已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求三角形的面積的各種方法

------------------------------------------------------------------------已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo)求三角形的面積的各種方法已知三角形三點(diǎn)坐標(biāo),求三角形的面積先介紹一下三維中的兩點(diǎn)之間距離之式，和二維的幾乎一樣：d=sqrt((x0-x1)^2+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2)再介紹叉乘，中心內(nèi)容！叉乘在定義上有：兩個(gè)向量進(jìn)行叉乘得到的是一個(gè)向量，方向垂直于這兩個(gè)向量構(gòu)成的平面，大小等于這兩個(gè)向量組成的平行四邊形的面積。在直角座標(biāo)系[O;i,j,k]中，i、j、k分別為X軸、Y軸、Z軸上向量的單位向量。設(shè)P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。因?yàn)槭菑脑c(diǎn)出發(fā)，所以向量P0P1可簡(jiǎn)記為P1，向量P0P2可簡(jiǎn)記為P2。依定義有：|i

j

k|

P1×P2=|x1y1z1|

|x2y2z2|展開，得到：上式=iy1z2+jz1x2+kx1y2-ky1x2-jx1z2-iz1y2=(y1z2-y2z1)i+(x2z1-x1z2)j+(x1y2-x2y1)k按規(guī)定，有：?jiǎn)挝幌蛄康哪??？傻貌娣e的模為：|P1×P2|=y1z2-y2z1+x2z1-x1z2+x1y2-x2y1=(y1z2+x2z1+x1y2)-(y2z1+x1z2+x2y1)開始正式內(nèi)容。我們?cè)O(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。我們將三角形的兩條邊AB和AC看成是向量。然后，我們以A為原點(diǎn)，進(jìn)行坐標(biāo)平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。①在三維的情況下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘結(jié)果的模為：|B×C|=((y1-y0)*(z2-z0)+(z1-z0)*(x2-x0)+(x1-x0)*(y2-y0))-

((y2-y0)*(z1-z0)+(z2-z0)*(x1-x0)+(x2-x0)*(y1-y0))|

1

1

1

|

=|x1-x0y1-y0z1-z0|

|x2-x0y2-y0z2-z0|它的一半即為所要求的三角形面積S。還有一種比較簡(jiǎn)單的寫法。將向量AB和AC平移至原點(diǎn)后，設(shè)向量B為(x1,y1,z1)，向量C為(x2,y2,z2)，則他們的叉乘所得向量P為(x,y,z)，其中：

|y1z1|

|z1x1|

|x1y1|

x=|

|y=|

|z=|

|

|y2z2|

|z2x2|

|x2y2|然后用三維中的兩點(diǎn)之間距離公式，求出(x,y,z)與(0,0,0)的距離，即為向量P的模，它的一半就是所要求的面積了。以上公式都很好記：x分量由y，z分量組成，y分量由z，x分量組成，z分量由x，y分量組成，恰好是循環(huán)的。坐標(biāo)平移一下就好了。②在二維的情況下，我們可以取z=0這個(gè)平面，即令z1=z2=0，且|P1×P2|=x1y2-x2y1|x1y1|

=|

|

|x2y2|所以：

|B×C|=(x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0)|x1-x0y1-y0|

=|

|

|x2-x0y2-y0|它的一半即為所要求的三角形的面積S。注意，用行列式求出來的面積是帶符號(hào)的。如果A，B，C是按順時(shí)針方向給出，則S為負(fù)；按逆時(shí)針方向給出，則S為正。以二維的情況為例，三維亦同：A(0,0)B(0,1)C(1,0)(A，B，C按順時(shí)針方向給出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-0)*(0-0)-(1-0)*(1-0))/2

=-0.5A(1,0)B(0,1)C(0,0)(A，B，C按逆時(shí)針方向給出)S=((x1-x0)*(y2-y0)-(x2-x0)*(y1-y0))/2;

=((0-1)*(0-0)-(0-1)*(1-0))/2

=0.5如果你不需要符號(hào)的話，再求一下絕對(duì)值就好了。這樣也不用去管給出的點(diǎn)的順序了。以上是利用叉乘。其實(shí)還有一招，那就是海倫公式：利用兩點(diǎn)之間距離公式，求出三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c后，令p=(a+b+c)/2。再套入以下公式就可以求出三角形的面積S:S=sqrt(p*