2022年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學(xué)綜合練習(xí)試卷（一）（一模）

第1頁（共1頁）2022年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學(xué)綜合練習(xí)試卷（一）（一模）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，則A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}2．（4分）已知命題p：?x＞1，x2﹣1＞0，那么￢p是（）A．?x＞1，x2﹣1＞0 B．?x＞1，x2﹣1≤0 C．?x＞1，x2﹣1≤0 D．?x≤1，x2﹣1≤03．（4分）已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（4分）已知圓C：x2﹣2x+y2＝0，則圓心C到直線x＝3的距離等于（）A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）若數(shù)列{an}滿足an+1＝2an，且a4＝1，則數(shù)列{an}的前4項和等于（）A．15 B．14 C． D．6．（4分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，則∠A＝（）A． B． C． D．或7．（4分）在抗擊新冠疫情期間，有3男3女共6位志愿者報名參加某社區(qū)“人員流調(diào)”、“社區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務(wù)，其中3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”．若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者，則這6位志愿者不同的分配方式共有（）A．19種 B．20種 C．30種 D．60種8．（4分）已知F是雙曲線的一個焦點，點M在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點．若|OM|＝|MF|，則△OMF的面積為（）A． B． C． D．69．（4分）已知函數(shù)無最小值，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）10．（4分）對任意m∈N*，若遞增數(shù)列{an}中不大于2m的項的個數(shù)恰為m，且a1+a2+?+an＝100，則n的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）函數(shù)的定義域是．12．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，﹣6）．若∥，則x＝．13．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]．能夠說明“若f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為f（1），則f（x）是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是．14．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，則F的坐標(biāo)為；設(shè)點M在拋物線C上，若以線段FM為直徑的圓過點（0，2），則|FM|＝．15．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，點P在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面CMN截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；②直線B1D1到平面CMN的距離是；③存在點P，使得∠B1PD1＝90°；④△PDD1面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使f（x）的解析式唯一確定．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求g（x）在區(qū)間[0，]上的最大值．條件①：f（x）的最小正周期為π；條件②：f（x）為奇函數(shù)；條件③：f（x）圖象的一條對稱軸為x＝．17．（14分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝．以直線AB為軸，將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．（Ⅰ）求證：DF∥平面BCE；（Ⅱ）在線段DF上是否存在點P，使得直線AE和平面BCP所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．（14分）為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立．（Ⅰ）若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（Ⅱ）從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的a（0＜a＜98）人選擇了如表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2.當(dāng)a為何值時，s2最小．（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，且|AB|＝4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上不同于A，B的一點，直線PA，PB與直線x＝4分別交于點M，N．若|MN|≤4，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．21．（14分）已知集合S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*），A＝{a1，a2，…，am}，且A?S．若對任意ai∈A，aj∈A（1≤i≤j≤m），當(dāng)ai+aj≤n時，存在ak∈A（1≤k≤m），使得ai+aj＝ak，則稱A是S的m元完美子集．（Ⅰ）判斷下列集合是否是S＝{1，2，3，4，5}的3元完美子集，并說明理由；①A1＝{1，2，4}；②A2＝{2，4，5}．（Ⅱ）若A＝{a1，a2，a3}是S＝{1，2，…，7}的3元完美子集，求a1+a2+a3的最小值；（Ⅲ）若A＝{a1，a2，?，am}是S＝{1，2，…，n}（n≥3且n∈N*）的m元完美子集，求證：a1+a2+…+am≥，并指出等號成立的條件．

2022年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學(xué)綜合練習(xí)試卷（一）（一模）參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，則A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}【分析】直接利用并集運算得答案．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}∪{x|﹣2＜x≤1}＝{x|﹣2＜x≤2}．故選：D．【點評】本題考查并集及其運算，是基礎(chǔ)題．2．（4分）已知命題p：?x＞1，x2﹣1＞0，那么￢p是（）A．?x＞1，x2﹣1＞0 B．?x＞1，x2﹣1≤0 C．?x＞1，x2﹣1≤0 D．?x≤1，x2﹣1≤0【分析】將量詞“?”變?yōu)椤?”，結(jié)論否定即可．【解答】解：∵命題p：?x＞1，x2﹣1＞0∴￢p：?x＞1，x2﹣1≤0故選：B．【點評】本題考查含量詞的命題的否定形式：將量詞“?”與“?”互換，結(jié)論同時否定．3．（4分）已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），則“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0，以此可解決此題．【解答】解：因為z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查復(fù)數(shù)定義及充分、必要條件的判斷．考查數(shù)學(xué)運算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知圓C：x2﹣2x+y2＝0，則圓心C到直線x＝3的距離等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)，從而求得點到直線的距離．【解答】解：圓C：x2﹣2x+y2＝0，即（x﹣1）2+y2＝1，故圓心C（1，0），則圓心C到直線x＝3的距離為|3﹣1|＝2，故選：C．【點評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）若數(shù)列{an}滿足an+1＝2an，且a4＝1，則數(shù)列{an}的前4項和等于（）A．15 B．14 C． D．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出前4項，然后求出數(shù)列{an}的前4項和即可．【解答】解：由題意得，數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列，又a4＝1，所以a3＝，a2＝，a1＝，所以{an}的前4項和為1+＝．故選：C．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，則∠A＝（）A． B． C． D．或【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用正弦定理可求sinA的值，結(jié)合大邊對大角可求A為銳角，進(jìn)而可求A的值．【解答】解：因為a＝2，b＝3，cosB＝，所以sinB＝＝，因為由正弦定理可得，所以sinA＝＝＝，又b＞a，可得A為銳角，所以A＝．故選：A．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，大邊對大角在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）在抗擊新冠疫情期間，有3男3女共6位志愿者報名參加某社區(qū)“人員流調(diào)”、“社區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務(wù)，其中3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”．若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者，則這6位志愿者不同的分配方式共有（）A．19種 B．20種 C．30種 D．60種【分析】先考慮：若3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”，其分配方法共有；再考慮：該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位若分配到3位女性志愿者，只有一種方法，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：若3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”，則分配方法共有＝20種，該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位若分配到3位女性志愿者，只有一種方法，因此若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者，則這6位志愿者不同的分配方式共有20﹣1＝19種．故選：A．【點評】本題考查了組合的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）已知F是雙曲線的一個焦點，點M在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點．若|OM|＝|MF|，則△OMF的面積為（）A． B． C． D．6【分析】求解半焦距，求出M的縱坐標(biāo)，然后求解三角形的面積．【解答】解：F是雙曲線的一個焦點，不妨為右焦點F（2，0），漸近線方程為：y＝x，不妨M在第一象限，則M的縱坐標(biāo)：．所以△OMF的面積為：．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角形面積的求法，是中檔題．9．（4分）已知函數(shù)無最小值，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[1，+∞） D．（1，+∞）【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象結(jié)合f（x）無最小值，求出a的取值范圍即可．【解答】解：由f（x）＝x3﹣3x，可得f′（x）＝3x2﹣3，令3x2﹣3＝0，解得x＝±1，結(jié)合三次函數(shù)的圖象，可知x＝﹣1時，函數(shù)取得極小值，函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)a≤1時，函數(shù)取得最小值，當(dāng)a＞1時，函數(shù)沒有最小值，所以a的取值范圍為（1，+∞）．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計算能力，是中檔題．10．（4分）對任意m∈N*，若遞增數(shù)列{an}中不大于2m的項的個數(shù)恰為m，且a1+a2+?+an＝100，則n的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】先由條件得出an≤2n，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列前n項和列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由遞增數(shù)列{an}中不大于2m的項的個數(shù)恰為m可知an≤2n，又a1+a2+?+an＝100，故2+4+6+?+2n≥100，即，解得或，又n∈N*，故n的最小值為10．故選：C．【點評】本題考查了等差數(shù)列求和，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）函數(shù)的定義域是（0，2]．【分析】根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意得：，解得：0＜x≤2，故函數(shù)的定義域是（0，2]，故答案為：（0，2]．【點評】本題考查了求函數(shù)的定義域問題，考查二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．12．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，﹣6）．若∥，則x＝4．【分析】如果已知的兩個向量平行，由于兩個向量的坐標(biāo)形式已經(jīng)給出，故可根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)運算構(gòu)造方程，然后解方程即可求出未知數(shù)x的值．【解答】解：∵＝（﹣2，3），＝（x，﹣6），又∵∥，∴3x﹣12＝0，解得x＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了共線向量，考查向量的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題．13．（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]．能夠說明“若f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為f（1），則f（x）是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求函數(shù)的定義域為[0，1]，在區(qū)間區(qū)間[0，1]上的最大值為f（1），但f（x）不能是增函數(shù)，則f（x）可以為二次函數(shù)，則要求函數(shù)可以為f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]；故答案為：f（x）＝（x﹣）2，x∈[0，1]．（答案不唯一）【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，則F的坐標(biāo)為（1，0）；設(shè)點M在拋物線C上，若以線段FM為直徑的圓過點（0，2），則|FM|＝5．【分析】利用拋物線方程求解焦點坐標(biāo)；設(shè)M（，y），根據(jù)以MF為直徑的圓過點A（0，2），可得＝0，解得y，然后利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【解答】解：拋物線C：y2＝4x的焦點為F，∴F（1，0），設(shè)M（，y），∵以MF為直徑的圓過點A（0，2），∴AM⊥AF，∴＝（，y?2）?（1，﹣2）＝0，∴?2（y?2）＝0，解得y＝4，∴xM＝＝4，∴|MF|＝4+1＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了圓的性質(zhì)、拋物線的定義及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（5分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，A1D1的中點，點P在線段CM上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面CMN截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面圖形是五邊形；②直線B1D1到平面CMN的距離是；③存在點P，使得∠B1PD1＝90°；④△PDD1面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【分析】作出截面圖形判斷①，利用等積法可判斷②，利用坐標(biāo)法可判斷③④．【解答】解：對于①，如圖直線MN與C1B1、C1D1的延長線分別交于M1，N1，連接CM1，CN1分別交BB1，DD1于M2，N2，連接MM2，NN2，則五邊形MM2CN2N即為所得的截面圖形，故①正確；對于②，由題可知MN∥B1D1，MN?平面CMN，B1D1?平面CMN，∴B1D1∥平面CMN，故點B1到平面CMN的距離即為直線B1D1到平面CMN的距離，設(shè)點B1到平面CMN的距離為h，由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2可得，，，∴，，∴由＝，可得，所以直線B1D1到平面CMN的距離是，故②錯誤；對于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），設(shè)，∴，又C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），∴P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），，假設(shè)存在點P，使得∠B1PD1＝90°，∴，整理得9λ2﹣14λ+4＝0，∴（舍去）或，故存在點P，使得∠B1PD1＝90°，故③正確；對于④，由上知P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），所以點P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）在DD1的射影為（0，2，2λ），∴點P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）到DD1的距離為：，∴當(dāng)時，，∴故△PDD1面積的最小值是，故④錯誤．故答案為：①③．【點評】本題主要考查線面距離的計算，立體幾何中的截面問題等知識，屬于中等題．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使f（x）的解析式唯一確定．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求g（x）在區(qū)間[0，]上的最大值．條件①：f（x）的最小正周期為π；條件②：f（x）為奇函數(shù)；條件③：f（x）圖象的一條對稱軸為x＝．【分析】（Ⅰ）可以選擇條件①②或條件①③，先由周期計算ω，再計算φ即可；（Ⅱ）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）選擇條件①②：由條件①及已知得，所以ω＝2，由條件②得f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ（k∈Z），因為，所以φ＝0，所以f（x）＝sin2x，經(jīng)檢驗φ＝0符合題意；選擇條件①③：由條件①及已知得，所以ω＝2，由條件③得，解得φ＝kπ（k∈Z），因為，所以φ＝0，所以f（x）＝sin2x；（Ⅱ）由題意得，化簡得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，g（x）的最大值為．【點評】本題考查了三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．17．（14分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝．以直線AB為軸，將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到直角梯形ABEF，且AF⊥AD．（Ⅰ）求證：DF∥平面BCE；（Ⅱ）在線段DF上是否存在點P，使得直線AE和平面BCP所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【分析】（Ⅰ）證明出四邊形DCEF為平行四邊形，進(jìn)而證明出線面平行；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．【解答】（Ⅰ）證明：由題意得EF∥CD，EF＝CD，所以四邊形DCEF為平行四邊形．所以DF∥CE．因為DF?平面BCE，CE?平面BCE，所以DF∥平面BCE．（Ⅱ）解：線段DF上存在點P，使得直線AE和平面BCP所成角的正弦值為，理由如下：由題意得AD，AB，AF兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．設(shè)AB＝2，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1）．所以，，，．設(shè)，則設(shè)平面BCP的一個法向量為，所以，令x＝λ，則y＝λ，z＝1+λ．于是設(shè)直線AE和平面BCP所成角為θ，由題意得：＝，整理得：3λ2﹣22λ+7＝0，解得或λ＝7．因為0≤λ≤1，所以，即．所以線段DF上存在點P，當(dāng)時，直線AE和平面BCP所成角的正弦值為．【點評】本題主要考查線面平行的證明，立體幾何中的探索性問題等知識，屬于中等題．18．（14分）為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨立．（Ⅰ）若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（Ⅱ）從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量X為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（Ⅲ）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的a（0＜a＜98）人選擇了如表中其他的畢業(yè)去向，記此時表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為s2.當(dāng)a為何值時，s2最?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（I）用樣本中“單位就業(yè)”的頻率乘以畢業(yè)生人數(shù)可得；（II）先由樣本數(shù)據(jù)得選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率，然后由二項分布可得；（III）由方差的意義可得．【解答】解：（I）由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為．（II）由題意得，樣本中1000名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為．用頻率估計概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為．隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，，所以X的分布列為：X0123P．（III）易知五種畢業(yè)去向的人數(shù)的平均數(shù)為200，要使方差最小，則數(shù)據(jù)波動性越小，故當(dāng)自主創(chuàng)業(yè)和慢就業(yè)人數(shù)相等時方差最小，所以a＝42．【點評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．19．（15分）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，且|AB|＝4，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是橢圓C上不同于A，B的一點，直線PA，PB與直線x＝4分別交于點M，N．若|MN|≤4，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（Ⅰ）直接由條件計算a，b即可；（Ⅱ）設(shè)出點P坐標(biāo)，分別寫出直線PA，PB的方程，表示出M，N坐標(biāo)，由|MN|≤4得到不等式，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意得解得a2＝4，b2＝1．所以橢圓C的方程是．（Ⅱ）設(shè)P（m，n）（﹣2＜m＜2），由已知得A（﹣2，0），B（2，0），所以直線AP，BP的方程分別為，．令x＝4，得點M的縱坐標(biāo)為，點N的縱坐標(biāo)為，所以＝．因為點P在橢圓C上，所以，所以m2﹣4＝﹣4n2，即．因為|MN|≤4，所以，即（m﹣4）2≤16n2．所以（m﹣4）2≤﹣4（m2﹣4）．整理得5m2﹣8m≤0，解得．所以點P橫坐標(biāo)的取值范圍是．【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及其應(yīng)用等知識，屬于中等題．20．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f（x）的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為1，求得切點，可得所求切線的方程；（Ⅱ）討論a＝0，a＞0，a＜0，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性和最值，可得所求取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，f（x）＝x（x≤1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝，由f′（x）＝1（x＜），解得x＝0或x＝（舍去），即有切點為（0，0），則所求切線的方程為y＝x；（Ⅱ）當(dāng)a＝0時，f（x）＝﹣x（x≤0），所以函數(shù)只有一個零點；當(dāng)a≠0時，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝，當(dāng)a＞0時，x＜a，x0＝時，f（x）有最大值，當(dāng)f（）＝＞時，g（x）才有可能有兩個零點，解得a＞3，此時函數(shù)的圖像大致為x0＝時有最大值，然后f（x）從x0兩側(cè)下降，又因為x≤a，所以要保證f（a）≤，g（x）恰有兩個零點，f（a）＝0＜，顯然成立；當(dāng)a＜0時，x＜a＜0，x0＝＞a，所以取不到x0，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以g（x）無兩個零點．綜上可得，a＞3時，函數(shù)恰有兩個不同的零點．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，以及函數(shù)的零點個數(shù)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．21．（14分）已知集合S