2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題10.4橢圓雙曲線拋物線的定義及其運(yùn)用練習(xí)

22【套路籍】

第講橢雙線物的義其用千里之始于足下一．橢圓的定義1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和等于常數(shù)（大||）的點(diǎn)的軌跡叫做橢．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝|||＋MF＝2a}|F|＝c其中a>0，>0且a，為數(shù)：(1)若>c，則集合P為圓．(2)若＝c，則合為段．(3)若<c，則集合P為集．2.橢圓的焦點(diǎn)三角形問題（）圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓定義和正弦定理、余弦定理．x（）橢圓＋＝（>b>0）上一點(diǎn)（，≠）焦F（0（）為頂點(diǎn)的eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)Fa中，若∠＝θ，則①PF＋||2.②＝|＋PF|－PF||PF|·cos.③

1＝||||·θ，|＝，即P為短端點(diǎn)時(shí)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

取最大值為bc.④焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a＋二．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F，的離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小||）的點(diǎn)的軌跡做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝||||－MF＝，F(xiàn)|＝2c，其中，為數(shù)且>0>0.（）2<|時(shí)，點(diǎn)軌跡是雙曲線；（）2＝F|時(shí)，點(diǎn)軌跡是兩條射線；（）2>|時(shí)，點(diǎn)存在．三拋線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一定直線不經(jīng)點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做物線．點(diǎn)F叫拋物線

，a2，a2的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【修煉路】

為君聊《今日詩(shī)努力請(qǐng)從今始考一橢的義其用【例1】已知F，是圓

xy2

的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．（）點(diǎn)到點(diǎn)F的離等于1，點(diǎn)P到焦F的離__________（）F作線與橢圓交于，兩，則△的長(zhǎng)為__________；（）點(diǎn)在二象限，且＝°求eq\o\ac(△,)的積．（）P是橢圓上一點(diǎn)，、橢圓的焦點(diǎn)，若PF＝°，求eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)的面積．【答案】8

65【解析】（）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：

ab

，故，

，

2由橢圓的定義可||＋＝a，又|PF|＝，所以|4－＝(2)△||BFAFBF|AF|BF2ABF21122AFAF|)BF|BF|)a12（）已知得＝，＝3，以＝a－＝4－3＝，|＝2＝．在△中由余弦定理，得|PF|＝PF||－2|PF|·FF|·cos°即PF＝PF|＋＋2||．①由橢圓定義，得||＋PF|＝，即PF＝－|PF|．②6將②代入①解得||＝．51所以eq\o\ac(△,S)＝|·|FF|·sin120°16333＝××2×＝，2525（）橢圓方程知＝，b＝，c＝，＝，2＝2.在△中|＝PF|＋|－PF·PF|cos°即4＝PF＋PF|－|·|PF|.由橢圓的定義得4＝PF|＋|PF|即＝PF＋PF|＋·PF|.

22②－①，得3||·PF＝12，所|PF|·PF＝，1所以eq\o\ac(△,S)＝|·|PF|sin60°＝

【套路總結(jié)】1.善于利用橢圓的定義進(jìn)行靈活運(yùn)用，看到焦點(diǎn)可以考慮用定義，條件不夠，定義來湊。2.求雙曲線、橢圓中的焦點(diǎn)三角形△PF積的方法12類型一：當(dāng)已知角F或PFFPF1211①根據(jù)雙曲線、橢圓的定義求出|PF－|PF||＝2a|PFPF＝2a；1212②利用余弦定理表示出|PF|、PF、|F之間滿足的關(guān)系式；1212③通過配方，利用整體的思想方法求出PF·|PF的值；121④利用公式eq\o\ac(△,S)PFF＝×PF·|PF∠F求得面積12212121類型二：當(dāng)有一邊垂直于軸時(shí)：利用公式eq\o\ac(△,S)PFF＝×|FF×|y|得面積12212P【舉一反三】1．如圖所示，F(xiàn)為曲線C：

x

=1的焦點(diǎn)，雙曲線C上點(diǎn)PiP7（，2，）關(guān)于軸對(duì)稱，則PF|+|PF|+|PF|﹣|PF|﹣|PF||PF|值是（）A．9B．C．18D．27【答案】【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為F′∵雙曲線C上點(diǎn)P與P（i=1，，）關(guān)于對(duì)稱∴和P，和P，P和P分關(guān)于y軸對(duì)稱∴|FP|=|FP，|FP|=|F′P||FP|=|FP，∵|FP|﹣|PF|=2a=6，P﹣F|=2a=6，|FP||PF|=2a=6，

eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)∴|PF|+|PF|+|P﹣F|﹣|PF||P|F′||PF|（′﹣（|F′|﹣|PF|=182．已知橢圓C：值為

x2y2

的右焦點(diǎn)為F，P(1,3)，點(diǎn)Q橢圓C上動(dòng)點(diǎn)，則PQF周的最大A．

3

B．17C．30D．17+

【答案】【解析】設(shè)橢圓C的左點(diǎn)為F，則PQF的周長(zhǎng)la

/

QPPFPF

/

PF1313,當(dāng)點(diǎn)Q為PF

的長(zhǎng)線與橢圓C的點(diǎn)時(shí)取號(hào)，故選D.考二雙線定及運(yùn)xy【例2】若FF是曲線－＝的兩個(gè)焦點(diǎn)．916(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16求點(diǎn)M到一個(gè)焦點(diǎn)的距離．(2)若點(diǎn)P雙曲線上的一點(diǎn)，且PF＝°，求eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)的積．【答案）或22（）3【解析】(1)設(shè)MF|＝16，根據(jù)雙曲線的定義|||－＝6，即MF|－16＝±6.解得||＝或||＝22.xy(2)由－＝，a＝，＝，＝5.916由定義和余弦定理得PF|－|6，||＝PF|＋PF|－2|PFPF|cos60°，所以10＝(|PF|－PF|)＋|·|PF|，所以PF·PF|＝，11∴＝||·PF|·sin∠PF＝××＝3.222【舉一反三】xy1.如圖，若F，是曲線－＝兩個(gè)焦點(diǎn)．916

||||||||(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16求點(diǎn)M到一個(gè)焦點(diǎn)的距離；(2)若P是雙線左支上的點(diǎn)，且|PF|·＝32，試求eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)PF的積．【答案）或22（）xy【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝，916故3，＝，＝＋＝(1)由雙曲線的定義得|－MF＝＝，又雙曲線上一點(diǎn)M到的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于，假設(shè)點(diǎn)M到另個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，則16－＝6，解得＝或＝22.故點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.(2)將|－|PF|

＝＝6，兩邊平方得|PF＋|PF|－2|·PF|＝36，∴PF＋PF|＝36PF|·PF|＝36＋×32＝||＋|－100－在△F中由余弦定理得∠PF＝＝＝，2|·|PF2|·|PF|11∴∠FPF＝°∴eq\o\ac(△,S)＝|PF|·PF|＝×＝16.222．已知雙曲線

x2yC：2b

b

的左右焦點(diǎn)分別為F長(zhǎng)6線方程為

1yx3

，動(dòng)點(diǎn)M在雙線左支上，點(diǎn)N為

:x

上一點(diǎn)，則MNMF的小值為)A．8B．C．10D．11【答案】【解析】由題意可得2＝，即＝，漸近線方程為

y

1b1x，有3a3

，即b＝，

可得雙曲線方程為

x2

2

焦點(diǎn)為F（-10010，由雙曲線的定義可得|＝2aMF＝6+||，由圓E：

E:

y

可得E（，

6

徑＝，|MN|+||6+||+|，連接EF，交雙曲線于，交圓于N，可得|MN|+|MF|得最小值，且為|EF|=4則則|MN|+|MF|最小值為﹣＝．3設(shè)雙曲線

x

的左右點(diǎn)分別為FF過F直線交雙曲線右支于B兩點(diǎn)則BF的最小值為（）A．16B．C．11D【答案】

【解析】由雙曲線的定義，得

AFAFBF則AF+BFAB22

22

考三拋線定及運(yùn)【例3】（）知拋物線

y

px(0)

上一點(diǎn)M其橫坐標(biāo)為，它到焦點(diǎn)F的離為10，點(diǎn)M的坐標(biāo)為_____________；（）知點(diǎn)P拋物線

x

上，點(diǎn)

(

，是點(diǎn)，則

的最小值為_____________．【答案】（）-8,8）或（）（）6【解析由焦半徑公式可得MF解得4，故y2由點(diǎn)-8，y)在拋物線上，可得y所以的坐標(biāo)為）或-8。0

（）為

(2

，所以點(diǎn)A在物線內(nèi)部．如圖過點(diǎn)P，A分作準(zhǔn)線l的線垂足分別為Q，B，則

PFPQ

，易知當(dāng)AP三共線時(shí)，|

最小，即AB．易點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的離為

4

p2

)【套路結(jié)】1.拋物線中經(jīng)常把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，或者把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，然后根據(jù)平面幾何的有關(guān)知識(shí)求解．2.有關(guān)拋物線上一點(diǎn)P到拋線焦點(diǎn)F與到知點(diǎn)（在拋物線內(nèi)的距離之和的最小值問題要點(diǎn)P到拋線準(zhǔn)線l的離與到點(diǎn)的離之和最小即可．由拋物線的圖形可知，過點(diǎn)M作準(zhǔn)的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)與已知點(diǎn)的離之和最?。忸}時(shí)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線中垂線段最短等．3.解決與拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線距離關(guān)的最值、定值問題時(shí)，首先要注意應(yīng)用拋物線的定義進(jìn)行化，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短；三角形中三邊間的不等關(guān)系；點(diǎn)與線上點(diǎn)的連線中，垂線段最短.【舉一反三】1．已知點(diǎn)是拋物線＝2x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到(2)的距離與到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值．【答案】

172【解析】由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離．由圖可知，當(dāng)P，(0，

1()→→1()→→12)，和拋物線的焦點(diǎn)，0

三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最?。宰钚【嚯xd＝

2

2

17＋（2－）＝.22.已知拋物線y＝的點(diǎn)是，點(diǎn)P拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)(32)|PA|＋|的最小值，并求出取最小值時(shí)的P點(diǎn)坐．7【答案】（2,2）2【解析】如圖，作PNlNl準(zhǔn)，作AB⊥于，則PA|＋PF＝|PA|＋||≥AB|，當(dāng)且僅當(dāng)PAB與物線的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)．∴||＋|此時(shí)，代入拋物線得x2，點(diǎn)標(biāo)為(2，．P

17＝AB|＝＋＝.22【運(yùn)用路】紙上得來終覺絕知事要躬xy→→1.已知、是圓C：＋＝1(a＞＞的兩個(gè)焦點(diǎn)，為圓C上一點(diǎn)，且F⊥若eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)的ab積為9，則b＝________.【答案】【解析】由題意||＋＝a，⊥，∴PF＋PF|＝F|＝c，(||＋||)－2|PF|||4，∴2||||＝a－c＝b.∴PF||PF|＝2b

，11∴eq\o\ac(△,S)＝||||＝×2b＝9.∴b＝3.22

|121|121x2.已知△ABC頂點(diǎn)，在圓＋＝上頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦在BC邊3上，則△的長(zhǎng)是?！敬鸢浮?【解析】由橢圓的定義知|BA||BF＝||＋|CF|＝2，∴周長(zhǎng)為4＝43(是圓的另外一個(gè)焦．3.已知F(8，，(2，3)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF||PF|＝，點(diǎn)軌跡是?！敬鸢浮恳粭l射線【解析】，是點(diǎn)，且FF|＝10所以滿足條件|－PF＝10的點(diǎn)的跡應(yīng)為一條射線．x4.雙曲線－＝的兩焦點(diǎn)分別是F，，雙線上一點(diǎn)到焦F的離是12則點(diǎn)到焦F的259距離是【答案】或22【解析】依題意及雙曲線定義知，|－||

|

＝10，即12－PF|＝±10，∴|PF|2或22。5.過點(diǎn)的線l交橢

x

于A兩點(diǎn)為圓的右焦點(diǎn)ABF的長(zhǎng)最大時(shí)，

的面積為_________．【答案】

10【解析】由題意，橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F(-20（2,0又由橢圓的定義可得

AF2AFBF2BF所以ABF的長(zhǎng)為BFAB2BF)顯然AF

，當(dāng)且僅當(dāng)A、、共時(shí)周長(zhǎng)長(zhǎng)，最大值為2此時(shí)直線的方程為x-2y-2=0，聯(lián)方程組y24

可3

則

y1

44210,y則y-y（+433所以此時(shí)

的面積為

=

6知F是橢

x12

的左焦線l過點(diǎn)F與圓交于點(diǎn)

AB

1的周長(zhǎng)為.【答案】16【解析】橢圓

x12

，可得

a

，根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得：

AF并BFa2又因?yàn)?/p>

BF，以ABF的周長(zhǎng)為：

AB1227．已知橢圓

xy5

的右焦點(diǎn)為F，是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)

A2

，則APF

的周長(zhǎng)最大值等于.【答案】14【解析】如圖所示設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為AF

則

PAPF''的長(zhǎng)為AF'當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)A，P共線時(shí)取等號(hào)．的周長(zhǎng)最大值等于14．8．已知橢圓C：

x4

，點(diǎn)M與C的點(diǎn)不重合。若M關(guān)C焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，段MN的中點(diǎn)在C上則AN為.【答案】12【解析】如圖,設(shè)MN的中為Q,圓的左焦點(diǎn)分別為FF連接

QF、1

,

F1

FQ是MA的點(diǎn)Q是MN的點(diǎn)1是的中位線;

QF

12

同理:

1QFNB2

,QFaANQ在圓上,129.已知E、分為橢圓

x

的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為60線l過點(diǎn)E，與橢圓交于，B兩點(diǎn)，則【答案】20

的周長(zhǎng)為?！窘馕觥繖E圓

x229

，可得a，三角形AFB的周長(zhǎng)

AFBFAB

，

ABAFBF1

，所以周長(zhǎng)

AFBFAFBFa11

。x2y210．已知雙曲線C：0)b2

，，分別的.右焦點(diǎn)，過的線l交C的.右支分別于A，，且【答案】16

AFBF，

.【解析】由雙曲線

x2y2bb

，可得

a

，設(shè)

m1

，由雙曲線的定義可得

AFaa,BFBF

可得

ABAFBFa)a．11知曲線

xy

分是雙曲線的左右焦點(diǎn)在一點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)M點(diǎn)于F點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)是B點(diǎn)線段MN的點(diǎn)在雙曲線上，則NANB.【答案】

【解析】如圖所示，線段MN的點(diǎn)E在雙曲線的左支上，在中，EF是位線，

EF同理，MNB，是中線，

EF

，結(jié)合雙曲線的

2(EF)2同理線段MN中E在曲線的支上，

，NA12．若拋物線＝上的M到點(diǎn)的距離為10則到y(tǒng)的距離是?！敬鸢浮俊窘馕觥繏佄锞€y＝的準(zhǔn)方為：x=-1，x拋物線y＝上的M到點(diǎn)的距離為10可得M

，則M到y(tǒng)軸距離是9．13．已知A(3,2)，點(diǎn)P是物線y上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓(x-2)+y=1上意一點(diǎn)，則的最小值為。A．3B．C．D．6

2222【答案】【解析】拋物線y=8x的點(diǎn)F2,0線l：x=-2圓x-2)+y=1的心為F（2,0徑r=1過點(diǎn)P作PB垂準(zhǔn)l，垂足為B，由拋物線的定義可知

PF,則PAPA+PFPA

當(dāng)P、、三點(diǎn)共線時(shí)

PB

取最小值3+2=5，PAPAPB

即PA有得最小值4。14．設(shè)p是圓

x2y232

上一點(diǎn)，M，分是兩圓）+y=1

(2)

14

上的點(diǎn)，則PMPN的值范圍______【答案】

【解析】首先將P點(diǎn)固定于一處設(shè)兩圓心分別為、1rr且C、為橢圓的焦點(diǎn)則根據(jù)圓外一點(diǎn)到與圓上的點(diǎn)的距離的范圍可得

PMPCPC1

1PC從而得到

33PM22根據(jù)橢圓的定義可知

PC

，

22所以

PMPN

的取值范圍為

27

.15．是雙線【答案】13

xy2

上的一點(diǎn)，，為焦，若PF，．【解析】雙曲線

xy

，其中

abc又由P是雙線上一點(diǎn)，則有

PFPF12

，又由

PF，得PF1

，因?yàn)?/p>

1