應(yīng)力應(yīng)變及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

§10應(yīng)力應(yīng)變分析及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§10.1應(yīng)力的概念一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)1.內(nèi)力在變形體內(nèi)某一截面上分布的描述TM用截面法求某一截面上的內(nèi)力，得出該截面上的內(nèi)力分量：——截面分布內(nèi)力系向截面形心簡(jiǎn)化后的等效力系為正確描述變形，應(yīng)在該截面上的每一點(diǎn)，描述內(nèi)力的狀況。xyzAA在P點(diǎn)取面元A，A上分布內(nèi)力合力為在m-m截面上P點(diǎn)處定義：m-m截面上P點(diǎn)的正應(yīng)力m-m截面上P點(diǎn)的切應(yīng)力（剪應(yīng)力）m-m截面上P點(diǎn)的全應(yīng)力應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m21Mpa=106Pa1Gpa=103Mpa=109Pa2.變形體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)——應(yīng)力張量的概念正應(yīng)力、切應(yīng)力（或全應(yīng)力）——均與過(guò)物體內(nèi)部的某一點(diǎn)的一個(gè)截面有關(guān)過(guò)物體內(nèi)部某點(diǎn)p的所有截面上的應(yīng)力分量的總體，稱為變形體在該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述變形體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)用二階張量描述§10.2應(yīng)力張量的表示方法（分量表示法）1.單元體的概念變形體內(nèi)某點(diǎn)處取出的邊長(zhǎng)無(wú)限小的體積微元在直角坐標(biāo)系下，單元體為無(wú)限小正六面體xyzxyz單元體的三對(duì)表面：正面：外法向與坐標(biāo)軸同向負(fù)面：外法向與坐標(biāo)軸反向單元體是變形體的最基本模型2.應(yīng)力張量的表示方法單元體每個(gè)表面上，都有該點(diǎn)在該截面上的應(yīng)力矢量（全應(yīng)力），可分解為三個(gè)分量每對(duì)表面上的應(yīng)力矢量互為反作用力，共9個(gè)分量xyzxyz各應(yīng)力分量的記法該分量的指向所在面的法向兩腳標(biāo)相同——正應(yīng)力兩腳標(biāo)不同——切應(yīng)力故應(yīng)力張量的分量表示為：或或若記x=1,y=2,z=3,則3.單元體的平衡條件xyzxCyCzC以單元體為分離體,過(guò)其形心C作xC,yC,zC軸：切應(yīng)力互等定理故應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量9個(gè)分量中，只有6個(gè)獨(dú)立分量！§10.3平面應(yīng)力狀態(tài)分析若某點(diǎn)的單元體應(yīng)力狀態(tài)滿足：9個(gè)應(yīng)力分量有些為零，不為零的應(yīng)力分量作用線都在同一平面內(nèi)——稱為平面應(yīng)力狀態(tài)或二向應(yīng)力狀態(tài)xyz可簡(jiǎn)化為平面單元體：xy例如當(dāng)物體的表面不受力時(shí)在表面取出的單元體例如外力作用在板平面內(nèi)的薄板內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體1.平面應(yīng)力狀態(tài)的工程表示方法xy正應(yīng)力，以拉為正切應(yīng)力，以使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正應(yīng)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)定：故切應(yīng)力互等定理為：2.平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法若某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)已知，可求出該點(diǎn)任意外法線與為n的斜截面上的應(yīng)力分量。已知：某點(diǎn)單元體上的應(yīng)力分量xyn求該點(diǎn)外法線為n的斜截面——面上的正應(yīng)力,切應(yīng)力。沿斜面將單元體切開取分離體，設(shè)斜面面積為dAnt同理可得：斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)xyn§10.4主平面、主方向、主應(yīng)力、最大切應(yīng)力1.主平面主方向主應(yīng)力在變形體內(nèi)某一點(diǎn)處：若某一方向的斜截面上，則該截面稱為主平面該斜截面的方向角稱為主方向，記為P，則有(10.2)0~2內(nèi)，得兩個(gè)值和，且（10.3）主方向公式即這兩個(gè)主平面相互垂直主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式（10.1）令即（10.3）式同樣有故，主平面上的正應(yīng)力達(dá)到極值即主應(yīng)力分別對(duì)應(yīng)于的極大值和極小值將P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主應(yīng)力為：（10.4)主應(yīng)力公式以主平面為單元體的各面則稱為主單元體xy從變形體內(nèi)任意點(diǎn)取出的單元體稱為原始單元體主單元體的各表面上只有正應(yīng)力，沒有切應(yīng)力對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)，z平面也為一個(gè)主平面，其上的主應(yīng)力為零。故平面應(yīng)力狀態(tài)有三個(gè)主應(yīng)力：按代數(shù)值大小排列為123分別稱為第一主應(yīng)力，第二主應(yīng)力，第三主應(yīng)力，對(duì)任意的一般應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著三個(gè)相互垂直的主平面及三個(gè)主應(yīng)力。一般應(yīng)力狀態(tài)的分類；某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力全不為零——該點(diǎn)為三向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有一個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)有二個(gè)主應(yīng)力為零——該點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)某點(diǎn)處所有截面上的正應(yīng)力，其極大值為1，極小值為3單向、雙向、三向應(yīng)力狀態(tài)2.某點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力由斜面應(yīng)力公式求導(dǎo)(10.2)上式的兩個(gè)解S1，

S2為切應(yīng)力達(dá)到極值的平面S與主平面P相差45o，即P1與P2的角平分線方向?yàn)镾1和

S2的方向。切應(yīng)力的極值為：PS45oxPi注意同理，某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力中，任意二個(gè)主應(yīng)力都可找出一組切應(yīng)力極值，分別為：該點(diǎn)單元體的最大切應(yīng)力應(yīng)為三者當(dāng)中的最大者，即（10.5）主切應(yīng)力所在平面所在平面所在平面而最凱大切翼應(yīng)力損所在行平面基的法哭向應(yīng)撐為1，3兩方繳向的修角平迫分線密方向本。321max思考投題：最大抹切應(yīng)班力所旅在平詠面上副的正優(yōu)應(yīng)力分是多情少？=？已知太初始弱單元枕體的首應(yīng)力介(單儉位：Mp洞a)，佳求主由單元賽體上沾的應(yīng)自力并踐畫出秀主單鑒元體吃。解：xy例勇題艙1§1糾0應(yīng)力資應(yīng)變臉分析窯與應(yīng)揭力應(yīng)廣變關(guān)緒系例題由初始單元體上的應(yīng)力分量代入鎖主應(yīng)誘力公蠅式：故三蔽個(gè)主訴應(yīng)力斷分別鼓為求主方向：例殘題潑1§1努0應(yīng)力掌應(yīng)變宗分析傍與應(yīng)故力應(yīng)批變關(guān)施系例題§1片0.首5地應(yīng)棚力圓一點(diǎn)垮處平哄面應(yīng)幸力狀就態(tài)的經(jīng)圖解榨法。xy由斜警面應(yīng)燭力公怨式可潛得(b)(a)上兩錢式兩鉛邊平趨方后狠相加圓的方程：圓心()圓的半徑：上式在應(yīng)力坐標(biāo)系中為一圓，稱為應(yīng)力圓(莫爾圓)圓心()圓的半徑：R應(yīng)力擠圓的番畫法稅：xy已知某點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)為x面坐標(biāo)Dx（）y面坐標(biāo)Dy（）兩點(diǎn)連線與軸的交點(diǎn)為圓心C以CDx為半堂徑畫爭(zhēng)出應(yīng)夏力圓應(yīng)力磁圓的壟物理興意義柳：圓周炒上任卻意一兼點(diǎn)的疾坐標(biāo)肥值，辯為該腐點(diǎn)某肢一斜荷截面券上的正悉應(yīng)力境和切藏應(yīng)力xy角以砍逆時(shí)列針為離正R2因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周.應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過(guò)角，對(duì)應(yīng)截面上的應(yīng)力Rxy2從應(yīng)鋼力圓災(zāi)上還拒可找抄到：纖主應(yīng)聯(lián)力，距主方笑向，債主切剩應(yīng)力主應(yīng)螞力：主方禍向：方向最大切應(yīng)力：yx單元墻體的洞主應(yīng)雜力、役主方走向、理主切譽(yù)應(yīng)力（2倡）純古剪切嗚（純鳳剪）TT主單元體45o-幾種觀工程肺上常轟見的泳應(yīng)力序狀態(tài)煤的實(shí)籌例：（1迫）單慚向拉薄伸（2畫）單肌向壓敗縮單拉-

單壓某點(diǎn)單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖，確定該點(diǎn)的主應(yīng)力、主方向，畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力，（單位：）例技題迫2§1蠅0應(yīng)力您應(yīng)變狗分析煮與應(yīng)澤力應(yīng)脅變關(guān)乖系例題解：例旺題敢2§1悠0應(yīng)力傘應(yīng)變竊分析瓜與應(yīng)奪力應(yīng)品變關(guān)撐系例題與2對(duì)應(yīng)主應(yīng)力為：與1對(duì)應(yīng)D主單笨元體裁：例衡題傷2§1勁0應(yīng)力想應(yīng)變臺(tái)分析帆與應(yīng)蝕力應(yīng)易變關(guān)之系例題已知應(yīng)力圓如圖，畫出該點(diǎn)的初始單元體及應(yīng)力，主單元體及應(yīng)力。（單位：）解：例腰題季3§1毒0應(yīng)力褲應(yīng)變末分析石與應(yīng)巴力應(yīng)會(huì)變關(guān)尋系例題初始眉單元瀉體xy半徑主單扎元體思：例示題眉3§1莫0應(yīng)力兼應(yīng)變敏分析樣與應(yīng)堡力應(yīng)呀變關(guān)益系例題xy112.5°xzy§1橫1.法5釀三向猜應(yīng)力瞇狀態(tài)將三決個(gè)主煩應(yīng)力泥按代冤數(shù)量哥的大獻(xiàn)小順臺(tái)序排祥列因此拿根據(jù)氣每一令點(diǎn)的杜應(yīng)力介狀態(tài)畫都可愿以找販到3萬(wàn)個(gè)相笛互垂盈直的宮主應(yīng)鹿力和直3個(gè)碑正交翅的主李方向xzy三向席應(yīng)力旨圓空間任意方向截面上的應(yīng)力，可由三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力K求，，，解：在，平面內(nèi)例裕題判4§1洲0應(yīng)力袋應(yīng)變散分析準(zhǔn)與應(yīng)辮力應(yīng)忽變關(guān)獸系例題為一個(gè)主應(yīng)力一點(diǎn)的變形有正應(yīng)變(線應(yīng)變)和切應(yīng)變(剪應(yīng)變)§1余1.鮮6鍋應(yīng)變俗分析1.賭某點(diǎn)賀處（程單元粉體的生）變逼形的雹描述席——初應(yīng)變xyz正應(yīng)判變—姨—線燦段單愉位長(zhǎng)窄度的雹改變口量，衣無(wú)量吐綱切應(yīng)變朗——煙直角休的改竄變量語(yǔ)，單謠位：憂弧度某點(diǎn)宋處的漆應(yīng)變雄——辰二階籍對(duì)稱不應(yīng)變歸張量在，坐標(biāo)下2.巨平面度應(yīng)變五狀態(tài)價(jià)（批與平形面應(yīng)足力狀忠態(tài)對(duì)堂應(yīng)的附）單元蔬體的避相應(yīng)巡壽尺寸盯與應(yīng)網(wǎng)變相績(jī)乘得償單元融體的酬絕對(duì)賴變形壞量xyxyxy在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角令，，與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有某點(diǎn)沙各個(gè)敢方位驢應(yīng)變慘的情頂況稱校為該彈點(diǎn)的袖應(yīng)變另狀態(tài)應(yīng)變分析公式斜面應(yīng)力公式（10.1）(10.2)類似張，也裹可求怨出該蕩點(diǎn)的狗主應(yīng)津變，瞇主應(yīng)鍬變方運(yùn)向應(yīng)變智花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方向是重合的?？捎糜趯?shí)驗(yàn)測(cè)定一點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)120°120°45°45°胡克定律比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比§1供1.喇7至應(yīng)貪力應(yīng)竭變關(guān)趙系1.乖單向托應(yīng)力新狀態(tài)橫向絡(luò)應(yīng)變縱向劇應(yīng)變1在線彈性范圍內(nèi)剪切胡克定律——切變模量

可證明2.醬純剪柄應(yīng)力色狀態(tài)只有作用時(shí)3.跡廣義著胡克禍定律只有作用時(shí)只有作用時(shí)只有作用時(shí)故某臭點(diǎn)為炭任意灣應(yīng)力洽狀態(tài)乘時(shí)應(yīng)天滿足融：對(duì)主惑單元向體已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變：求該點(diǎn)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。例圓題洋5§1火0應(yīng)力漸應(yīng)變?cè)蟹治鲋夼c應(yīng)禁力應(yīng)叉變關(guān)誼系例題解：則例速題蓮5§1秋0應(yīng)力甜應(yīng)變屑分析吵與應(yīng)曠力應(yīng)投變關(guān)堵系例題設(shè)xy整理殃后例冠題碗5§1統(tǒng)0應(yīng)力輸應(yīng)變淘分析瀉與應(yīng)歉力應(yīng)序變關(guān)宿系例題平面當(dāng)應(yīng)力麥狀態(tài)泰下的吃廣義諸胡克怖定律某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為純剪切，在該點(diǎn)測(cè)得與x軸夾角為-45?方