結(jié)構(gòu)動力學(xué)第六章多自由度系統(tǒng)振動

第六章多自由度系統(tǒng)振動(一)§6-1用剛度法與柔度法列運(yùn)動微分方程1．剛度法

圖示簡支梁，剛度系數(shù)kij定義為：使質(zhì)量mj的位移xj＝1而其余質(zhì)量位移xi＝0(i≠j)時(shí)在xi處所需要（施加）的力。一般情況下，若各質(zhì)量均有位移x1、x2、...、xn，則在xi處所需力的總和為：設(shè)每一質(zhì)量mi上作用的外力為Fi(t)，對每一質(zhì)量運(yùn)用牛頓第二定律，可得運(yùn)動微分方程：用矩陣符號可寫成：〈例〉求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。解：首先用力使m1產(chǎn)生單位位移，并用力使其余質(zhì)量不動，則需要給m1的力為k1與k2的彈性力和，即k11＝k1+k2。此時(shí)m2需加力為k2，沿x的負(fù)方向，即k21＝-k2，其余質(zhì)量不必施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。用類似方法可得其余剛度系數(shù)，于是有：利用功的互等原理可知，剛度矩陣是對稱陣，即有kij＝kji，于是上述剛度矩陣為：⒉柔度法柔度系數(shù)aij定義為：在第j個(gè)質(zhì)量上作用單位力時(shí)在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移。于是：若在第j個(gè)質(zhì)量上作用有力F，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是aij*F；

若在第j個(gè)質(zhì)量上作用的是慣性力，方向與坐標(biāo)相反，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是；若所有質(zhì)量都有慣性力，則：若所有質(zhì)量都有慣性力，則：寫成矩陣形式為：或?qū)懗桑涸趧偠染仃嘯K]非奇異條件下，柔度矩陣[A]與剛度矩陣[K]存在如下的互逆關(guān)系：與剛度矩陣類似，有aij＝aji?！蠢登髨D示三自由度簡支梁柔度矩陣。已知梁的EI、L。解：利用簡支梁在單位集中力作用下的撓度公式其他柔度影響系數(shù)：mm2mPL柔度矩陣為：問題：[A]中元素是否一定為正？〈例〉求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。解：易得剛度矩陣為：m1上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：m2上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：〈例〉求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。m3上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：柔度矩陣為：〈例〉求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。對彈性系統(tǒng)來說，總存在剛度矩陣，但不一定存在柔度矩陣，當(dāng)系統(tǒng)中存在剛體位移（模態(tài)）時(shí)，就是這種情況，此時(shí)，剛度矩陣是奇異的，矩陣行列式等于零，因而不存在逆矩陣。如本例中的k1=0拉格朗日方程在建立多度系統(tǒng)動力學(xué)微分方程時(shí)是非常有效的。設(shè)廣義坐標(biāo)qj，則拉格朗日方程可表為：§6-2用拉格朗日方程列振動微分方程式中：Qj為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qj的廣義力。對于保守系統(tǒng)，L＝T－U，有(T為系統(tǒng)動能，U為勢能，L稱為拉氏函數(shù))〈例〉求圖示三自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。解：系統(tǒng)動能為：勢能為：拉氏函數(shù)：〈例〉求圖示三自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。同樣可以求出另外兩個(gè)微分方程：〈例〉求圖示兩自由度系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。解：質(zhì)量m的位置坐標(biāo)為系統(tǒng)動能為：一般來說，拉格朗日方程對于剛度矩陣或柔度矩陣不易求出的振動系統(tǒng)更能顯示其優(yōu)越性。

LmMkxφx系統(tǒng)勢能為：φx系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：φx鄒經(jīng)湘老師書P52“動能T與廣義坐標(biāo)無關(guān)(因質(zhì)量是常數(shù))”說法是存疑的。在上一章，我們已討論了二自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振型，現(xiàn)在我們來討論n自由度系統(tǒng)的情況。n自由度系統(tǒng)自由振動微分方程為：§6-3固有頻率與主振型（特征值與特征向量）非零解條件為：非零局解條律件為勇：此式螺稱為飄系統(tǒng)飼的頻象率方艦程或宵特征妥方程種，對貿(mào)于正世定或袍半正姓定實(shí)旁對稱城矩陣邊[M惱]與啞[K粗]，獲它有黎n個(gè)醒正的盜實(shí)根孫ωi(i毒＝1基,2橋,.零..厚,n校)，稿特犁征值聰λi等于固朱有頻率悄ωi的平籠方，尼即將ωi代入(*)式即核可得頑到n個(gè)主振繩型(特征向傳量)指{u}i對任溫意j廳，同撤樣有§6躲-4主振搞型（寺特征箭向量任）的鉤正交蝴性特征對滿足特征矩陣方程：將(a棕)式兩躁邊轉(zhuǎn)置優(yōu)后右乘妨{u}j，得(c)(莊d)兩式陳相減廣，得殼：若i≠j，則ωi≠ωj，于丘是說明汗各個(gè)會主振妹型關(guān)口于[M]與[K]存在狼加權(quán)擋正交恢性。Mi與Ki分別昆稱為份第i階模飯態(tài)質(zhì)析量與厚模態(tài)扭剛度勸。用前嫁面兩邊自由扒度例讀子說饒明有時(shí)，顧系統(tǒng)的叨頻率方報(bào)程或特歌征方程鳴會出現(xiàn)撒重根的瓜情況，燈此時(shí)，飼按前面遙的方法每就不能媽唯一確緞定特征虎向量?！?開-5等固修有頻農(nóng)率（義重特刷征值絹）的續(xù)情況設(shè)λ1＝λ2＝λr，{u朽}1與{u}2是對應(yīng)盈的特征役向量，評即有則{u柄}1與{u}2的線撤性組珠合{u}r＝（a{倒u}1＋b{u釘}2）也辟是特具征值λr的特征權(quán)向量。拌事實(shí)上押，有另外，塞由特征慘向量的傳正交性餅，有由此蝴即可辣求出休重特統(tǒng)征值曾的特技征向形量{u擔(dān)}1和{u狐}2。具有重吉特征值剖的系統(tǒng)譯，有時(shí)泛又稱為豆“簡并然”系統(tǒng)澇或“退邪化”系部統(tǒng)?！蠢登髨D正示三無自由已度系連統(tǒng)的認(rèn)特征鐵對（爐固有膛模態(tài)飛）。解：特辣征矩陣踢方程為?。侯l率方基程為：將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出：先求，它有兩個(gè)元素可任選，取再求,它滿足關(guān)于[M]與[K]的正交性條件：取u13＝1，則u33＝0，u23＝－1可以秘檢驗(yàn)脆特征幻玉向量信關(guān)于侄質(zhì)量竟矩陣省和剛很度矩輔陣的翅正交頑性各階振堂型物理陪意義描熔述如何辰？振動桃微分視方程§6譯-6主振型羽矩陣與公標(biāo)準(zhǔn)振額型矩陣通常武既是光靜力吵耦合分的又線是動重力耦糧合的直，在尤二自拔由度贊系統(tǒng)隙時(shí)曾董經(jīng)采昌用主悔坐標(biāo)倒變換嚼，得趣以解冒耦，畢所采正用的絨變換駛矩陣[U]＝[{梨u}1{u虜}2]我們稱挖為主振掠型矩陣袋，對n自由沫度系公統(tǒng)，眼主振饞型矩閉陣為談：{u}i為系統(tǒng)兔的第i階主牛振型學(xué)或模貨態(tài)向蔬量。利用喚主坐喂標(biāo)變順換：{x傘}＝[U]霧{y}代入到振動微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不難證明都是對角陣。實(shí)際上，按分塊矩陣乘法，有

同理漠，有連：于是費(fèi)，微蓄分方傲程得編以解專耦。將各個(gè){u}i分別除以相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量的平方根，構(gòu)成的振型矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣，此時(shí)有我們稱饅為模態(tài)瘋質(zhì)量歸肆一化的沈特征向滴量。無阻尼毯系統(tǒng)振壤動微分是方程為§6睛-7無阻尼摧系統(tǒng)的投強(qiáng)迫振沫動作變抖換：{x}＝[U]{課y}代入搖到振痰動微霜分方濾程，卷并前地乘[U]的轉(zhuǎn)碑置，企有