人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下勾股定理專項(xiàng)訓(xùn)練含答案

第勾股理專項(xiàng)訓(xùn)專訓(xùn)1.用勾股理求最短路的長(zhǎng)名師點(diǎn)金：求最短距離的問題，第一種是通過計(jì)算比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對(duì)稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．用計(jì)算法求平面中最短問題1如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人A走B，為了避免拐C走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走_(dá)_______步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草．(第1題)2小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在黃A坐“武黃城際列車”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站設(shè)AB＝80，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助明解決以下問題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)214.6)(2)若客車的平均速度是/h，市內(nèi)的公共汽車的平均度為/，“武黃城際列車”的平均速度為180/h為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說明理由．不計(jì)候車時(shí)間)(第2題)用平移法求平面中最短問題3如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50，30cm，10cm，和B這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去

吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬B點(diǎn)，至少需爬()A．13cmB．40cm．130cmD．169cm(第3題)(第4題)4如圖，已知B＝∠＝∠＝E＝90°，且AB＝CD＝，BC4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．用對(duì)稱法求平面中最短問題5如圖，在正方形ABCD中，邊上有一點(diǎn)E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點(diǎn)P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短長(zhǎng)度．(第5題)6高速公路的同一側(cè)有A、兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB＝4，A′B′＝8km.要在高速公路上A′、B′之間建一個(gè)出口P，A、B兩城鎮(zhèn)P的距離之和最?。筮@個(gè)最短距離．(第6題)

用展開法求立體圖形中最短問題類型1

圓柱中的最短問題(第7題)27如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的π直徑．若一只小蟲A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào))．類型2

圓錐中的最短問題8已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA中點(diǎn)，在處有一只蝸牛，C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程．(第8題)類型3

正方體中的最短問題9如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C．1

(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)．(第9題)類型4

長(zhǎng)方體中的最短問題10．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是cm，cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程．(第10題)專訓(xùn)2.用勾股理解折疊問名師點(diǎn)金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合解答折疊問題就是巧用軸對(duì)稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)(3)用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題．巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)

1(中考安)如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°BC＝，將其折疊，使點(diǎn)在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為()(第1題)8A.cmB．3cm3C．2cmD．cm巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積2如圖所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．(第2題)巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD，E是邊的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．(第3題)

巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4如圖，將長(zhǎng)方形ABCD直線EF折疊，使點(diǎn)C點(diǎn)A重合，折痕交于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：AE＝＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝，ED＝，DC＝，請(qǐng)寫出一個(gè)ab，三者之間的數(shù)量關(guān)系式．(第4題)專訓(xùn)3.用勾股理解題的種常見型名師點(diǎn)金：勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問題，證明含有平方關(guān)系的幾何問題，作長(zhǎng)為n(n為正整數(shù))的線段，解決實(shí)際應(yīng)用問題及專訓(xùn)一、專訓(xùn)二中的最短問題、折疊問題等，在解決過程中往往利用勾股定理列方程(組)，時(shí)需要通過作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形，化斜為直來(lái)解決問題．利用勾股定理求線段長(zhǎng)1如圖所示，在等腰直角三角形ABC，∠ABC＝90°，點(diǎn)DAC邊的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長(zhǎng)．(第1題)利用勾股定理作長(zhǎng)為n的線段2已知線段a，作長(zhǎng)為的線段時(shí)，只要分別以長(zhǎng)為和的線段為直角邊作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就為13a.利用勾股定理證明線段相等3．如圖，在四邊形ABFC中，ABC＝90°AD2CD.

33證：AB＝BC.(第3題)利用勾股定理證明線段之間的平方關(guān)系4如圖，∠C＝90°，AM＝，MP⊥AB于點(diǎn)P.求證：BP

2

＝BC

2

＋AP

2

.(第4題)利用勾股定理解非直角三角形問題5如圖，在△ABC中，∠＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長(zhǎng)．(第5題)利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用6在某段限速公路BC上(公路視為直線)，交通管理部門規(guī)定汽車的最高50行駛速度不能超過km/m/離該公路m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)于y軸上，測(cè)速路BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)在點(diǎn)A的北偏東方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15s，通過計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：3≈1.7)

(第6題)利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問題7如圖，在ABC，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，借助圖①求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，借助圖②求t的值．(第7題)答案專訓(xùn)114(第2題)2解：(1)如圖，過點(diǎn)C作AB的線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵∠ABC＝120°，∴∠＝30°.

在eq\o\ac(△,Rt)CBE中，∵BC＝20km，∴BE＝10km.由勾股定理可得＝103.在eq\o\ac(△,Rt)ACE中，∵AC

2

＝AE

2

＋CE

2

＝(AB＋BE)

2＋CE

2

＝8100＋300＝8400，∴AC＝2021≈×4.6＝92(km．801(2)選擇乘“武黃城際列車”．理由如下：乘客車需時(shí)間t＝＝()1603乘“武黃城際列車”需時(shí)間t≈2

92201＋＝1()．180409011∵1>1，∴選擇乘“武黃城際列車”．390(第3題)3C點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開，連接AB，如圖，線AB即為壁虎所爬的最短路線．因?yàn)锽C＝30×＋10×3＝120()，AC＝50cm，在eq\o\ac(△,Rt)ABC，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130.所以壁虎至少爬行cm.4105解：如圖，連接BD交AC于O，連接ED與AC交于點(diǎn)P，連接(第5題)易知BD⊥AC，且BO＝OD，∴＝PD，則BP＋EP＝ED，此時(shí)最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED

2

＝AE

2

＋AD

2

＝3

2

＋4

2

＝25＝5

2

，∴ED＝BP＋EP＝6解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C連接AC交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所建的出口．此時(shí)A、B兩城鎮(zhèn)到出口P距離之和最小，最短距離為的長(zhǎng)．作AD⊥BB′于點(diǎn)D，在ADC中，AD＝A′B′＝8，DC＝6km.∴AC＝AD

2

＋DC

2

＝10km，∴這個(gè)最短距離為km.

722

(第6題)點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD開并鋪平得長(zhǎng)方形AA′D′D，連AC，如圖．線段就是小蟲爬行的最短路線．根據(jù)題意AB＝

21×2π×＝π22.在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，由勾股定理，得AC

2

＝AB

2

＋BC

2＝2

2

＋2

2

＝8，∴AC＝8＝22.(第7題)8解：(1)圓錐(2)形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，為蝸牛爬行的最短路線．(4)在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ASC中，由勾股定理，得AC2102＋5125，AC＝125＝55.故蝸牛爬行的最短路程為55.(第8題)(第9題)9解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC′AC.11(2)如圖，AC′＝41

2

＋（4＋4）2

＝45.AC＝（4＋4）1

＋4

2

＝45.所以螞蟻爬過的最短路徑的長(zhǎng)是45.10．解：分為三種情況：(1)如圖①，連接，1在eq\o\ac(△,Rt)EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝×30＝15()．2由勾股定理，得＝202＋152＝25(cm)．(2)如圖②，連接根據(jù)勾股定理同理可求＝673>25cm(3)如圖③，連接根據(jù)勾股定理同理可求＝122＋（30＋8＋15）2＝2953(cm)>25cm.

綜上可知，小蟲爬行的最短路程是cm.(第10題)專訓(xùn)21A2解：由題意易知AD∥BC，∠2＝∠3.∵△BC′D與△關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.設(shè)EB＝x，則ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在eq\o\ac(△,Rt)ABE中，AB＋AE2＝BE2，∴4

2

＋(8－x)

2

＝x

2

.∴x＝5.∴DE＝5.∴S

△BED

11＝DE·AB＝×5×4＝10.22解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得ED＝EB，然后在中，BE2＝AB2＋AE

2

，利用勾股定理列出方程即可求解．3(1)證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴eq\o\ac(△,Rt)ABG≌AFG()．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則＝6－x，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在eq\o\ac(△,Rt)CEG中，2＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4(1)證明：由題意知，AF＝CFAE＝CE∠＝∠CFE，又四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，故AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝(2)解：由題意知AE＝EC＝，ED，DC，D＝90°知ED2＋DC2＝CE

2

，即b

2

＋c

2

＝a

2

.專訓(xùn)3(第1題)1解：如圖，連接BD.∵等腰直角三角形中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，BD平分∠ABC(腰三角形三線合一)，∴∠＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBDC.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB與△FDC中，∠EBD＝∠C，，∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC()，∴BE＝FC＝3.∴＝7，則BC＝7.∴BF＝4.在eq\o\ac(△,Rt)EBF中，EF

2

＝BE

2

＋BF

2

＝3

2

＋4

2

＝25，∴EF＝5.22a；3a3證明：∵CD⊥AD，∴∠＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得2＋CD2＝AC2.

又∵AD

2

＝2AB

2

－

2

，∴AD

2

＋CD

2

＝2AB

2

.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△是直角三角形．由勾股定理，得2＋BC2＝AC2，∴AB

2

＋BC

2

＝2AB

2

，故BC

2

＝AB

2

，即＝BC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線段的平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線段相等的一般步驟：①找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；②根據(jù)勾股定理寫出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；③聯(lián)系已知，等量代換，求之即可．(第4題)4證明：如圖，連接∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均為直角三角形．∴BP

2

＋PM

2

＝BM

2

，AP

2

＋PM

2

＝AM

2

.同理可得BC2＋2＝BM2.∴BP

2

＋PM

2

＝BC

2

＋CM

2

.又∵CM＝AM，∴CM

2

＝AM

2

＝AP

2

＋PM

2

.∴BP

2

＋PM

2

＝BC

2

＋AP

2

＋PM

2

.∴BP

2

＝BC

2

＋AP

2

.(第5題)5思路導(dǎo)引：過點(diǎn)A作⊥BC于D圖中出現(xiàn)兩個(gè)直角三角形——eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,Rt)ABD，這兩個(gè)直角三角形有一條公共AD，借助這條公共邊可建立起兩個(gè)直角三角形之間的聯(lián)系解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，

1∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，∴CD＝AC＝5.2∴在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AD＝AC

2－CD

2

＝10

2

－5

2＝53.∴在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，BD＝AB

2－AD

2

＝11.∴BC＝BD＋CD＝＋5＝16.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問題．6思路導(dǎo)引：(1)要求點(diǎn)B點(diǎn)C的坐標(biāo)，只要分別求出和長(zhǎng)即可．(2)由(1)可知BC長(zhǎng)度，進(jìn)而利用速度公式求得汽車在這段限速路上的速50度，并與