河北省承德市隆化縣韓麻營鎮(zhèn)韓麻營中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

河北省承德市隆化縣韓麻營鎮(zhèn)韓麻營中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在2015年年底，某家庭打算把10萬元定期存入銀行后，既不加進(jìn)存款也不取錢，每年到期利息連同本金自動轉(zhuǎn)存，定期存款期限為10年．如果不考慮利息稅，且中國銀行人民幣定期存款的年利率為5%，則到期時(shí)的存款本息和是（）A．10×1.0510 B．10×1.059 C．200×（1.059﹣1） D．200×（1.0510﹣1）參考答案：A【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【分析】由題意知，每年的錢數(shù)成等比數(shù)列，逐年遞推即可求得到期時(shí)的存款本息和．【解答】解：由題意這10萬元1年后連本帶利變?yōu)?0（1+5%）=10×1.05，2年后連本帶利變?yōu)?0×1.052，…故到第10年連本帶利變?yōu)?0×1.0510，故選：A．2.過原點(diǎn)作圓（為參數(shù)）的兩條切線，則這兩條切線所成的銳角為A. B. C. D.參考答案：C【分析】將參數(shù)方程化為普通方程，可得圓心與原點(diǎn)之間距離和半徑，先求解出一條切線與軸所成角，再得到所求角.【詳解】由得圓的方程為：則半徑為：3；圓心與原點(diǎn)之間距離為：設(shè)一條切線與軸夾角為，則

根據(jù)對稱性可知，兩條切線所成銳角為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程、直線與圓位置關(guān)系中的相切關(guān)系，關(guān)鍵在于能夠通過相切的條件，得到半角的正弦值.3.函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知,若.則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.-2 B.2 C.0 D.1參考答案：C【分析】由函數(shù)，將x＝1，代入，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解得答案．【詳解】∵函數(shù)，∴f（﹣1）＝，∴f[f（﹣1）]1，解得：a＝0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．5.若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()A．4

B．3C．2

D．0參考答案：D6.數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為A．11

B．99

C．120

D．121參考答案：C7.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=(

)A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn參考答案：A考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡單表示法．專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析：把遞推式整理，先整理對數(shù)的真數(shù)，通分變成，用迭代法整理出結(jié)果，約分后選出正確選項(xiàng)．解答：解：∵，，…∴=故選：A．點(diǎn)評：數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或n﹣1等，這種辦法通常稱迭代或遞推．解答本題需了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．8.已知，若的必要條件是，則a，b之間的關(guān)系是（

）A. B. C. D.參考答案：A試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據(jù)題意可知是的子集，所以有，故選A．考點(diǎn)：絕對值不等式，充要條件的判斷．9.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2，b2，c2成等差數(shù)列，則sinB最大值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】由等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得2b2=a2+c2，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB≥，從而求得角B的取值范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【解答】解：由題意可得2b2=a2+c2，由余弦定理可得cosB==≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，等號成立．又0＜B＜π，∴0＜B≤，∵sinB在（0，]單調(diào)遞增，∴可得sinB的最大值是sin=．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查余弦定理、等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用，求得cosB≥，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10.空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是（）A．三個(gè)點(diǎn) B．四個(gè)點(diǎn) C．三角形 D．四邊形參考答案：C【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】在A中，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面；在B中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面；在C中，三角形能確定一個(gè)平面；在D中，空間四邊形不能確定一個(gè)平面．【解答】解：由平面的基本性質(zhì)及推論得：在A中，不共線的三個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；在B中，不共線的四個(gè)點(diǎn)最多能確定四個(gè)平面，都B錯(cuò)誤；在C中，由于三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)不共線，因此三角形能確定一個(gè)平面，故C正確；在D中，四邊形有空間四邊形和平面四邊形，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

.參考答案：[-1,1]12.在我國明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學(xué)名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有

盞燈．參考答案：195【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項(xiàng)和等于381列式計(jì)算即可．【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，設(shè)塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈．故答案為：195．13.函數(shù)f（x）=ax3+ax2+x+1有極值的充要條件是

．參考答案：a＜0或a＞1【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】通過f（x）有零點(diǎn)可知f′（x）=ax2+2ax+1=0有解，分a=0、a≠0兩種情況討論即可．【解答】解：因?yàn)閒（x）=ax3+ax2+x+1，x∈R，所以f′（x）=ax2+2ax+1，因?yàn)閒（x）=ax3+ax2+x+1有極值，所以f′（x）=0有解，即ax2+2ax+1=0有解．（1）當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿足題意；（2）當(dāng)a≠0時(shí)，要使一元二次方程ax2+2ax+1=0有解，只需△=4a2﹣4a≥0，即a≤0或a≥1．又因?yàn)楫?dāng)a=0或a=1時(shí)f（x）=ax3+ax2+x+1沒有極值，所以函數(shù)f（x）=ax3+ax2+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1，故答案為：a＜0或a＞1．14.過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，則

▲

．參考答案：215.已知平行六面體,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都等于,則=_________參考答案：略16.已知等差數(shù)列{an}，{bn}前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若=，則=．參考答案：【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】由等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)可得：=，問題得以解決．【解答】解：=======，故答案為：17.若拋物線C：y2=4x上一點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為

．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與其到焦點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得x的值，代入拋物線方程求得y，最后利用兩點(diǎn)的距離公式解之即可．【解答】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)拋物線定義可知x+1=4，解得x=3，代入拋物線方程求得y=±2，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，±2），∴A到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中常數(shù)滿足（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求時(shí)的的取值范圍.參考答案：⑴當(dāng)時(shí)，任意，則∵，，∴，函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，同理函數(shù)在上是減函數(shù)。⑵

當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則。19.已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；（Ⅱ）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大?。窘獯稹浚á瘢┳C明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得：CD⊥PD．因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角．連接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°6558764在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴cos∠PBE=．∴AC與PB所成的角為arccos．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN?MC=，∴AN=．∴AB=2，∴cos∠ANB==﹣故面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值為﹣．20.已知{an}是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】（1）由題意可知2a3=a1+a2，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入a1和q，進(jìn)而可求得q．（II）討論當(dāng)q=1和q=﹣，時(shí)分別求得Sn和bn，進(jìn)而根據(jù)Sn﹣bn與0的關(guān)系判斷Sn與bn的大小，【解答】解：（1）由題意可知，2a3=a1+a2，即a（2q2﹣q﹣1）=0，∴q=1或q=﹣；（II）q=1時(shí)，Sn=2n+=，∵n≥2，∴Sn﹣bn=Sn﹣1=＞0當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＞bn．若q=﹣，則Sn=，同理Sn﹣bn=．∴2≤n≤9時(shí)，Sn＞bn，n=10時(shí)，Sn=bn，n≥11時(shí)，Sn＜bn．21.（本題滿分12分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，為，的等差中項(xiàng).(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c的值.參考答案：(Ⅰ)∵為，的等差中項(xiàng)，，

2分∵,∴A＝. 4分(Ⅱ)△ABC的面積S＝bcsinA＝，故bc＝4. 6分而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. 8分解得b＝c＝2. 12分22.直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓