吉林省長(zhǎng)春市市第八十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市市第八十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺,問(wèn)積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長(zhǎng)、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問(wèn)它的體積是多少?”若以上的條件不變，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（

）A．128π平方尺

B．138π平方尺

C.140π平方尺

D．142π平方尺參考答案：B2.設(shè)U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（?UA）∪B=R，則a的范圍是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題．【分析】先求出?UA，再根據(jù)（?UA）∪B=R，求出a【解答】解：集合A={x|x＞1}，?UA={x|x≤1}，B={x|x＞a}，若（?UA）∪B=R，則a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故選C3.已知非零向量滿足，則為A.等腰非等邊三角形 B.等邊三角形C.三邊均不相等的三角形 D.直角三角形參考答案：A4.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．0 C． D．參考答案：A，，切線方程為，故，解，故選A．5.設(shè)全集,則A． B．C． D．參考答案：B6.若曲線f（x）=acosx與曲線g（x）=x2+bx+1在交點(diǎn)（0，m）處有公切線，則a+b=（）A．﹣1B．0C．1D．2參考答案：C考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：若曲線f（x）=acosx與曲線g（x）=x2+bx+1在交點(diǎn)（0，m）處有公切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)相等且切線的斜率（切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值）均相等，由此構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1∴f′（x）=﹣a?sinx，g′（x）=2x+b∵曲線f（x）=acosx與曲線g（x）=x2+bx+1在交點(diǎn)（0，m）處有公切線，∴f（0）=a=g（0）=1且f′（0）=0=g′（x）=b即a=1，b=0∴a+b=1故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中根據(jù)已知分析出f（0）=g（0）且f′（0）=g′（x）是解答的關(guān)鍵．7.如圖，在四面體OABC中，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略8.設(shè)全集，集合,，則圖中陰影部分表示的集合為A．

B．C．

D．參考答案：D9.某程序框圖如圖所示，若輸入的n=10，則輸出結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，模擬程序的運(yùn)行，對(duì)程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值進(jìn)行分析，不難得到輸出結(jié)果．【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出S=++…+的值，由于S=++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故選：C．10.設(shè)在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為k，若，則函數(shù)的圖像大致為參考答案：A，即切線斜率，則函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B,C.當(dāng)時(shí)，，排除D，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.平面向量的夾角為，________________.參考答案：1略12.已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：13.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是．參考答案：[﹣，+∞）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)斜率的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（﹣1，0）的斜率，由圖象知CD的斜率最小，由得，即C（2，﹣1），則CD的斜率z==﹣，即的取值范圍是[﹣，+∞），故答案為：[﹣，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線斜率的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.在正四面體ABCD中，M是棱BD上的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值為_(kāi)____參考答案：【分析】取上的中點(diǎn)，連,在△中,利用各邊的大小關(guān)系得到答案.【詳解】取上的中點(diǎn)，連，,則為所求異面直線夾角或其補(bǔ)角。設(shè)在△中，,同理，則在△中，.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角問(wèn)題,其中將AB通過(guò)平行轉(zhuǎn)化為MN是解題的關(guān)鍵.

15.用隨機(jī)數(shù)表法從名學(xué)生（男生人）中抽取人進(jìn)行評(píng)教，某男生被抽取的機(jī)率是___________________。參考答案：

解析：每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)率都是16.已知，則=．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；三角函數(shù)的求值．【分析】求出角的余弦函數(shù)值，然后利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正弦函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．17.（4分）已知i是虛數(shù)單位，則（2+i）（3+i）等于=．參考答案：5+5i【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．解：（2+i）（3+i）=6﹣1+5i=5+5i．故答案為：5+5i．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(I) 求的值；（II）若，求bc的最大值.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；余弦定理.C5,C8【答案解析】

解析：解：（I）在中，因?yàn)椋裕↖I）由余弦定理知所以，當(dāng)時(shí)，bc的最大值是【思路點(diǎn)撥】由兩角和與差的展開(kāi)式可求出值，再由余弦定理可求出值.19.已知函數(shù)f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行證明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨設(shè)φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），則關(guān)于x的方程2ax2﹣x+1=0的判別式△=1﹣8a，當(dāng)a≥時(shí)，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)0＜a＜時(shí)，△＞0，方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的正根x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，則當(dāng)x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）遞減，在（x1，x2）遞增；（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)a∈（0，）時(shí)f（x）有極小值x1和極大值x2，且x1，x2是方程的兩個(gè)正根，則x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，當(dāng)a∈（0，）時(shí)，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．20.（本題滿分16分）和都是定義在集合上的函數(shù),對(duì)于任意的，都有成立，稱函數(shù)與在上互為“函數(shù)”.（1）若函數(shù)，，與互為“函數(shù)”,證明：.（2）若集合，函數(shù)，，判斷函數(shù)與在上是否互為“

函數(shù)”，并說(shuō)明理由.（3）函數(shù)(，在集合上互為“函數(shù)”,求的取值范圍及集合.參考答案：（1）證明：函數(shù)與互為“函數(shù)“,則對(duì)于,

恒成立.即在上恒成立………………2分化簡(jiǎn)得………………2分所以當(dāng)時(shí)，，即…1分（2）假設(shè)函數(shù)與互為“函數(shù)”，則對(duì)于任意的

恒成立.即，對(duì)于任意恒成立…2分.當(dāng)時(shí)，.不妨取，則，所以………………2分

所以假設(shè)不成立，在集合上，函數(shù)與不是互為“函數(shù)”………1分.（3）由題意得，（且）………2分

變形得，，由于且

，因?yàn)椋?，即……?分

此時(shí)，集合………2分21.（本題滿分12分）

今年十一黃金周，記者通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)某景區(qū)110名游客對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意，得到如下的列聯(lián)表：性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意單位：名

男女總計(jì)滿意503080不滿意102030總計(jì)6050110（1）從這50名女游客中按對(duì)景區(qū)的服務(wù)是否滿意采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為5的樣本，問(wèn)樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？（2）從（1）中的5名女游客樣本中隨機(jī)選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率；（3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問(wèn)有多大把握認(rèn)為“游客性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意”有關(guān)注：臨界值表：P()0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879參考答案：解：（1）根據(jù)分層抽樣可得：樣本中滿意的女游客為名，樣本中不滿意的女游客為名。（2）記樣本中對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意的3名女游客分別為，對(duì)景區(qū)的服務(wù)不滿意的2名女游客分別為。從5名女游客中隨機(jī)選取兩名，共有10個(gè)基本事件，分別為：，，，，；其中事件A：選到滿意與不滿意的女游客各一名包含了6個(gè)基本事件，分別為：，，所以所求概率

。（3）假設(shè)：該景區(qū)游客性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意無(wú)關(guān)，則應(yīng)該很小。根據(jù)題目中列聯(lián)表得：由可知：有99％的把握認(rèn)為：該景區(qū)游客性別與對(duì)景區(qū)的服務(wù)滿意有關(guān)