湖南省郴州市臨武縣第二中學高三數(shù)學理測試題含解析

湖南省郴州市臨武縣第二中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從某中學甲、乙兩班各隨機抽取10名同學，測量他們的身高（單位：cm），所得數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下，由此可估計甲、乙兩班同學的身高情況，則下列結論正確的是（

）A.甲班同學身高的方差較大

B．甲班同學身高的平均值較大C.甲班同學身高的中位數(shù)較大

D．甲班同學身高在175cm以上的人數(shù)較多參考答案：A逐一考查所給的選項：觀察莖葉圖可知甲班同學數(shù)據(jù)波動大，則甲班同學身高的方差較大，A選項正確；甲班同學身高的平均值為：，乙班同學身高的平均值為：，則乙班同學身高的平均值大，B選項錯誤；甲班同學身高的中位數(shù)為：，乙班同學身高的中位數(shù)為：，則乙班同學身高的中位數(shù)大，C選項錯誤；甲班同學身高在以上的人數(shù)為3人，乙班同學身高在以上的人數(shù)為4人，則乙班同學身高在以上的人數(shù)多，D選項錯誤；本題選擇A選項.

2.定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，若函數(shù)的“新駐點”分別為，則的大小關系為（

）A． B．

C．

D．參考答案：C略3.已知拋物線的焦點F與雙曲線的一個焦點相同，且F到雙曲線的右頂點的距離等于1，則雙曲線的離心率的取值范圍是

A．（1，2）

B．（1，3）

C．

D．（2，3）參考答案：Ａ4.已知向量.若,則實數(shù)（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則的元素個數(shù)為

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B6.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F2垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點，若|OA|+|OB|=2|AB|，且F2在線段AB上，則雙曲線的漸近線斜率為（）A． B．±2 C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由已知AB與x軸交于點F2，設∠AOF2=α，則，△AOB中，可得，，即可求出雙曲線的漸近線斜率．【解答】解：由已知AB與x軸交于點F2，設∠AOF2=α，則，△AOB中，可得，設|OA|=m﹣d、|AB|=m、|OB|=m+d，∵OA⊥BF，∴（m﹣d）2+m2=（m+d）2，整理，得d=m，△AOB中，∠AOB=2α，tan∠AOB=tan2α==∴=，∴，∴雙曲線的漸近線斜率為．故選D．【點評】本題考查了雙曲線的簡單性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．7.若關于x的不等式2－>|x－a|至少有一個負數(shù)解，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：A略8.設集合M滿足｛1，2｝｛1，2，3，4｝，則滿足條件的集合M的個數(shù)為（）

A.1B．2C．3.D.4參考答案：C

【知識點】子集與真子集A1解析：根據(jù)子集的定義，可得集合M必定含有1、2兩個元素，而且含有1，2，3，4中的至多三個元素．因此，滿足條件{1，2}?M?{1，2，3，4}的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}，共3個．故選：C．【思路點撥】根據(jù)集合包含關系的定義，將滿足條件的集合逐個列出，即可得到本題答案.9.（5分）若函數(shù)f（x）=|ax+x2﹣x?lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有兩個零點，則m的取值范圍（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）參考答案：A【考點】：函數(shù)零點的判定定理．【專題】：計算題；函數(shù)的性質及應用．【分析】：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，先討論a＞1，0＜a＜1求出單調區(qū)間，進而判斷函數(shù)g（x）的極小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有2個根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，即可得到m的取值范圍．解：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，g′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，①當a＞1，x∈（0，+∞）時，lna＞0，ax﹣1＞0，則g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，x∈（﹣∞，0）時，lna＞0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減；②當0＜a＜1時，x＞0，lna＜0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，當x∈（﹣∞，0）時，lna＜0，ax﹣1＞0，所以g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減．故當a＞0且a≠1時，g（x）在x＜0時遞減；g（x）在x＞0時遞增，則x=0為g（x）的極小值點，且為最小值點，且最小值g（0）=1．又函數(shù)f（x）=|g（x）﹣m|﹣2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有二個根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，解得m∈（﹣1，3），故選A．【點評】：本題考查函數(shù)的零點，用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)極值，體現(xiàn)了轉化的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．10.已知函數(shù)，且，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則cosα＝▲．參考答案：略12.在中，，，，設點，滿足.若，則的值是

▲

．參考答案：13.對于集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，集合{5}的交替和為5．當集合N中的n=2時，集合N={1，2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1，2}，則它的“交替和”的總和S2=1+2+（2-1）=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和S3、S4，并根據(jù)其結果猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn=

參考答案：14.若復數(shù)為虛數(shù)單位），則

．參考答案：

15.設變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為．參考答案：4【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，1），化目標函數(shù)z=3x+y為y=﹣3x+z，由圖可知，當直線y=﹣3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3×1+1=4．故答案為：4．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．16.設x,y滿足約束條件：則

的最小值__________．參考答案：117.已知P（x，y）為區(qū)域內的任意一點，當該區(qū)域的面積為2時，z=x+2y的最大值是．參考答案：5【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域．根據(jù)三角形的面積求出a的值，利用數(shù)形結合進行求解即可．【解答】解：不等式組等價為，即或，則A（a，﹣2a），B（a，2a），由S△OAB=?4a?a=2，得a=1．∴B（1，2），由z=x+2y得y=x+，∴當y=x+過B點時，z最大，z=1+2×2=5．故答案為：5【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關鍵，注意利用數(shù)形結合來解決．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為．（1）求橢圓的方程；（2）過右焦點的直線與圓相交于、，與橢圓相交于、，且，求．參考答案：（1）橢圓方程為;（2）試題分析：（1）設，利用點差法求得，再結合橢圓的離心率及隱含條件求得的值，則橢圓方程可求；

（2）利用點到直線的距離公式、韋達定理及焦點弦長公式，計算即得結論．試題解析：（1）由題意得，焦點為橢圓的左焦點，即設弦與橢圓的交點為，代入橢圓方程得…………①…………②①式②式，得…………③∵點平分弦，弦經過焦點，∴，代入③式得，，即，又∵，∴，∴，即，∴橢圓方程為考點：橢圓的簡單性質【名師點睛】本題考查橢圓的簡單性質，圓與橢圓的位置關系，直線與圓錐曲線的位置關系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，(Ⅰ)若a=1，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；(Ⅱ)求的單調區(qū)間；(Ⅲ)如果當且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：解：由題，(Ⅰ)當a=1時，，，函數(shù)的圖像在點處的切線方程為；(Ⅱ)設①當時，故增區(qū)間為；若設設兩根分別為，②當時，，所以增區(qū)間為；③當時，，所以增區(qū)間為，增區(qū)間為；綜上，當時，增區(qū)間為；當時，增區(qū)間為，增區(qū)間為；(Ⅲ)可化為，設由(Ⅱ)可知：①若有，由單調性，對，此時，，同理，對，此時，，所以符合題意；②若有，可知則對，此時，，不符合題意；綜上，符合題意的略20.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線C2：y2=2px（p＞0）的焦點F重合，且點F到直線x﹣y+1=0的距離為，C1與C2的公共弦長為2．（1）求橢圓C1的方程及點F的坐標；（2）過點F的直線l與C1交于A，B兩點，與C2交于C，D兩點，求+的取值范圍．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）求得拋物線的焦點，可得c=，再由點到直線的距離公式可得c=1，可得焦點F，求得拋物線的方程，設出設C1與C2的公共弦端點為（m，n），（m，﹣n），（m，n＞0），由弦長求得交點坐標，代入橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；（2）設過F（1，0）的直線為x=my+1，代入拋物線的方程y2=4x，橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|CD|，|AB|，求得+，化簡整理，即可得到所求范圍．【解答】解：（1）拋物線C2：y2=2px（p＞0）的焦點F（，0），即有c=，點F到直線x﹣y+1=0的距離為，可得d==，即有c=1，p=2，即F（1，0）；即有y2=4x，設C1與C2的公共弦端點為（m，n），（m，﹣n），（m，n＞0），則2n=2，可得n=，m=，將（，）代入橢圓方程可得，+=1，又a2﹣b2=1，解得a=3，b=2，即有橢圓的方程為+=1；（2）設過F（1，0）的直線為x=my+1，代入拋物線的方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，由弦長公式可得|CD|=?=4（1+m2），由x=my+1代入橢圓方程8x2+9y2=72，可得（8m2+9）y2+16my﹣64=0，由弦長公式可得|AB|=?=，可得+=+=+，由1+m2≥1，可得0＜≤，即有+的取值范圍為（，]．21.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面直線，求證：直線.參考答案：（1）證明：取線段的中點，連接在直角梯形中，由條件易得，又因為，為中點，所以，因為平面，且所以平面，故（2）解：由條件可知在梯形中，，平面，平面，所以平面又因為平面，平面平面所以.22.設函數(shù)f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）證明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范圍．參考答案：【考點】R5：絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用絕對值三角不等式、基本不等