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文檔簡(jiǎn)介
河北省邢臺(tái)巿南和一中2023年高三數(shù)學(xué)試題4月月考試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.將一張邊長(zhǎng)為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.2.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.3.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.5.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.117.雙曲線:(,)的一個(gè)焦點(diǎn)為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),則f(x)的最小值為()A. B. C. D.9.函數(shù)(其中,,)的圖象如圖,則此函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.10.在直角中,,,,若,則()A. B. C. D.11.已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦距為8,一條漸近線方程為,則C為()A. B.C. D.12.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在四面體中,分別是的中點(diǎn).則下述結(jié)論:①四面體的體積為;②異面直線所成角的正弦值為;③四面體外接球的表面積為;④若用一個(gè)與直線垂直,且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體,由此得到一個(gè)多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為.其中正確的有_____.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))14.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.15.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,,則的最小值為_(kāi)_______.16.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊,某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響,承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失,現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示,估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為,中位數(shù)為n,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.18.(12分)設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)直線(為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為,若.(1)證明:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)是否存在常數(shù),滿足?并說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于的不等式;(2)若對(duì)任意,都存在,使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知點(diǎn)P在拋物線上,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點(diǎn)),與拋物線C的準(zhǔn)線交于M,N兩點(diǎn),且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為;(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交點(diǎn)分別為,,點(diǎn),求的值.22.(10分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長(zhǎng)為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.2、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.4、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán),輸出,選D.點(diǎn)睛:算法與流程圖的考查,側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念,包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼,其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件,更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律,明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題,是求和還是求項(xiàng).5、B【解析】
由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫(huà)出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫(huà)出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.6、A【解析】
根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.7、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.8、A【解析】
先通過(guò)降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為,再求最值.【詳解】已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2(x),=,=,因?yàn)?,所以f(x)的最小值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.9、B【解析】
由圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出,由周期求出,通過(guò)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),求出,從而得出函數(shù)解析式.【詳解】解:由圖象知,,則,圖中的點(diǎn)應(yīng)對(duì)應(yīng)正弦曲線中的點(diǎn),所以,解得,故函數(shù)表達(dá)式為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì),三角函數(shù)的解析式等基礎(chǔ)知識(shí);考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加減運(yùn)算,運(yùn)用平面向量基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì):向量的平方即為模的平方,化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到所求值.【詳解】在直角中,,,,,
,
若,則故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì),主要是向量的平方即為模的平方,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.11、A【解析】
由題意求得c與的值,結(jié)合隱含條件列式求得a2,b2,則答案可求.【詳解】由題意,2c=8,則c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴雙曲線C的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④.【解析】
補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體,在長(zhǎng)方體中利用割補(bǔ)法求四面體的體積,和外接球的表面積,以及異面直線的夾角,作出截面即可計(jì)算截面面積的最值.【詳解】根據(jù)四面體特征,可以補(bǔ)圖成長(zhǎng)方體設(shè)其邊長(zhǎng)為,,解得補(bǔ)成長(zhǎng),寬,高分別為的長(zhǎng)方體,在長(zhǎng)方體中:①四面體的體積為,故正確②異面直線所成角的正弦值等價(jià)于邊長(zhǎng)為的矩形的對(duì)角線夾角正弦值,可得正弦值為,故錯(cuò);③四面體外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,半徑,其表面積為,故正確;④由于,故截面為平行四邊形,可得,設(shè)異面直線與所成的角為,則,算得,.故正確.故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)幾何體求體積,外接球的表面積,異面直線夾角和截面面積最值,關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)線面位置關(guān)系的處理方法,補(bǔ)圖法作為解決體積和外接球問(wèn)題的常用方法,平常需要積累常見(jiàn)幾何體的補(bǔ)圖方法.14、2【解析】
根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.16、360【解析】
先計(jì)算第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,,面積和超過(guò)0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解,然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,故;而,故.故答案為:360.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征,考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因?yàn)椋?令,,則在單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因?yàn)?,所以在區(qū)間上的值域?yàn)?點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)公式的正確使用.18、(1)證明見(jiàn)解析(0,2);(2)存在,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程,利用OA⊥OB,求出b,即可知直線過(guò)定點(diǎn)(2)由斜率公式分別求出,,聯(lián)立直線與拋物線,橢圓,再由根與系數(shù)的關(guān)系得,,,代入,,化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】(1)證明:由題知,直線l的斜率存在且不過(guò)原點(diǎn),故設(shè)由可得,.,,故所以直線l的方程為故直線l恒過(guò)定點(diǎn).(2)由(1)知設(shè)由可得,,即存在常數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系,直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)分類討論去絕對(duì)值號(hào),然后解不等式即可.(2)因?yàn)閷?duì)任意,都存在,使得不等式成立,等價(jià)于,根據(jù)絕對(duì)值不等式易求,根據(jù)二次函數(shù)易求,然后解不等式即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),由得,,解得;當(dāng)時(shí),恒成立;當(dāng)時(shí),由得,,解得.所以的解集為(2)對(duì)任意,都存在,得成立,等價(jià)于.因?yàn)?,所以,且|,①當(dāng)時(shí),①式等號(hào)成立,即.又因?yàn)?,②?dāng)時(shí),②式等號(hào)成立,即.所以,即即的取值范圍為:.【點(diǎn)睛】知識(shí):考查含兩個(gè)絕對(duì)值號(hào)的不等式的解法;恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題求參變數(shù)的范圍問(wèn)題;能力:分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及運(yùn)算求解能力;中檔題.20、(1)(2)4【解析】
(1)將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo),利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可;(2)設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程,代入拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,以及垂直關(guān)系,得出關(guān)系式,計(jì)算的值即可.【詳解】(1)將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入中,求得,∴P(2,),,點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為,∴,∴,解得,∴,∴拋物線C的方程為:;(2)拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為,;設(shè),直線AB的方程為,代入拋物線方程可得,∴,…①由,可得,又,,∴,∴,即,∴,…②把①代入②得,,則.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.21、(Ⅰ),曲線(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)消去參數(shù)可得直
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