正弦定理余弦定理應用舉例距離高度角度

關(guān)于正弦定理余弦定理應用舉例距離高度角度第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量:①距離問題、②高度問題、③角度問題、④計算面積問題、⑤航海問題、⑥物理問題等.第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月實際應用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語1.仰角、俯角、視角。（1）.當視線在水平線上方時，視線與水平線所成角叫仰角。（2）.當視線在水平線下方時，視線與水平線所成角叫俯角。（3）.由一點出發(fā)的兩條視線所夾的角叫視角。（一般這兩條視線過被觀察物的兩端點）水平線視線視線仰角俯角第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2.方向角、方位角。（1）.方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于900的水平角叫方向角。（2）.方位角：指北方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線所成的角叫方位角。東西北南600300450200ABCD點A在北偏東600，方位角600.點B在北偏西300，方位角3300.點C在南偏西450，方位角2250.點D在南偏東200，方位角1600.第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3.水平距離、垂直距離、坡面距離。水平距離垂直距離坡面距離坡度（坡度比）i:垂直距離/水平距離坡角α:tanα=垂直距離/水平距離α第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月要測量不可到達的兩點間的距離,可用哪些方法?如圖:設A、B兩點在河的兩岸，怎樣測量兩點之間的距離?AB第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月方案一:構(gòu)造直角三角形AB在河岸的一側(cè)取一點C,使得AC⊥BCC若能測得AC的長及∠BAC,那么AB即可求出此方案有缺陷嗎?第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

如圖,設A,B兩點在河的兩岸.需要測量A,B兩點間的距離,測量者在A的同側(cè)河岸邊選定一點C.測出AC=55米,

求A,B兩點間的距離.∠BAC=45°,題型分類深度剖析題型一與距離有關(guān)的問題第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。..AB..DC基線第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

要測量對岸A、B兩點之間的距離，選取相距km的C、D兩點,并測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求

A、B之間的距離.

分析題意，作出草圖，綜合運用正、余弦定理求解.【例2】第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解如圖所示在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，∴AC=CD=km.在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC中，由余弦定理，得第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習1海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是

。ACB10海里60°75°答：海里解：應用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45

BC=10sin60/sin45

第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

解：如圖，在△ABC中由余弦定理得：A

我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？CB∴我艦的追擊速度為14nmile/h【例3】第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月又在△ABC中由正弦定理得：≈0.6186B≈38013’故我艦行的方向為北偏東11047’A

我艦在敵島A南偏西50°相距12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西10°的方向以10海里/小時的速度航行．問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？CB第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

求距離問題要注意：（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.(3)閱讀課本第11頁和第12頁的例1,例2的距離測量方法.第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識，只要能測出一點C到建筑物的頂部A的距離CA,并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高。所以應該設法借助解三角形的知識測出CA的長。第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解：選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點在同一條直線上。由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α，β，CD=a,測角儀器的高是h.那么，在⊿ACD中，根據(jù)正弦定理可得例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法

題型二與高度有關(guān)的問題第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習1如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是，CD間的距離是12m.已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，求什么？第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月AA1BCDC1D1分析：如圖，因為AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：煙囪的高為.第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°,則塔高為多少米

解析作出示意圖如圖，由已知：在Rt△OAC中，OA=200，∠OAC=30°，則OC=OA·tan∠OAC=200tan30°=

在Rt△ABD中，AD=，∠BAD=30°，則BD=AD·tan∠BAD=第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習2

在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝75°，在塔底C處測得A處的俯角β＝45°。已知鐵塔BC部分的高為30m，求出山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應該設法計算出AB或AC的長解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β=1350,∠ABC=90°-α=150,∠BAC=α-β=300,∠BAD=α=750.根據(jù)正弦定理，第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習3

如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=x，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.

解在△BCD中，∠CBD=π-α-β第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

解斜三角形應用題的一般步驟是：（1）準確理解題意，分清已知與所求；（2）依題意畫出示意圖；（3）分析與問題有關(guān)的三角形；（4）運用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形,

逐步求解問題的答案；（5）注意方程思想的運用；（6）要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識.第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月它等于地球橢圓子午線上緯度1分（一度等于六十分，一圓周為360度）所對應的弧長。1海里=1.852公里(千米)(中國標準)nmile：海里，航海上度量距離的單位。沒有統(tǒng)一符號第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例1如圖，某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在Ａ處獲悉后，測出該漁輪在方位角為４５°，距離為10nmile的Ｃ處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以９nmile/h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以２１nmile/h的速度前去營救．求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1°,時間精確到１min）北北ＡBC105°方位角：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角．題型三與角度有關(guān)的問題第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月北北ＡBC105°解：設艦艇收到信號后x

h在Ｂ處靠攏漁輪，則ＡＢ＝21x，ＢＣ＝９x，又AC=10,∠ACB=45°+(180°－105°)=120°.由余弦定理，得：化簡得：解得：x=２／３（h）=40(min)(負值舍去）第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月由正弦定理，得所以∠ＢＡＣ≈21.8°，方位角為45°+21.8°=66.8°答：艦艇應沿著方位角66.8°的方向航行，經(jīng)過４０min就可靠近漁輪．第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月練習：海中有島A，已知A島周圍8海里內(nèi)有暗礁，今有一貨輪由西向東航行，望見A島在北偏東75°，航行20海里后，見此島在北偏東30°，如貨輪不改變航向繼續(xù)前進，問有無觸礁危險。ABCM北北第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解：在△ABC中∠ACB=120°∠ABC=15°由正弦定理得：由BC=20,可求AC∴得AM=

≈8.97>8∴無觸礁危險ABCM北北7530第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月[例2].在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向,距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10

nmile/h的速度追截走私船.此時，走私船正以

10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,

問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？

分析如圖所示，注意到最快追上走私船且兩船所用時間相等，若在D

處相遇，則可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD.第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月則有CD=10t，BD=10t.在△ABC中，∵AB=-1，AC=2，∠BAC=120°,∴由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=（-1）2+22-2×（-1）×2×cos120°=6,∴BC=，即∠CBD=90°+30°=120°，在△BCD中，由正弦定理，得∴∠BCD=30°.即緝私船北偏東60°方向能最快追上走私船.解:設緝私船用th在D處追上走私船，第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖.當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援.同時把消息告知在甲船的南偏西.相