角平分線的性質(zhì)時(shí)

優(yōu)選角平分線的性質(zhì)時(shí)目前一頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)復(fù)習(xí)提問1、角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。oBCA12目前二頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)AOBCDE尺規(guī)作圖：作法：1、以____為圓心，______長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C、D兩點(diǎn)；2、分別以_____為圓心，__________的長為半徑作弧，兩條圓弧交于∠AOB內(nèi)一點(diǎn)____；3、作射線_____；_____就是所求作的射線。點(diǎn)O適當(dāng)C、D超過CD一半EOEOE觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：目前三頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)復(fù)習(xí)提問2、點(diǎn)到直線距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。OPAB線段的長度目前四頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)下圖中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是線段PC的長目前五頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。目前六頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：目前七頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)∵如圖，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）目前八頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等目前九頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)如圖，∵OC是∠AOB的平分線，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等目前十頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)例1、在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD例題講解目前十一頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEFGMN例題講解目前十二頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)練習(xí)1、在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA目前十三頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)2、已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求點(diǎn)D到AB的距離是ABCDE目前十四頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)反過來，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．思考目前十五頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），

∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）△QDO和△QEO是直角三角形在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴

∠QOD＝∠QOE

∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．目前十六頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE目前十七頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)例3、如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE，CF相交于點(diǎn)D，BD=CD。求證：AD平分∠BACABCDEF目前十八頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)練習(xí)3、如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。

求證：AD是△ABC的角平分線。ABCEFD目前十九頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上?！?/p>

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．用數(shù)學(xué)語言表示為：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵QD⊥OA,QE⊥OB,點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE課堂小結(jié)目前二十頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE目前二十一頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)3.如圖，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

。60BF4如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么線段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角的平分線6cm目前二十二頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)5、如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF鞏固提高目前二十三頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)如圖，在Rt△ABC與Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE，AB，ED的延長線相交于點(diǎn)P。求證：CP平分∠APEPDECAB目前二十四頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于MGHM∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上目前二十五頁\總數(shù)二十七頁\編于十九點(diǎn)3、已知:BD⊥AM于點(diǎn)D,CE⊥AN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMC