湖南省長沙市第八中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖南省長沙市第八中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)既有零點(diǎn)，又是單調(diào)函數(shù)的是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略2.某市環(huán)保局舉辦“六·五”世界環(huán)境日宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒中裝有10張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“環(huán)保會(huì)徽”或“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案.參加者每次從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡即可獲獎(jiǎng).已知從盒中抽兩張都不是“綠色環(huán)保標(biāo)志”卡的概率是.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，那么（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】.設(shè)盒中裝有10張大小相同精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”的有張，“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案的有張，根據(jù)，解得，得到參加者每次從盒中抽取卡片兩張獲獎(jiǎng)的概率，再根據(jù)服從二項(xiàng)分布，利用公式求解.【詳解】.設(shè)盒中裝有10張大小相同的精美卡片，其中印有“環(huán)保會(huì)徽”的有張，“綠色環(huán)保標(biāo)志”圖案的有張，由題意得，解得，所以參加者每次從盒中抽取卡片兩張，獲獎(jiǎng)概率，所以現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人依次抽獎(jiǎng)，抽后放回，另一人再抽，用表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望和方差，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3.已知直線x﹣y﹣=0經(jīng)過橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（）A． B． C．D．參考答案：B【分析】求出直線與x，y軸的交點(diǎn)，得到橢圓的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，然后求解橢圓的離心率．【解答】解：直線x﹣y﹣=0經(jīng)過橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，可得橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0），一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣1），所以c=，b=1，則a=，所以e==．故選：B．4.下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是：A．p：ac2≥bc2

q：a＞b

B．p：x=1

q：x2=xC．p：a＞1，b＞1

q：f(x)=ax－b

(a>0且a≠1)的圖象不過第二象限D(zhuǎn)．p：a＞1

q：f(x)=logx(a>0且a≠1)在（0，+∞）上是增函數(shù)。參考答案：A略5.已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足，，，則的值等于

(

)A．25

B．24

C．－25

D．－24參考答案：C6.下列四個(gè)類比中，正確得個(gè)數(shù)為（）（1）若一個(gè)偶函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為：若一個(gè)奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)．（2）若雙曲線的焦距是實(shí)軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2．將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為：若橢圓的焦距是長軸長的一半，則此橢圓的離心率為．（3）若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為．將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為：若一個(gè)等比數(shù)列的前3項(xiàng)積為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為1．（4）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1：2，則它們的面積比為1：4，將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為：在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積比為1：8．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)類比推理的一般步驟是：①找出兩類事物之間的相似性或一致性；②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想），判斷命題是否正確．【解答】解：對(duì)于（1），若一個(gè)偶函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為：若一個(gè)奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，命題正確；對(duì)于（2），若雙曲線的焦距是實(shí)軸長的2倍，則此雙曲線的離心率為2；將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為：若橢圓的焦距是長軸長的一半，則此橢圓的離心率為，命題正確；對(duì)于（3），若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為；將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為：若一個(gè)等比數(shù)列的前3項(xiàng)積為1，則該數(shù)列的第2項(xiàng)為1，命題正確；對(duì)于（4），在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長比為1：2，則它們的面積比為1：4，將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為：在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長比為1：2，則它們的體積比為1：8，命題正確．綜上，正確的命題有4個(gè)．故選：D．7.已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是(

).

參考答案：C略8.若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.若函數(shù)f（x）=x2﹣4x﹣m+4在區(qū)間[3，5）上有零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．（0，4） B．[4，9） C．[1，9） D．[1，4]參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷出在區(qū)間[3，5）上單調(diào)遞增，得出即即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2﹣4x﹣m+4，對(duì)稱軸x=2，在區(qū)間[3，5）上單調(diào)遞增∵在區(qū)間[3，5）上有零點(diǎn)，∴即解得：1≤m＜9，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的求解方法，屬于中檔題．10.6名同學(xué)安排到3個(gè)社區(qū)A、B、C參加志愿者服務(wù)，每個(gè)社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到A社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到C社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．5

B．6

C．9

D．12參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）“x3=x”是“x=1”的

條件．參考答案：由x3=x，得x3﹣x=0，即x（x2﹣1）=0，所以解得x=0或x=1或x=﹣1．所以“x3=x”是“x=1”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．利用充分條件和必要條件的定義判斷．12.

參考答案：13.在中，若，則的最大值為

▲

．參考答案：14.設(shè)、滿足條件，則的最小值為▲．參考答案：415.底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積為m2．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】由已知中正三棱錐的底面邊長為2m，高為1m，我們易出求棱錐的側(cè)高，進(jìn)而求出棱側(cè)面積和底面面積即可求出棱錐的全面積．【解答】解：如圖所示，正三棱錐S﹣ABC，O為頂點(diǎn)S在底面BCD內(nèi)的射影，則O為正△ABC的垂心，過C作CH⊥AB于H，連接SH．則SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案為16.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12

34

5

67

8

9

10．．．．．．．按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為

．參考答案：17.已知復(fù)數(shù)，則的實(shí)部的最大值為_______，虛部的最大值為________.參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，求弦長.參考答案：解析：

消去y得

19.（12分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足（Ⅰ）若a＝1，p且q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）若?p是?q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：20.如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，且BE⊥B1F．（1）求證：B1F⊥平面BEC1；（2）求二面角A﹣BC1﹣E的平面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分別取BC1，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)ED，AG，推導(dǎo)出AG⊥面BCC1B1，從而ED⊥B1F，BE⊥B1F，由此能證明B1F⊥面BEC1．（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣E的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）分別取BC1，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)ED，AG，∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且底面是正三角形，∴AG⊥面BCC1B1，又∵E，D都是中點(diǎn)，由題意ED∥AG，∴ED⊥面BCC1B1，∴ED⊥B1F，已知BE⊥B1F，BE∩ED=E，∴B1F⊥面BEC1；

…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1F⊥面BEC1，∴B1F⊥BC1，由題意∽，∴，設(shè)BB1=a，則，代入得，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OC為y軸，過O作平面ABC的垂線為z軸，建立如圖坐標(biāo)系O﹣xyz，得A（0，﹣1，0），，，，，，則，，，∵B1F⊥面BEC1，∴平面BEC1的法向量為==（﹣，1，﹣），設(shè)平面ABC1的法向量為=（x，y，z），則，得，取x=1，得=（1，﹣，），設(shè)二面角A﹣BC1﹣E的平面角為θ，∴cosθ==，∴二面角A﹣BC1﹣E的余弦值為．…21.在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個(gè)變量關(guān)于的回歸方程模型，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值如下表：x234567y3.002.482.081.861.481.10(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明與之間存在線性相關(guān)關(guān)系(當(dāng)時(shí)，說明與之間具有線性相關(guān)關(guān)系)；(2)根據(jù)