常見不等式通用解法

常見不等式通用解法常見不等式通用解法/NUMPAGES10常見不等式通用解法常見不等式通用解法常見不等式通用解法總結(jié)一、基礎的一元二次不等式，可化為類似一元二次不等式的不等式 ①基礎一元二次不等式 如，，對于這樣能夠直接配方或者因式分解的基礎一元二次不等式，重點關注解區(qū)間的“形狀”。 當二次項系數(shù)大于0，不等號為小于（或小于等于號）時，解區(qū)間為兩根的中間。的解為 當二次項系數(shù)大于0，不等號為大于（或大于等于號）時，解區(qū)間為兩根的兩邊。的解為 當二次項系數(shù)小于0時，化成二次項系數(shù)大于0的情況考慮。 ②可化為類似一元二次不等式的不等式（換元） 如，令，原不等式就變?yōu)?，再算出t的范圍，進而算出x的范圍 又如，令，再對a進行分類討論來確定不等式的解集 ③含參數(shù)的一元二次不等式 解法步驟總結(jié)：序號步驟1首先判定二次項系數(shù)是否為0，為0則化為一元一次不等式，再分類討論2二次項系數(shù)非0，將其化為正的，討論判別式的正負性，從而確定不等式的解集3若可以直接看出兩根，或二次式可以因式分解，則無需討論判別式，直接根據(jù)不同的參數(shù)值比較兩根大小4綜上，寫出解集 如不等式，首先發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)大于0，而且此不等式無法直接看出兩根，所以，討論的正負性即可。此不等式的解集為 又如不等式，發(fā)現(xiàn)其可以通過因式分解化為，所以只需要判定和的大小即可。此不等式的解集為 又如不等式，注意：有些同學發(fā)現(xiàn)其可以因式分解，就直接寫成，然后開始判斷兩根和的大小關系，這樣做是有問題的。 事實上，這個題目中并沒有說此不等式一定是一元二次不等式，所以參數(shù)是有可能為0的。討論完的情況再討論和的情況。所以此不等式的解集應該是： 注意，和時解區(qū)間的狀況不同，一種為中間，一種為兩邊。二、數(shù)軸標根法（又名穿針引線法）解不等式 這種問題的一般形式是（或） 步驟： ①將不等式化為標準式，一段為0，另一端為一次因式的乘積（注意！系數(shù)為正）或二次不可約因式（二次項系數(shù)為正）。 ②畫出數(shù)軸如下，并從最右端上方起，用曲線自右向左一次由各根穿過數(shù)軸。 ③記數(shù)軸上方為正，下方為負，根據(jù)不等式的符號寫出解集。 例如，求不等式的解集，畫出圖如下，發(fā)現(xiàn)解集為 為什么數(shù)軸標根法是正確的呢？對于不等式來說，要滿足四項相乘為正，說明①四項均正，解集為②兩正兩負，只能是正，負，此時解集為③四項均負，解集為。綜上，解集為這三種情況的并集。當不等式左側(cè)有奇數(shù)項的時候同理。 由此可知，遇到奇數(shù)個一次項系數(shù)為負的情況，如果不把系數(shù)化為正的，結(jié)果一定是錯誤的。 注意，這種方法要靈活使用，若不等式為，使用數(shù)軸標根法得到的解集顯然和上述不一樣，因為是偶次項，必然非負，所以在“穿針引線”時，可以忽略，或者可以記住口訣“奇穿偶不穿”。 的示意圖見下。三、解分式不等式 分式不等式的解題思路，前面講了一些不等式的求解，都是講不等式的一邊化為0，另一邊為含x的多項式。把一個分式不等式經(jīng)過移項和通分處理，最終總能化為（或的形式），此時解就可以解出原不等式的解集。 特別地，若要解，則解即可。 例如，移項化簡得，使用穿針引線法得到解集為，一定要注意分母不為零，而分子可以為零。 例：一道比較復雜的題，求的解集，現(xiàn)寫出此題的完整解題過程。 解：原不等式通過移項通分可化為，由于，所以可以進一步化為，兩根為和。 當時，解集為兩根的兩邊，顯然有，所以此時解集為 當時，解集為兩根中間，此時必須根據(jù)的取值判斷兩根范圍。 ①當時，，此時解集為 ②當時，，此時解集為 ③當時，，此時解集為 至此，的所有值都討論完畢，所以這道題討論到這樣就結(jié)束了 當然，如果這道題不給的限制條件，只需要再討論一下時的解集情況即可。 補充內(nèi)容：一類經(jīng)典但易錯的分式不等式問題 ①求的解集 ②求的解集 ③求的解集 ④求的解集 ⑤求的解集 解答：①②③④⑤，注意①②的區(qū)別四、絕對值不等式 對于含有絕對值的不等式，解題思想為 ①直接脫去絕對值符號 ， ②構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合 ③在不等式的一端有多個絕對值時，使用零點分段法分類討論（分類討論思想隨處可見） ④平方法（不等式兩邊都是非負時才能用，慎用） 例：圖形法某經(jīng)典問題，解不等式，先畫出的圖像如下，然后分類討論的取值，通過觀察和的圖像，來確定不等式的解集情況。 ①當時，的圖像在的圖像上方，除了點，此時顯然不等式無解②當時，的圖像與的圖像交點為，此時的解集為③當時，的圖像與的圖像交點橫坐標為，此時解集為④當時，的圖像與的圖像交點橫坐標為，此時解集為 當然此題使用也可以做，化成，只是在討論的時候需要細心，考慮到的所有取值。 絕對值不等式的零點分段法，以及特別的做題技巧 例如，發(fā)現(xiàn)不等號左邊有兩個絕對值，所以應該根據(jù)兩個不同的零點分段討論 ①當時，原不等式化為，解得 ②當時，原不等式化為，顯然無解 ③當時，原不等式化為，解得 綜上，原不等式的解集為三種情況下的并集（注意，為什么是并集而不是交集？）， 技巧：可以將絕對值看成距離，也就是將看成數(shù)軸上點到點1的距離，將看成到-2的距離，若畫出數(shù)軸，發(fā)現(xiàn)位于區(qū)間的點（綠色點）到區(qū)間端點的距離之和為3，位于區(qū)間之外的點到區(qū)間端點的距離之和大于3，特別地，在2處和-3處距離之和為5，所以令繼續(xù)遠離區(qū)間，發(fā)現(xiàn)距離之和大于5。 也就是說的取值范圍是 同理，遇到減號的情況，例如，發(fā)現(xiàn)其取值范圍是 此技巧常用于填空題，既可以求不等式解集，又可以求參數(shù)的范圍。 例1：若存在實數(shù)使得不等式成立，則的取值范圍是？（答案） 例2：不等式的解集是？（答案）