第一講引言與波動方程推導

偏微分方程PartialDifferentialEquations《偏微分方程：現(xiàn)象、建模、理論與應用》，譚忠編教材、講義主要參考書《數(shù)學物理方程》，谷超豪等編《數(shù)學物理方程講義》，姜禮尚等編《PartialDifferentialEquations》，L.C.Evans編第一章

引言偏微分方程（數(shù)學物理方程）--來源于自然科學、社會科學、工程技術的方程（組）偏微分方程（數(shù)學物理方程）--來源于自然科學、社會科學、工程技術的方程（組）偏微分方程（數(shù)學物理方程）--來源于自然科學、社會科學、工程技術的方程（組）有了微積分，就有了微分方程（微積分是17世紀為了解決物理、力學、天體問題而產(chǎn)生的，而這些問題多為數(shù)學物理方程）幾乎所有學科：分子擴散過程、分子動力學、橋梁工程設計中的力學振動問題、流體力學、量子力學、生物人口模型、最優(yōu)控制論等《物理學與偏微分方程》，

李大潛等編偏微分方程的基本概念偏微分方程偏微分方程的階線性、非線性（半線性、擬線性、完全非線性）偏微分方程的解課程內(nèi)容：1、數(shù)學方法研究實際問題建立數(shù)學模型2、定解問題求解，求解方法3、解的性質，解釋物理現(xiàn)象方程導出守恒律（三大定律）等，

胡克定律，F(xiàn)ouier熱傳導定律等物理知識變分原理，

能量極大極小定律，最小勢能等適定性：存在性、唯一性、穩(wěn)定性+定解條件=定解問題本學期目標：一階、二階線性方程數(shù)學分析、線性代數(shù)、常微分方程復變函數(shù)、實分析、泛函分析、微分幾何、拓撲、計算數(shù)學等第二

章現(xiàn)象與偏微分方程建模2.1振動與波--弦振動方程（波動方程）物理模型：一根兩端固定的拉緊的均勻的柔軟的細弦，長度為，在外力作用下在平衡位置附近作微小橫振動求在不同時刻弦線的形狀。--（理想化假設）注：弦是柔軟的，在形變時不抵抗彎曲，各質點的張力方向與弦的切線方向一致；弦的伸長變形與張力的關系服從虎克定律。數(shù)學建模：弦上質點相對于平衡位置的位移時刻示意圖分析：弦的往返運動的原因是強迫外力和張力的影響，

弦在運動過程中，各點的位移、速度、加速度、張力等都在不斷變化。滿足的物理定律牛頓第二定律：動量守恒定律（沖量定理）：由動量守恒定律推導弦振動方程。微元法:先假設沒有外力作用（１）取一弦段,它的弧長為考慮到是小振動，即，即得這樣，可認為弦在振動過程中并未伸長。由胡克定律知，弦上每點所受的張力大小與時間無關。時刻示意圖其中（2）設點處張力為由于弦只在軸的垂直方向作橫振動，所以水平方向的合力為零，即方向與該點的切線方向一致。負號表示與坐標軸方向相反記

由于小振動，故即知負號表示與坐標軸方向相反反記

（3）張力在軸方向上的合力為：記

則在時間段中該合力產(chǎn)生的沖量為：在時間段內(nèi)弦段的受到的沖量為：（4）另一方面，在時刻及時刻弦段的動量分別為故在時間段內(nèi)弦段的動量變化為（5）由沖量定理，可得（6）利用N-L公式(或Green公式)，可得由的任意性：其中波速也可由牛頓第二定律推導弦振動方程。（7）有外力情況：假定有垂直于軸方向的外力存在，并設其線密度為，它在時間段內(nèi)的沖量為于是有無外力的弦振動方程：則弦段上的外力為仍有的任意性，知表示單位質量在每點處所受的外力均勻彈性桿的微小縱振動——均勻細桿在外力作用下沿桿長方向作微小振動振動中弦上點的張力大小由胡克定理確定：T＝ESε其中，S－截面積、E－彈性系數(shù)（楊氏模量）、ε ＝

?u

－桿在該點的相對伸長量。?xabu(b,

t)x （不振動時）x （振動時刻t

）abu(a,t)向右，

u>0設桿長方向為

x

軸，u(x,t)為

x

處的截面在時刻

t

沿桿長方向的位移，如下圖2 2?

u

?

a

2?t

2?x2再由Newton第二定律，可推得u(

x,

t

)滿足?

u

= f因此，區(qū)間

[a

+

u(a,t),b

+

u(b,t)]

兩端所受的張力為：a

+u(a,t)b

+

u(b,

t)T

a T

bT = ?

E

S ?

u , T = E

S ?

uabx

=

a x

=

b?

x?

x其

中

，

a

2

= E

，

f =f

0ρ 為

桿

的

密

度

，

f

0

為

外

力

線

密

度

。,ρ S

ρ進一步推廣到高維情況：薄膜振動：電磁波、聲波的傳播：弦振動方程具有典型性，許多有關振動問題同樣可以用此方程來刻畫。由于振動的一個共同特征是產(chǎn)生波的傳播，因此，此方程也稱為一維