利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性專題

利用導(dǎo)數(shù)研函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的調(diào)與數(shù)關(guān)函＝(x)在個間可，：若f′(x，則f(在個間單遞；若f′(x，則f(在個間單遞；若f′(x＝0則f(在個間是數(shù)數(shù).函數(shù)的值導(dǎo)f′(x)＝00條圖極極點

x附近左′(，側(cè)fx)<00形山(x)為大0x為極值0

x附近左′(，側(cè)0f′(形山fx)為小0x為極值0函數(shù)的值導(dǎo)函f()在a，b上最值條如在間ab]函yf(的圖是條續(xù)斷曲，么必最值最小.求y＝(在[，]的大小)的驟①函y＝f(在ab)的值②函y＝fx)各值端處函值f(a)(b比較其最的個最值最的一是最值判斷下結(jié)正(括內(nèi)“”或×”)若數(shù)x)(，)單遞，么定f′(x)>0.(如函x)某區(qū)內(nèi)有f′(＝0，fx在此間沒單性.)函的大一大其極值()1

對導(dǎo)數(shù)x)f′(x＝0是x為極點充要件()00函的大不定極大，數(shù)最值不定極值()選2－2P32A4改編)如是f(的函′(的象則(x的小值的數(shù)()C.3D.4選2－2P32A5(4)改編函)＝2－x的極是)

D.e

24.(2019·青月)函數(shù)f(＝cosx－x在(，π)的單性()先增后先后單調(diào)遞單遞5.(2017·浙卷函＝f的函yf′(x的圖如所，函y＝f(的象能(

6.(2019·豫九考)函＝x－c

2

在x處極值則數(shù)c的值()B.2或6D.62

ππ考一

求數(shù)單區(qū)【1已知數(shù)x＝ax＋2

a∈R)在x＝－取極.確a的值；若g()＝f(x，求函g)單減間【律法

求函單區(qū)的驟：確函x的定域(2)f′()定域解等式′()>0，得單遞區(qū)；在定域解等f′()<0，得調(diào)減間若所求數(shù)單區(qū)不一時用，”“”接【練】已知數(shù)f(＝x，則x)()在(，∞)遞B.(，＋∞)上減在，e

上增

在，e

上減已定在間(ππ)上的數(shù)()＝xsinx＋cosx則(的調(diào)增間________.【2(2017·全國卷編已函數(shù)f)＝ex(ex－)－2x，其中數(shù)≤0.討f()的調(diào)；若f(≥0，a的取值圍x2【練】已知fx)－aln，∈R求x)單區(qū).考三

函單性簡應(yīng)角1比大小解等【3－1已知數(shù)＝fx)于意∈，

滿′(x)cosx＋f(＝1＋ln，其f′(x是數(shù)x的函數(shù)則列等成的()3

ππππππππxππ2f4234

ππ2ff343ff36已函f′(x是數(shù)f)導(dǎo)函數(shù)f(1)＝，任實都f（）1，不式F(的集()e2

fx)′(x)>0，設(shè)x)－，1)，e)

，＋，＋角2根函數(shù)調(diào)求數(shù)【3】(2019·日質(zhì))知函f(＝ln，g)＝ax2＋2x.若數(shù)x)f()－gx)在調(diào)減間求數(shù)取范；若數(shù)x)f()－gx)[，4]上單遞，實a的取范.【練】(1)已知f(x)是義區(qū)(，∞)的數(shù)其函為′(x)且等′(xf(恒立則)ffB.4C.f(2)D.f(1)>4′(2)(2)(2019·淄博擬若數(shù)x)kx－lnx在區(qū)(，∞)上單遞，k的取范是1－，－2]B.，＋C.[2，∞)D.－∞，2【礎(chǔ)固組(議時40分鐘一選題函數(shù)y＝f(的象圖示則y＝′()的象能()4

xx函數(shù)f(x)x·ex－ex＋1，e)，＋∞)

的調(diào)增間()，e)－1＋∞)3.(2019·青二調(diào))函x＝x3－12在間(k－1，＋1)不單函，實數(shù)k的值圍()≤－3或－1≤k或kB.不存這的數(shù)－2<kD.－3<<－1或1<已知f(x)

x，()f(3)f(e)

5.(2019·濟一模)數(shù)f(x)定域R，(－1)＝2，對意x，′(x，則fx)>2x＋4的解為)－1，1)－，－1)二填題已知函x＝(x2

－1，＋∞)－，∞)＋2x)e∈R為然數(shù)底)則數(shù)f(x)單遞區(qū)為________.5

xx若函數(shù)f(＝ax3＋3x－x恰好三單區(qū)間則數(shù)的取范是_______.1若函數(shù)f(＝－x＋2＋2在，＋上在調(diào)增區(qū)，a的取范是_______.2三解題x31已知函fx＝＋－lnx，其中a，且線＝f(x)點1處的線直直＝.22求a值求數(shù)x)單區(qū).成都中測)函fx＝ax2－－lnx，x)－，其∈R，e…為然數(shù)xex的數(shù)討f()的調(diào)；證：時，g(【力升組(議時20分鐘山東)若函exf(＝2.71828…是然數(shù)底)的義上調(diào)增則函數(shù)f(具M性質(zhì).下列數(shù)具質(zhì)是)x＝2－xx＝3－x

)＝2)上海安調(diào)研已函fx)x＋cosx＋x2集()6

，不式x)f

f(1)的

，＋∞)B.(0，e)

，e

∪(1，e)

若數(shù)x)x－2xx在(∞＋∞)調(diào)遞，取范是________.已函x)alnx－ax－3(∈R).求數(shù)x)單區(qū)；若數(shù)y＝f(的象點2，f(2))處的線傾角45°，于意∈[1，2]，函g(＝x3

＋2

m·（x）區(qū)(t，3)上總是調(diào)數(shù)求m取范.2多填)知數(shù)f(＝32＋－2的圖過(，－6)，函g(＝′(＋6x圖關(guān)y軸稱則＝________，f(x的調(diào)減間為_______.7

答

案判斷下結(jié)正(括內(nèi)“”或×”)若數(shù)x)(，)單遞，么定f′(x)>0.(如函x)某區(qū)內(nèi)有f′(＝0，fx在此間沒單性.)函的大一大其極值()對導(dǎo)數(shù)x)f′(x＝0是x為極點充要件()00函的大不定極大，數(shù)最值不定極值()【案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√【析(1)f(在ab)單遞，有f′(≥0.函的大也能于極值x為f(的值的要件′(x)＝0且兩側(cè)函異.000【材化選2－2P32A4改編)如是f(的函′(的象則(x的小值的數(shù)()【案A

C.3D.4【析

由意在x＝－1處f－1)＝0，且兩導(dǎo)符為負(fù)正.選2－2P32A5(4)改編函)＝2－x的極是)

D.e

2【案C【析

因′(x)＝2x＋1)＝1－lnx，f，所以x當(dāng)′(x時，解；當(dāng)fx時，得x，所以x＝e時()取極值(xf＝e.極大值【題驗4.(2019·島考函f(＝cosx－x在(0π)上單調(diào)是)先增后單調(diào)遞

先減增單調(diào)減8

【案D【析

易f′(x＝－1∈(0，π)，則fx，以(＝cosx－(，π)上減5.(2017·江函數(shù)y＝f(x的導(dǎo)數(shù)y＝′(x)的象圖示則數(shù)＝(的象能()【案D【析

設(shè)函＝f′(x與x交的坐從往依為，x，，由函數(shù)＝f′(x)圖123象得－，x)∪(，x)，f′(；當(dāng)x∈(x，x)∪(x，∞)時，f′(x)>0(其中12313x<)，所函f(x在－∞，x)，(，)上單遞，(，x，(x，∞)單遞，1223123察選，有D選符.6.(2019·南校評若數(shù)＝x－c)

2

在x處極值則數(shù)c的值()【案C

B.2或6【析

函f(＝x(－c)2的導(dǎo)為f′(x＝32－4cx＋c2，由意，x＝2處的數(shù)為12－8＋c2＝0，得c＝2或6又?jǐn)?shù)x)x(－2在＝2處有小，導(dǎo)在x＝2處側(cè)負(fù)，側(cè)正而e＝6時，f(＝x－6)x＝2處有大，＝2.【點焦考一

求數(shù)單區(qū)【1已知數(shù)x＝ax＋2

a∈R)在x＝取極.確a的值；若g()＝f(，求函)單減間【案見析9

232232【析(1)f(求得′(x)＝3ax2＋2，4因x在＝－處取極，以3

＝0，4416a81即a＋2·＝－＝0解a＝.33332由1)得x)＋，故gx＝xxx.令gx，x(＋1)(，解－1<x<0或x<－4，所x的單減間(－1，0)，(∞－4).【律法1.函單區(qū)的驟確函x的定域(2)f′()定域解等式′()>0，得單遞區(qū)；在定域解等f′()<0，得調(diào)減間若所求數(shù)單區(qū)不一時用，”“”接【練】已知數(shù)f(＝x，則x)()在(，∞)遞B.(，＋上遞在，上遞e

在，上遞e已定在間(ππ)上的數(shù)f(x)xsinx＋cosx，(的調(diào)增間________.【案(1)D(2)

ππ－，，22【析(1)為數(shù)(＝xln，定義為0＋∞)，以f＝lnx，′(x時，1解x>，函數(shù)單遞區(qū)為，∞當(dāng)f′(x)<0，得0<x<，函的單遞區(qū)為ee

f′(xxx－sinx＝x令f′(x)＝xcos，則在間(－π，π)的集為ππππ－，，即f(x)單遞區(qū)為，－，222

考二

討函的調(diào)【2(2017·全國卷編已函數(shù)f)＝ex(ex－)－2x，其中數(shù)≤0.討f()的調(diào)；10

aa當(dāng)x∈a當(dāng)x∈aaaaa當(dāng)x∈a當(dāng)x∈aaa若f(≥0，a的取值圍【案見析【析(1)數(shù)f(x)的義為－，∞)且a≤0.f′(x＝2ex－aex－a＝(2e＋a－①＝0，則f(＝e2x，(∞＋∞)上調(diào)增②，則′(x)，得x＝ln

－2

時f′(x；－，ln2時f′(x)>0.＋∞2故f(在∞，ln單調(diào)減2上調(diào)增在間－，＋∞2①a＝0時，f(＝e2x≥0恒成.a②，則(1)得當(dāng)x＝ln，(x)得小，小為ln－a2－ln22a故且當(dāng)－ln－，2即a≥－2e4時f()≥0.

－2

，綜，取范是[－2e4，0].【律法1.(1)研究參的數(shù)單性要據(jù)數(shù)不式集的響行類論.劃函的調(diào)間，要函定域討，要定數(shù)的和數(shù)間點.別數(shù)0的點影所區(qū)的調(diào)，f(x＝x，f′(x)x2≥0(f′(x)＝0在x時取到，f()在R上增數(shù)x2【練】已知fx)－aln，∈R求x)單區(qū).【案見析x2【析因fx)－aln，x∈(0＋∞)，a2－a所′(＝x－＝.xx當(dāng)a時fx)>0，以f(x)(，∞)上為單調(diào)增數(shù)當(dāng)a時f′(x)

（x＋a（－a）x

，有11

πππ2fππ2ffππ23fππ3ffππππ2fππ2ffππ23fππ3ffππππ即2ff①∈(0，)，f′(x)<0所()的調(diào)減間為0a②∈(，＋∞)時f′(，以(的調(diào)增間(a，∞).綜所，a≤0時，fx)單遞區(qū)為0，∞)，無調(diào)減間當(dāng)a時函x的單遞區(qū)為0a，調(diào)增間(a，∞).考三

函單性簡應(yīng)角1比大小解等【3－1已知數(shù)＝fx)于意∈，

滿′(x)cosx＋f(＝1＋ln，其f′(x是數(shù)x的函數(shù)則列等成的()44

3436已函f′(x是數(shù)f)導(dǎo)函數(shù)f(1)＝，任實都f（）1，不式F(的集()e2

fx)′(x)>0，設(shè)x)－，1)，e)

，＋，＋【案(1)B(2)Bf（x）fx)cosx－f)(x)1＋lnxx<，【析(1)令gx)，則g′()＝.由解得xcosxcos2x′(x，<x<；<2，解得0<x<1所函(x)遞減在調(diào)遞，ee2′(x，πππ又>，以gg434

ππf4，以>，ππcos34

f′(x－eF′(x)＝)2

(′()－f(x＝，又f(－′(x，知′(，∴x)R上調(diào)減由F(＝F(1)得x>1，212

xxmaxxxmax所不式x)<的解為(，∞).2角2根函數(shù)調(diào)求數(shù)【3－2】(2019·照檢已知數(shù)fx＝lnx，g)＝ax2

＋2若數(shù)x)f()－gx)在調(diào)減間求數(shù)取范；若數(shù)x)f()－gx)[，4]上單遞，實a的取范.【案見析【析x)x－ax2－2x，∴′(x)－ax－2.x若數(shù)x)(，∞)上在單減間12則時，－ax－2<0有解即－有解x22設(shè)G(＝－，以要a>x).xmin又G(＝－1

－1，以G)＝－1.min所－1.實a的取值圍(－1，∞).由h()在1，4]上單遞，∴∈[1，4]時，h′(x＝－－2≤0恒成，x212則a≥－恒立設(shè)G(＝－，x2x2x所≥(x).max又G(＝－1

－1，x∈[1，4]，因∈[1，4]，所∈x

，7所x＝－(時x＝4)，以a≥17（7－4（x－4）又＝－時h′(x)＋x－21616x

，∵∈[1，4]，h′(＝

（7－4）（x）

≤0，當(dāng)僅x＝4時等成.∴x)[，4]上為函.13

故數(shù)a的取范是，∞16

【律法利導(dǎo)比較小其鍵于用目件造助數(shù)把較大的題化先用數(shù)究數(shù)單性進根單性較小.根據(jù)函單性參的般路利集間包關(guān)處理y＝fx)(a，上調(diào)則間a，b)相單區(qū)的集.f(x)是調(diào)增充條是任的∈(，都有′(x)≥0且(，內(nèi)任非子間，f′(x不為零應(yīng)意時子的號能略否漏.函在個間在調(diào)區(qū)可化不式解題【練】(1)已知f(x)是義區(qū)(，∞)的數(shù)其函為′(x)且等′(xf(恒立則)fff(2)

f(2)f′(2)(2)(2019·淄博擬若數(shù)x)kx－lnx在區(qū)(，∞)上單遞，k的取范是)－，－2]

＋，＋∞)【案(1)B(2)B

∞，2【析(1)函x)

f2f)－2(x′(x－2f(x)(x>0)，則g′(x)＝<0，以數(shù)g(x2xx3f(1)f(2)在0＋∞)內(nèi)減數(shù)所gg(2)，即>，所4f(2).1221由f′(x)k，f(＝－lnx在區(qū)(，∞)上單遞，價fx)k≥0在2，xx11∞)上成，于≥而0<，所以≥.即k的取范是，＋x22【思感】已知函解式單區(qū)，質(zhì)是求′(x，fx)<0的解區(qū)，注函x的義域含參函的調(diào)要意類論通確定數(shù)符判函的調(diào).知數(shù)調(diào)求數(shù)以用定的知間函單區(qū)的含系轉(zhuǎn)為成問題種路決【錯范求單調(diào)間遵定域先原則14

注意兩表“數(shù)x)(a，b上減函”“數(shù)f)減間(，”區(qū).在某區(qū)內(nèi)′(x)>0(fx)<0)是函()在區(qū)上增減函數(shù)充不要件可導(dǎo)函(在(a，上增減函的要件：對x∈(a，b，都有′(x)≥0(f′(x≤0)，且fx在(，b的何區(qū)內(nèi)都恒零【層練【礎(chǔ)固組(議時40分鐘一選題函數(shù)y＝f(的象圖示則y＝′()的象能()【案D【析由函fx的圖可，)在－∞，0)單遞，x在(，＋上單調(diào)遞，以－∞，0)上，fx；(，＋上，f′(x)<0，項D滿.函數(shù)f(x)x·ex－ex＋1－，e)，＋∞)【案D

的調(diào)增間()，e)－1＋∞)【析

由fx)xx－e＋1，得fx＝(x＋1－e)·ex，令fx，得>e－1所函fx)單遞區(qū)是(－1，∞).3.(2019·島中研若數(shù)f(＝x－12x在區(qū)(－1，＋1)上是調(diào)數(shù)則數(shù)k的值圍()≤－3或－≤k或k不存在樣實k15

xx－2<k－3<k－1或1<k【案D【析

由fx)x－12x，′()＝3x2－12，令fx＝0，得x＝或x，只f)＝0的解一在間k－1，＋1)，數(shù)f(在間(k－1，k＋1)上就單，k－1<－2<＋1或－1<2<＋1，解－3<k<或k<3.已知f(x)

x，()f(3)f(e)【案D

【析

－lnfx)定域(，∞)，∵′(x)x∴∈(0，e)，′(x，∈(e，＋∞)′(，故x＝e時，f(＝，max又f(2)

2lnln3ln9＝，f(3)＝，636則fff(2).5.(2019·寧中擬函f(x)的義為R(－1)＝2，任x∈R，′(x)>2則f(x＋4的解為)－1，1)－，－1)【案B

－1，＋∞)－，∞)【析

由fx)>2＋4，得f(－2x，設(shè)F(＝f(x)－4，則Fx)＝fx－2，因′(，所以F′(x在R上成，以x)R上調(diào)增又－1)＝－1)－2×(－1)－4，故等(x－2－4>0等價F(F(，以x>－1.二填題已知函x＝(x2

＋2x)e(∈R為自然數(shù)底)則函f(x)單遞區(qū)為_______.【案(－2，2)16

【析

因f(＝(－x2x)e，所′(＝(－2x＋2)e＋(－2＋2)ex＝(－x＋2)ex.令fx，(x＋2)e，因ex>0，所－x＋2>0，得x<2所函fx)單遞區(qū)為(2，若函數(shù)f(＝ax3＋3x－x恰好三單區(qū)間則數(shù)的取范是_______.【案(－3∪(0，∞)【析

由意′(x)ax2

＋6x，函fx)好三單區(qū)，′(x)兩不等零.滿≠0，且Δ＝36＋12，解得a－3所實的取范是－3，0)∪(0＋∞).1若函數(shù)f(＝－x3＋2＋2在，＋∞存在單遞區(qū)，a的取范是_______.2【案，＋9【析

對x求，′(x)＝2＋x＋2a＝－2

＋＋2a.x∈，∞，′(x)最221值′＋2a.＋2，解a>.所a的取范是，＋999三解題x31已知函fx＝＋－lnx，其中a，且線＝f(x)點1處的線直直＝.22求a值求數(shù)x)單區(qū).【案見析a【析(1)f(求得′(x)－xx35由f(在(，f(1))處的線直直＝x知f＝－－＝－2解a＝.44x53由1)知x)＋－lnx－(x>0).4x2x2則fx＝

－4x－5x

令fx＝0，x>0，∴＝5(＝－1舍去.當(dāng)x∈(0，5)時，f′(x)<0當(dāng)x>5時′(17

xx所函fx)增間(，∞)，減間(，5).10.(2019·成都中測設(shè)數(shù)f(＝ax2的數(shù)討f()的調(diào)；證：時，g(【案見析

－－lnxg(＝－，其∈R，e…為然數(shù)xex2ax－1【析(1)：題得f＝2ax－＝xx

x當(dāng)a≤0時，f′(x)<0fx)(，＋∞)單調(diào)減當(dāng)a時由′(x)＝0有x＝

，a當(dāng)x∈，2a

時f′(x，f(單遞；當(dāng)x∈，＋a

時f′(x，f(單遞.證令sx＝e

x－1

－x，s′()＝e－1.當(dāng)x時s′(x，以s()>，即e－1

>x，ee（ex－1－）從x＝－＝>0.xe【力升組(議時20分鐘11.(2017·山東若函exf(＝2.71828是自對的數(shù)在的義上調(diào)增則函數(shù)f(具M性質(zhì).下列數(shù)具質(zhì)是)x＝2－xx＝3－x【案A

)＝2)【析設(shè)函x)·()，于A，gx)·2－x＝

，定域R為函，確.于B，g＝e·x2，則g′(＝x(xx，由g得x<－2或x，∴)在義R上是函數(shù)B不確對，g(＝e·3－＝在定域上減數(shù)，不正.于D，(x)x，′(＝2excos＋

π

，g′(x在定域R上恒立D不確18

xx12.(2019·上海安調(diào))知數(shù)fx＝xsinxx＋2，則不式x)＋ff的集()，＋∞)B.(0，e)

，e

∪(1，e)

【案D【析x)xx＋cos＋x2是函，所f

x

＝f(－lnx)＝f(lnx).則不式變?yōu)閒(lnx)<f(1)f(|lnx|)<f(1).又′(x)＝xcos＋2x＝x(2＋cosx)，由