2020-2021學(xué)年上海市普陀區(qū)長征中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年上海市普陀區(qū)長征中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有11題，每題填對得3分，否則一律得零分，滿分33分）1．（3分）函數(shù)y＝cos的最大值是．2．（3分）函數(shù)的最小正周期為．3．（3分）已知sinα＝，且α是第二象限角，則cos（π﹣α）+sin（π+α）的值等于．4．（3分）化簡：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝．5．（3分）△BC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，則三角形的面積為．（精確到0.01cm2）6．（3分）已知，則sin2x＝．7．（3分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，則滿足條件的x＝．（結(jié)果用反三角記號表示）8．（3分）已知△ABC的面積為，AC＝，則△ABC的周長等于．9．（3分）若y＝在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則ω的最大取值為．10．（3分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3m，4m）（m＞0），則sinα﹣cosα的值為．11．（3分）若扇形的圓心角為，則扇形面積與扇形的內(nèi)切圓（內(nèi)切圓和扇形的圓弧及半徑所在的兩邊均相切）的面積之比為．二、選擇題（本大題共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，選對得4分，否則一律得零分，滿分16分）12．（4分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．（4分）若sinα＜0且tanα＞0，則α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角14．（4分）若0＜α＜2π，則使sinα＜和cosα＞同時成立的α的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（0，） C．（，2π） D．（0，）∪（，2π）15．（4分）設(shè)tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的兩個根，則p、q之間的關(guān)系是（）A．p+q+1＝0 B．p﹣q+1＝0 C．p+q﹣1＝0 D．p﹣q﹣1＝0三、解答題（本題共有5題，共48分，依題序分值為8，8，10，10，12．解答下列各題需寫出必要的解題步驟）16．（8分）已知sinα＝﹣，求cosα、tanα的值．17．（8分）在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）．18．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知，求證：A＝．19．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sin|x|﹣1．（1）判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）求函數(shù)y＝f（x）在（0，+∞）的零點．20．（12分）用“五點法“作出函數(shù)y＝1﹣sinx，x∈[0，2π]的大致圖象，并寫出使得1≤y＜2的x的取值范圍．

2020-2021學(xué)年上海市普陀區(qū)長征中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有11題，每題填對得3分，否則一律得零分，滿分33分）1．（3分）函數(shù)y＝cos的最大值是1．【分析】先求出∈[﹣，]，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴∈[﹣，]，∴當(dāng)＝0，即x＝0時，ymax＝1，∴函數(shù)的最大值為1．故答案為：1．【點評】本題考查利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．2．（3分）函數(shù)的最小正周期為π．【分析】利用二倍角的正弦將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）＝cos2x即可求得其最小正周期．【解答】解：∵＝sin[2（+x）]＝sin（+2x）＝cos2x∴其最小正周期T＝＝π故答案為：π．【點評】本題考查二倍角的正弦，考查三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）已知sinα＝，且α是第二象限角，則cos（π﹣α）+sin（π+α）的值等于．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解cosα，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求得cos（π﹣α）+sin（π+α）的值．【解答】解：由sinα＝，且α是第二象限角，得cosα＝﹣．∴cos（π﹣α）+sin（π+α）＝﹣cosα﹣sinα＝﹣（）﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4．（3分）化簡：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，和角的正弦公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】化簡：sin（θ+105°）cos（θ﹣15°）﹣cos（θ+105°）sin（θ﹣15°）＝sin（θ+105°﹣θ+15°）＝sin120．故答案為：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，和角的正弦公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（3分）△BC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，則三角形的面積為326.63．（精確到0.01cm2）【分析】由已知利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：因為a＝28cm，c＝33cm，B＝45°，所以三角形的面積S＝acsinB＝×28×33×≈326.63．故答案為：326.63．【點評】本題考查了三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（3分）已知，則sin2x＝．【分析】由誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求，結(jié)合已知即可計算求值．【解答】解：∵，∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，則滿足條件的x＝π﹣arccos．（結(jié)果用反三角記號表示）【分析】由題意利用反余弦函數(shù)的定義性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：∵，滿足條件的x為鈍角，∴x＝arccos（﹣）＝π﹣arccos，故答案為：．【點評】本題主要考查反余弦函數(shù)的定義性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）已知△ABC的面積為，AC＝，則△ABC的周長等于+．【分析】根據(jù)三角形的面積等于，求出AB?BC＝4，再由余弦定理可得AB2+BC2＝7，由此求得AB+BC的值，再由AC，即可求出周長．【解答】解：因為△ABC的面積為，AC＝，可得AB?BCsin∠ABC＝，即AB?BC?＝，所以AB?BC＝4，再由余弦定理可得：3＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos＝AB2+BC2﹣AB?BC＝AB2+BC2﹣4，∴AB2+BC2＝7，∴（AB+BC）2＝AB2+BC2+2AB?BC＝7+8＝15，∴AB+BC＝．∴△ABC的周長等于AB+BC+AC＝+．故答案為：+．【點評】本題主要考查解三角形問題，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（3分）若y＝在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則ω的最大取值為．【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)y＝的減區(qū)間，再由函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得關(guān)于ω的不等式，求解得答案．【解答】解：由2kπ，得，k∈Z．取k＝0，可得函數(shù)的一個減區(qū)間為[]，∵y＝在上為嚴(yán)格減函數(shù)，∴，得．∴ω的最大取值為．故答案為：．【點評】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，熟記余弦函數(shù)的減區(qū)間是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．10．（3分）已知角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3m，4m）（m＞0），則sinα﹣cosα的值為．【分析】由題意可得x＝﹣3m，y＝4m，r＝﹣5m，可得sinα＝，cosα＝的值，從而得到sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵m＞0，角α的終邊經(jīng)過點P（﹣3m，4m），∴x＝﹣3m，y＝4m，r＝5m，∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，∴sinα﹣cosα＝．故答案為：．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應(yīng)用，求出sinα和cosα的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11．（3分）若扇形的圓心角為，則扇形面積與扇形的內(nèi)切圓（內(nèi)切圓和扇形的圓弧及半徑所在的兩邊均相切）的面積之比為3：2．【分析】根據(jù)扇形內(nèi)切圓圓的定義，求出內(nèi)切圓與扇形半徑之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為，內(nèi)切圓的半徑為r，由對稱性知∠BAD＝，則AO＝R﹣r，且AO＝2OE，即R﹣r＝2r，得R＝3r，則扇形的弧長l＝R，扇形的面積S＝lR＝R2，則內(nèi)切圓的面積S＝πr2，則扇形面積與扇形的內(nèi)切圓的面積之比為＝＝，故答案為：3：2【點評】本題主要考查扇形面積的計算，根據(jù)內(nèi)切圓的定義求出內(nèi)切圓半徑和扇形半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．二、選擇題（本大題共有4題，每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，選對得4分，否則一律得零分，滿分16分）12．（4分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】本題主要考查三角函數(shù)的基本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷．屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查．將a＝+2kπ代入cos2a易得cos2a＝成立，但cos2a＝時，a＝+2kπ（k∈Z）卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a＝+2kπ（k∈Z）時，cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝反之，當(dāng)cos2a＝時，有2a＝2kπ+?a＝kπ+（k∈Z），或2a＝2kπ﹣?a＝kπ﹣（k∈Z），故選：A．【點評】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．13．（4分）若sinα＜0且tanα＞0，則α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【分析】由正弦和正切的符號確定角的象限，當(dāng)正弦值小于零時，角在第三四象限，當(dāng)正切值大于零，角在第一三象限，要同時滿足這兩個條件，角的位置是第三象限，實際上我們解的是不等式組．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故選：C．【點評】記住角在各象限的三角函數(shù)符號是解題的關(guān)鍵，可用口訣幫助記憶：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它們在上面所述的象限為正14．（4分）若0＜α＜2π，則使sinα＜和cosα＞同時成立的α的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（0，） C．（，2π） D．（0，）∪（，2π）【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性分別求得在0＜α＜2π，滿足已知條件α的范圍，最后去交集即可．【解答】解：∵0＜α＜2π，sinα＜，∴0＜α＜或＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cosα＞，∴0＜α＜，或＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜或＜α＜2π，故選：D．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性．解題可結(jié)合正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，可能更直觀．15．（4分）設(shè)tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的兩個根，則p、q之間的關(guān)系是（）A．p+q+1＝0 B．p﹣q+1＝0 C．p+q﹣1＝0 D．p﹣q﹣1＝0【分析】因為tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的兩個根，則根據(jù)一元二次方程的根的分布與系數(shù)關(guān)系得到相加等于﹣p，相乘等于q，再根據(jù)兩角差的正切公式找出之間的關(guān)系即可．【解答】解：因為tanθ和tan（﹣θ）是方程x2+px+q＝0的兩個根，得tanθ+tan（﹣θ）＝﹣p，tanθtan（）＝q又因為1＝tan[θ+（﹣θ）]＝＝，得到p﹣q+1＝0故選：B．【點評】考查學(xué)生運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)的能力，以及利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)關(guān)系的能力．三、解答題（本題共有5題，共48分，依題序分值為8，8，10，10，12．解答下列各題需寫出必要的解題步驟）16．（8分）已知sinα＝﹣，求cosα、tanα的值．【分析】由sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosα、tanα的值．【解答】解：∵sinα＝﹣，sin2α+cos2α＝1，∴cosα＝±＝±，當(dāng)cosα＝時，tanα＝﹣；當(dāng)cosα＝﹣時，tanα＝．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．17．（8分）在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）．【分析】運(yùn)用正弦定理，可得B，進(jìn)一步求得C，再由余弦定理可得c．【解答】解：在△ABC中，由a＝20，b＝28，A＝40°，根據(jù)正弦定理，得，∴sinB＝≈0.8999，∵0°＜B＜180°，∴B≈64°，或B≈116°．當(dāng)B＝64°時，C＝180°﹣40°﹣64°＝76°，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝202+282﹣2×20×28×cos76°，解得：c≈30（cm）；當(dāng)B＝116°時，C＝180°﹣40°﹣116°＝24°，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝202+282﹣2×20×28×cos24°，解得：c≈13（cm）．【點評】本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查內(nèi)角和定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（10分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知，求證：A＝．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】證明：因為，所以，，即，得，∴，得，因為sinB、sinC≠0，所以，所以．【點評】本題主要考查三角函數(shù)式