中對流體的壓縮性沒加限制，故可適用于理想的可壓流體和不可壓縮流體，適用于有旋流動和無旋流動。vx=vy=vz=0，方程變?yōu)榱黧w平衡的歐拉方程。目前四十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點柱坐標(biāo)系中的歐拉運動微分方程式球坐標(biāo)系中的歐拉運動微分方程式目前四十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點蘭姆方程（可直接從微分方程中判定流動是否有旋）——蘭姆方程目前四十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點質(zhì)量力有勢正壓流場——壓強函數(shù)目前四十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下的運動微分關(guān)系目前四十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、定解條件對于不可壓縮理想流體，未知量有vx、vy、vz、p四個，除三個運動微分方程外，還有連續(xù)方程，聯(lián)立可以求解；對于正壓的理想流體，密度隨壓強變化，多了未知量ρ，需補充物態(tài)方程，方可求解；對于非正壓的理想流體，密度隨壓強和溫度變化，又多了未知量T，還需補充能量方程，才能求解；滿足基本方程的解有無窮多，要得到給定流動的確定解，必須給出它的定解條件，包括起始條件和邊界條件。目前四十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點1.起始條件方程組的解在起始瞬時（t=0）應(yīng)滿足的條件，是起始瞬時流動參數(shù)在流場中的分布規(guī)律，即起始條件是研究非定常流動必不可少的定解條件，但在研究定常流動時，可以不必給出。目前四十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點2.邊界條件方程組的解在流場邊界上應(yīng)滿足的條件。邊界條件可以是固體的，也可以是流體的；可以是運動學(xué)的、動力學(xué)的，也可以是熱力學(xué)的。目前五十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點固體壁面理想流體沿固體壁面流動時，既不能穿過它，也不能脫離它形成空隙，壁面上流體質(zhì)點的法向速度vln應(yīng)等于對應(yīng)點上壁面的法向速度vbn，即vln=vbn。如果壁面靜止不動，則vln=0。流體與固壁的相互作用力也必沿壁面的法線方向。目前五十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流體交界面若在交界面上兩種流體互不滲透，它們在同一點上的法向速度應(yīng)相等，通常兩側(cè)的溫度也是連續(xù)的，即v1n=v2n，T1=T2若交界面是曲面，曲面兩側(cè)的壓強應(yīng)滿足p1-p2=σ(1/R1+1/R2)若交界面是平面，R1=R2→∞，則p1=p2若交界面是自由表面，則p=pamb若自由表面上是大氣，則p=pa目前五十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點無窮遠處一般給定該處流體的流速v∞、壓強p

∞和密度ρ∞

。流道進出口處此處的條件需視具體情況而定，一般給出該處截面上的速度分布。目前五十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第四節(jié)理想流體運動方程的積分目前五十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、歐拉積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動在流場中任取一有向微元線段目前五十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，單位質(zhì)量流體的動能v2/2、質(zhì)量力位勢能π、壓強勢能PF之和在流場中保持不變。目前五十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、伯努利積分正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動。流線與跡線重合在流場中沿流線取一有向微元線段在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為目前五十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，單位質(zhì)量流體的動能v2/2、質(zhì)量力位勢能π、壓強勢能PF之和沿同一流線保持不變。一般情況下，沿不同流線，積分常數(shù)值不一樣。目前五十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

不可壓縮重力流體，若取坐標(biāo)軸z方向向上：

π=gzPF=p/ρv2/2+gz+p/ρ=C如果流動無旋，單位質(zhì)量流體的動能、位勢能、壓強勢能之和在流場中保持不變；如果流動有旋，這三項之和沿同一流線保持不變。目前五十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

對于完全氣體的絕熱流動，質(zhì)量力的作用可忽略不計：非粘性完全氣體一維定常絕熱流動的能量方程。如果流動無旋，單位質(zhì)量氣體的動能、壓強勢能之和在流場中保持不變；如果流動有旋，這二項之和沿同一流線保持不變。目前六十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】如圖所示為水平放置、間隙為δ、半徑為r2的二圓盤，水由上圓盤中央半徑為r1的小管以速度v1定常地流入，若不計水流入的動量，試求圓盤間水的壓強沿徑向的分布規(guī)律。目前六十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第五節(jié)渦線渦管渦束渦通量

目前六十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點自然界中流體的流動絕大多數(shù)是有旋的大氣中的旋風(fēng)、龍卷風(fēng)，橋墩后的渦旋區(qū)；行進中的船舶后的尾渦區(qū)；充滿微小渦旋的紊流流動；物體表面充滿微小渦旋的邊界層流動；葉輪機械內(nèi)流體的渦旋運動。目前六十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流體微團旋轉(zhuǎn)角速度的矢量表示更普遍地用渦量來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動渦量的定義充滿渦量的流場稱為渦量場目前六十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、渦線渦管渦束渦線在給定瞬時處處與渦量矢量相切的曲線。沿該線各流體微團的瞬時轉(zhuǎn)動軸線。渦線方程

非定常流動，渦線的形狀和位置是隨時間變化的，積分渦線微分方程時，t作為參變量；定常流動，渦線的形狀和位置保持不變，渦線微分方程中沒有時間變量t。目前六十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦管渦束給定瞬時在渦量場中取一不是渦線的封閉曲線，通過封閉曲線的每一點作渦線，這些渦線形成的管狀表面稱為渦管；截面無限小的渦管稱為微元渦管；渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束；微元渦管中的渦束稱為微元渦束或渦絲。目前六十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、渦通量

旋轉(zhuǎn)角速度ω的值與垂直于角速度方向的微元渦管橫截面積dA的乘積的兩倍稱為微元渦管的渦通量（也稱渦管強度）dJ有限截面渦管的渦通量可表示為沿渦管橫截面的積分ωn是微元渦管的旋轉(zhuǎn)角速度沿渦管橫截面法線方向的分量目前六十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第六節(jié)速度環(huán)量斯托克斯定理

目前六十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、速度環(huán)量在流場的某封閉周線上，流體的速度矢量與該線微元有向線段的標(biāo)積沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號Γ表示速度環(huán)量是代數(shù)量，它的正負不僅與速度的方向有關(guān)，還與線積分的繞行方向有關(guān)；規(guī)定：繞行的正方向為逆時針方向，即封閉周線所包圍的面積總在繞行前進方向的左側(cè)；封閉周線所圍曲面的法線正方向與繞行的正方向形成右手螺旋系統(tǒng)。目前六十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、斯托克斯定理在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所張曲面的渦通量目前七十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點微元封閉周線目前七十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點任意有限封閉周線K用互相正交的兩組直線將平面和曲面劃分成無數(shù)個微元封閉周線微元面積視為平面微元封閉周線所有微元周線K內(nèi)各微元線段速度的線積分都要計算兩次，繞行方向相反目前七十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點斯托克斯定理的應(yīng)用區(qū)域限制條件區(qū)域內(nèi)任意封閉周線都能連續(xù)地收縮成一點而不越出流體的邊界——單連通域多連通域目前七十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點多連通域斯托克斯定理目前七十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】已知二維流場的速度分布為vx=-6y，vy=8x，試求繞圓x2+y2=R2的速度環(huán)量。目前七十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】在二元渦量場中，已知圓心在坐標(biāo)原點、半徑r=0.2m的圓區(qū)域內(nèi)流體的渦通量J=0.8πm2/s。若流體微團在半徑r處的速度分量vθ為常數(shù)，它的值是多少？目前七十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】已知理想流體的速度分布為，試求渦線方程以及沿封閉周線的速度環(huán)量，其中a、b為常數(shù)。目前七十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第七節(jié)湯姆孫定理亥姆霍茲定理

目前七十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、湯姆孫定理正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間變化；在流動過程中，上述流體質(zhì)點線可以移動、變形，但組成該線的流體質(zhì)點不變。所以速度環(huán)量隨時間的變化率目前七十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前八十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點湯姆孫定理和斯托克斯定理說明：正壓的理想流體在有勢的質(zhì)量力作用下，速度環(huán)量和渦旋不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。理想流體無粘性，不存在切應(yīng)力，不能傳遞旋轉(zhuǎn)運動；既不能使不旋轉(zhuǎn)的流體微團旋轉(zhuǎn)，也不能使旋轉(zhuǎn)的流體微團停止旋轉(zhuǎn)；流場中原來有渦旋和速度環(huán)量的，將保持有渦旋和速度環(huán)量；原來沒有渦旋和速度環(huán)量的，就永遠沒有渦旋和速度環(huán)量；流場中也會出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有渦旋的情況，此時渦旋是成對出現(xiàn)的，每對渦旋的強度相等而旋轉(zhuǎn)方向相反。目前八十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、亥姆霍茲定理亥姆霍茲第一定理：在同一瞬時渦管各截面上的渦通量相同。沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等目前八十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點沿包圍渦管任一截面封閉周線的速度環(huán)量相等斯托克斯定理：速度環(huán)量等于穿過封閉周線所包圍截面的渦通量渦管各截面上渦通量相等渦管在流體中既不能開始，也不能終止，只能是自成封閉的管圈，或在邊界上開始、終止。目前八十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理）在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管始終由相同的流體質(zhì)點組成。渦管表面上任意由流體質(zhì)點組成的封閉周線K開始時沒有渦線穿過周線K所包圍的面積沿周線K的速度環(huán)量等于零速度環(huán)量不能自生自滅，沿周線K的速度環(huán)量永遠為零渦管表面上任何封閉周線所包圍的面積中永遠沒有渦線通過在某一時刻構(gòu)成渦管的流體質(zhì)點永遠在渦管上渦管永遠為渦管，但渦管的現(xiàn)狀隨時間可能有變化目前八十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點亥姆霍茲第三定理（渦管強度守恒定理）在有勢的質(zhì)量力作用下的正壓理想流體中，渦管強度不隨時間變化。圍繞渦管表面A取一封閉的流體質(zhì)點周線K渦管始終由相同的流體質(zhì)點組成沿渦管表面周線K的速度環(huán)量保持不變通過渦管的渦通量也保持不變渦管強度不隨時間變化目前八十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第八節(jié)平面渦流

目前八十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點設(shè)在重力作用下的不可壓縮理想流體中，有一無限長的渦通量為J的垂直渦束，像剛體一樣以等角速度ω繞自身軸旋轉(zhuǎn)；渦束周圍的流體受渦束的誘導(dǎo)將繞渦束軸作對應(yīng)的等速圓周運動；由于直線渦束無限長，與渦束軸垂直的所有平面上的流動情況都一樣，可只研究其中一個平面的流動。目前八十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦束內(nèi)的流動區(qū)域，稱為渦核區(qū)。有旋流動，其半徑為rb。渦束外的流動區(qū)域稱為環(huán)流區(qū)。由于速度環(huán)量和旋渦都不能自行產(chǎn)生，故為無旋流動。目前八十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點環(huán)流區(qū)

沿任何圓周線的速度環(huán)量

環(huán)流區(qū)速度分布環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，流速升高。目前八十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點環(huán)流區(qū)的壓強分布環(huán)流區(qū)內(nèi)隨半徑的減小，壓強降低。在與渦核交界處，流速達到該區(qū)的最高值，而壓強則是該區(qū)的最低值。目前九十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦核區(qū)

渦核區(qū)的速度分布目前九十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦核區(qū)的壓強分布

渦核區(qū)為有旋流動，伯努利方程的積分常數(shù)隨流線而變，其壓強分布由歐拉運動微分方程推出：目前九十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點目前九十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦核中心的流速為零，壓強最低渦核區(qū)邊緣至渦核中心的壓強降渦核區(qū)和環(huán)流區(qū)的壓強降相等，都等于以它們交界處的速度計算的動壓頭；由于渦核區(qū)的壓強比環(huán)流區(qū)的低，而渦核區(qū)又很小，徑向壓強梯度很大，故有向渦核中心的抽吸作用，渦旋越強，這種作用越大，如龍卷風(fēng)，具有極強的渦旋，有很大的破壞力；在工程實際中，也有許多與渦流有關(guān)的裝置。目前九十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第九節(jié)速度勢流函數(shù)流網(wǎng)

目前九十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點

自然界中無旋流動是很少的有許多有旋流動可以近似地視為無旋流動可以使繁瑣的數(shù)學(xué)計算得到簡化，解決工程實際問題；此類分析、計算方法已經(jīng)很成熟。目前九十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、速度勢無旋流動是vxdx+vydy+vzdz成為某函數(shù)φ(x,y,z)的全微分的充要條件

dφ=vxdx+vydy+vzdz流場的速度等于勢函數(shù)φ的梯度，φ為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。目前九十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點速度勢對任意方向s的偏導(dǎo)數(shù)

速度勢函數(shù)對任意方向s的偏導(dǎo)數(shù)等于速度矢量在該方向上的投影在柱坐標(biāo)系中的速度分量目前九十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點在勢流中任取一曲線AB，沿AB切向速度的線積分為沿任意曲線切向速度的線積分等于曲線兩端的速度勢之差；若曲線為封閉周線，速度勢又是單值連續(xù)函數(shù)，則沿該周線的速度環(huán)量等于零。目前九十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點不可壓縮流體滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，速度勢是調(diào)和函數(shù)。柱坐標(biāo)系中

——拉普拉斯方程——拉普拉斯算子目前一百頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、流函數(shù)不可壓縮流體的平面流動連續(xù)方程流線方程是-vydx+vxdy成為某函數(shù)ψ(x,y)全微分的充要條件

目前一百零一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流線上dψ=-vydx+vxdy=0ψ=const每條流線都有各自的常數(shù)值，故稱ψ(x,y)為流函數(shù)。流函數(shù)總滿足連續(xù)方程。不可壓縮流體的二維流動，必然存在流函數(shù)，不管它是理想流體還是粘性流體，是有旋流動還是無旋流動。極坐標(biāo)系中目前一百零二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點等流函數(shù)線為流線目前一百零三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差——流函數(shù)的物理意義目前一百零四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。目前一百零五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點三、流網(wǎng)在不可壓縮流體的平面無旋流動中，同時存在速度勢和流函數(shù)。流函數(shù)和勢函數(shù)的關(guān)系：等勢線族和流線族互相正交。在平面上等勢線和流線構(gòu)成處處正交的網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)?！獌纱厍€正交的條件目前一百零六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】已知不可壓縮流體平面勢流的速度勢φ=xy，試求速度投影和流函數(shù)。目前一百零七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點【例】已知平面流動的流函數(shù)Ψ=3x2y-y3。求勢函數(shù)；若在流場中A(1m,1m)處的絕對壓強為1.5×105Pa，流體的密度為1.2kg/m3，則B(3m,5m)處的壓強是多少？目前一百零八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第十節(jié)幾種簡單的平面勢流

目前一百零九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、均勻等速流流速的大小和方向沿流線不變的流動為均勻流；若流線平行且流速相等，則稱為均勻等速流。勢函數(shù)等勢線流函數(shù)流線流線與等勢線垂直目前一百一十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流場中各點的流速相同，流動無旋，所以流場中流體的總勢能不變水平面上的均勻等速流壓強在流場中處處相等目前一百一十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、源流和匯流在無限平面上，若流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，稱為源流，這個點稱為源點；若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，稱為匯流，這個點稱為匯點。流動只有徑向速度vr通過任一單位高度圓柱面的體積流量qV目前一百一十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點勢函數(shù)源點和匯點是奇點等勢線不同半徑的同心圓流函數(shù)流線不同極角的徑線流線與等勢線正交目前一百一十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點水平面內(nèi)流動的壓強分布對半徑r處和無窮遠列伯努利方程壓強隨半徑的減小而降低零壓強處絕對壓強不能等于零，上述各式適用范圍：r>r0目前一百一十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點三、勢渦若二維渦流的渦束半徑rb→0，則渦束變?yōu)橐粭l渦線，平面上的渦核區(qū)縮為一點，稱為渦點，這樣的流動稱為勢渦或自由渦流。渦點以外勢流區(qū)的速度分布r→0v→∞渦點為奇點目前一百一十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點勢函數(shù)等勢線不同極角的徑線流函數(shù)流線不同半徑的同心圓Γ>0，環(huán)流逆時針方向；Γ<0，環(huán)流順時針方向。流線與等勢線正交目前一百一十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點渦點以外勢流區(qū)的壓強分布

零壓強處

目前一百一十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點對于以上幾種簡單的平面勢流，重要的不是它們能代表怎樣的實際流動，而在它們是勢流的基本單元；把幾種基本單元組合在一起，可以形成許多有重要意義的復(fù)雜流動。目前一百一十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第十一節(jié)簡單平面勢流的疊加

目前一百一十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點若φ1,φ2,φ3,……,φn是調(diào)和函數(shù)，將它們相加組成的新函數(shù)也必是滿足拉普拉斯方程的調(diào)和函數(shù)：調(diào)和函數(shù)可以疊加，疊加成的新函數(shù)仍是調(diào)和函數(shù)，流動仍然無旋；它們的速度矢量可以疊加。目前一百二十頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點一、匯流與勢渦疊加——螺旋流匯流勢渦螺旋流等勢線流線流線和等勢線是兩組相互正交的螺旋線目前一百二十一頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點匯流和勢流疊加的流動為螺旋流速度分布

壓強分布上述各式的實際的適用范圍應(yīng)為目前一百二十二頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點旋風(fēng)燃燒室、離心式除塵器、離心式噴油嘴流體沿圓周切向流入，從中心流出——匯流和勢渦的疊加。離心泵、風(fēng)機外殼中的流體由葉輪螺旋流入，沿外殼切向流出——源流和勢渦的疊加。目前一百二十三頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點二、源流和匯流疊加——偶極子流兩個流量相等的位于A(-a,0)的源流和位于B(a,0)的匯流疊加目前一百二十四頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流線流線是經(jīng)過源點和匯點的圓線族當(dāng)源點和匯點無限接近，a→0時，流量必須同時無限增大，使趨于有限值，這樣流動才能形成——偶極子流。M為偶極子矩，也稱偶極子流強度，方向由源點指向匯點。目前一百二十五頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點偶極子流勢函數(shù)等勢線目前一百二十六頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點流函數(shù)流線速度分布目前一百二十七頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點第十二節(jié)均勻等速流繞過圓柱體的平面流動

目前一百二十八頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點速度為v∞沿x軸正向的均勻等速流與強度為M沿x軸正向的偶極子流勢函數(shù)流函數(shù)目前一百二十九頁\總數(shù)一百四十六頁\編于十八點速度為v∞沿x軸正向的均勻等速流與強度為M沿x軸正向的偶極子流疊加勢函數(shù)流函數(shù)流線零流線目前一百三