高中數學競賽模擬試卷A及答案

PAGEPAGE10高中數學競賽試卷高中數學競賽試卷A及答案1、本試卷共三大題16個小題，全卷滿分1502、用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答。3、解題書寫不要超出裝訂線。4、不能使用計算器。一、選擇題（6636選項中，只有一項是符合題目要求的）33記[x]為不大于x的最大整數設有集合A|x2[x]{x||x，則AB ( )33A．(－2，2) B．[－2，2] C．{

,D．{1111

,1}2．若f2x52x4357x542006，則f

= ( )2 A．－1 B．1 C．2005 D．2007四邊形的各頂點位于一個邊長為1的正方形各邊上若四條邊長的平方和為則t的取值區(qū)間是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]如圖，在正方體ABCD－ABCD中，P為棱AB上一點，過點P

1 1 1 在空間作直線，使l在空間作直線，使

l與平面 D C11ABCD和平面ABC1D1均成30角，則這樣的直 A11線條數是 ( ) 1A．1 B． 2C．3 D． 42A2等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4 ，一個B1DPCBB1DPCB橢圓經過A，B兩點，則該橢圓的標準方程是（焦點在x軸上）( )664 2

y

1 B． x

y2 14 264 234 24 264 234 264 2C．x2 4 264 234 24 264 234 264 2（注：原卷中答案A、D是一樣的，這里做了改動）將正方形的每條邊8等分，再取分點為頂點（不包括正方形的頂點，可以到不同的三角形個數為 ( )A．1372 B．2024 C．3136 D．4495二、填空題（6636）等差數列

}的前m項和為90，前2m項和為360，則前4m項和.n x3sinx2a08．已知x,y[ ,]，aR，且4 4 4y

1sin2ya2

，則cosx2y的值為 .306只椅子排成一圈，有n個人坐在椅子上，使得再有一個人坐入時，總與來的n個人中的一個坐在相鄰的椅子上，則n的最小值.306在ABC中，AB=

，AC=

，BC= 15DAD平分S mBC并且ADB是直角比值ADB能寫成 的形式這里n是互質的正整數，則m－n=

S nABC.

BCD

是棱長為1的正方體，則上底面ABCD的內切圓上的1 1 1 1點P與過頂點A，B，C，D1 1

的圓上的點Q之間的最小距離.一項“過關游戲”的規(guī)則規(guī)定：在第n關要拋一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數之和大于2n，則算過關。則連過前3關的概率.三、解答題（478分要求解答要有必要的過程13（本小題滿分16分）是否存在最小的正整數t，使得不等式ntn1n3nntt對任何正整數n恒成立，證明你的結論。14（本小題滿分18分）設為正數，求數 f,y,z

12x 3y4x 4y3z 2zxyz15（本小題滿分22分）設ABxa2

yb

1 b0xa2

yb

1的公共的左、右頂點P、Q為雙曲線和圓上不同于 A、B的動點，且滿足APBPAQBQ R,1。設直線APBPAQBQ的斜率分別為k、k、k、k.1 2 3 4(1)求證：k+k+k+k=0；1 2 3 4(2) 設FF1 2

PF2

//QF，求1k2k1 2

k3

k2416（本小題滿分22分）、1將m位性別相同的客人，按如下方法入住A 、1212

n共n個房間。首n1先，安排1位客人和余下的客人的入住房間17

；然后，從余下的客人中安排21位和再次余下的客人 的入住房間7

2；依此類推，第幾號房間就安排幾位客人1和余下的客人7

正好安排最后余下的n位客人。n試求客人的數目和客房的數目，以及每間客房入住客人的數目。n2006年湖南省高中數學競賽試題參考答案及評分標準說明：1．評閱試卷時，請依據本評分標準．選擇題和填空題嚴格按標準給分，不設中間檔次分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準適當檔次評分．一、選擇題(本大題共6個小題。每小題6分，滿分36分．)(注：選擇題有些解答是不同于標準答案的簡單一點的解法，供參考)1．選C 解：由于x=0A，排除答案AC，又x=－1滿足題意，故選C;11111112．選B 解：令t ，則2t22t550，故323f(t)[2t

2t

t

2006

20061，故選B;選B 解：當四邊形頂點與正方形頂點重合時知t=4，排除A、C，又取邊中點時可得t=2，排除D，故選B;選B 解：由于二面角C－AB－D的平面角為450，所以在這個二面角及1它的對頂二面角內，不存在過點PABCDABCD角1 l的直線．轉而考慮它的補二面角，易知過點P有且僅有兩條直線與面ABCD和面ABCDl l

均成300角．故滿足條件的直線l有2條，選B;2選A 解：因為BC=4 ，設橢圓的另一個焦點為D．以DC為x軸，中點2xa2

yb

1(a>b>0)，22所以|AD|+|BD|+|AC|+|BC|=4a．2222

=4a，a=2+

．|AD|=2a－|AC|=2 ．2在直角三角形ADC|CD|281624c26b2a2c24264 264 2

y

1為所求，選A；4 2選C 解法一：首先注意到三角形的三個頂點不在正方形的同一邊上．4 2任選正方形的三邊，使三個頂點分別在其上，有4種方法；再在選出的三條邊上各選一點，有73種方法．這類三角形共有4×73=1372個．則先取一邊使其上有三角形的兩個頂點，有4種方法，再在這條邊上任取兩21種方法，然后在其余的214×21×21=1764個．綜上可知，可得不同三角形的個數為1372+1764=3136．解法二：328

4331367(6636橫線上．)7．1440 解：設S=a+a

，易知S，S －S，S

成等差數列，k 1 2

m

m 3m 2m

=810．又易知S 3m 2m

，S m 3m

，S －S2m 4m

成等差數列，即S 4m

－3S 3m 2m

=2430－1080+90=14401440．mf(t)=t3+sinf(t)在

,]上是單調增加的．由原方程組可,2 2 得f(x)=f(－2y)=2a，又x，－2[,]x=－ 2 2cos(x+2y)=1．故填1．兩人中間恰好有兩只空椅，則n最小．這樣，若對已坐人的椅子編號，不難．從而100=1+3(n－1)，解得n=34．填34;57x57解設BC中點為2由中線公式得AE= 2 由勾股定理，得120－15+57=2 57x

mAD

2765．3232

2 57n 2AE 382 5732322

O

2，OP= 2，則3232由三角不等式PQ≥OQ－OP=

．等號當且僅當三點O、P、Q共線時PABOPABCD的外接圓的1 13232交點為Q時滿足要.故填 2 ;10012．

243

解：由于骰子是均勻正方體，所以拋擲后各點數出現的可能性是相等的設事件A “第n次過關失敗則對立事件B 為“第n次過關成”n n第n次游戲中，基本事件總數為6n1Al

所含基本事件數為2(即出現點數1和2兩種情況)．所以過此關的概率為P(B

)=1－P(A

)=122；1 1 6 3第2關：事件A2

所含基本事件數為方程x+y=a當a分別取2、3、4時的6

)=1－P(A

)=16 ；52 2 62 653A所含基本事件數為方程x+y+z=aa346、37、8時的正整數解組數之和，即56個．所以過此關概率為P(B

)=1－3P(A

)=15620；3 63 27100 100故連過三關的概率為P(B1)×P(B2)×P(B3)=243.故填243。47813．解：?。╰，n）=(1，1)，(2，2)，(3，3)，容易驗證知t=1，2，3時均不符合要求． (4分)當t=4時，若n=l，式①顯然成立．n≥2，則44nnn

nn22n22n2323 (8分)22n223

n28n14n4≤[ n4

]n4

n4

…(12分) n28n16n4 < n

n

n4 故式成立。因此t=4滿足對任何正整數式恒成立。 (16分)解：在取定y的情況下，12x3y4x 8x26y4x3y 3y 8x 6y4 (4分)2224y≥2 6y4 6y2 ．24y3y8其中等號當且僅當x 時成立． (8分3y82z 1 4y 2z 1 4y同樣， 6z 8y3z z

8y 3 (12分)2y32其中等號當且僅當z=2y32

時成立．所以6y22 8y3212x3y4x4y6y22 8y32xyz y3 2 2348y482 33= 7 2 48y482 33

7 2)2194112 ．y y 1其中第二個不等式中等號當且僅當y=2號時成立． (16分)3331333故當x= 423等時取得最小值194+112 )設PQ兩點的坐標分別為P(x，y)，Q(x，y)，則1 1 2 2y y 2xy 2b2 xk+k

= 1 1 1 1

(4分)1 2 x1

a x1

a 2b2 x

2a1

a2 y1同理可得意k+k

= 2

② (7分)3 4 a2 y2 設O為原點，則2OPAPBPAQBQ2OQ，所以OPOQ，O，P，Q三點共線，于是得xyx1

2．xyx2由①②得k+k+k+k=0； (11分)l 2 3 4x2 y2(2)由點Q在橢圓上，有 2 2 =1．a2 b2由OPOQ，得(x，y)=(x，y)．l 1 2 21 1 x2 y2所以x

=

，y=

，從而

=2 ③2

2

a2 b2x2 y2又由點P在雙曲線上，有1 1 =1 ④x1

a2 b221 a2,y22 1

21 b2(15分)2因為PF，所以|OF|=

|，所以2 1 2 1a2b2 x2 1a2 a411

a2b2,y21

1b2

(18分)b4由①得由①得

4b4x24

42 1 21 2 2 1 21y y b2 b2kk= 1 1 ．類似地，kk= ．l2 x1

a x1

a a2

34 a2故k1

k2

k3

k4

k1

k23

k22(kk4 l2

k)=8?(22分)34解設安排完第k號客房A 后還剩下a 位客人則a=n…(4分)k k 0 n－1a k因為第k號客房A

入住的客人數為kk1 ，k 7所以a

ak1

a k k17

，即ak

67

k1

k (8分)變形得ak

6k36

67

k1

36．6這表明數列b=a+6k－36是等比數列，公比q= ，k k 7其中b=a－36=m－36，b =a +6(n－1)－36=7n一42．……(12分)0 0 n－l n－l7n42=7n6

6n1，7，即m36