線性、整數規(guī)劃模型

優(yōu)化建模與計算

參考書《優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件》謝金星,薛毅編著,

清華大學出版社,2005年7月第1版./~jxie/lindo內容提要1.優(yōu)化模型的基本概念2.優(yōu)化問題的建模實例3.LINDO/LINGO軟件簡介1.優(yōu)化模型的基本概念

最優(yōu)化是工程技術、經濟管理、科學研究、社會生活中經常遇到的問題,如:優(yōu)化模型和算法的重要意義結構設計資源分配生產計劃運輸方案解決優(yōu)化問題的手段

經驗積累，主觀判斷

作試驗，比優(yōu)劣

建立數學模型，求解最優(yōu)策略最優(yōu)化:在一定條件下，尋求使目標最大(小)的決策

優(yōu)化問題三要素：決策變量；目標函數；約束條件約束條件決策變量優(yōu)化問題的一般形式

無約束優(yōu)化(沒有約束)與約束優(yōu)化(有約束)

可行解（只滿足約束）與最優(yōu)解(取到最優(yōu)值)目標函數局部最優(yōu)解與整體最優(yōu)解

局部最優(yōu)解(LocalOptimalSolution,如x1)

整體最優(yōu)解(GlobalOptimalSolution,如x2)x*f(x)x1x2o優(yōu)化模型的簡單分類

線性規(guī)劃(LP)

目標和約束均為線性函數

非線性規(guī)劃(NLP)

目標或約束中存在非線性函數

二次規(guī)劃(QP)

目標為二次函數、約束為線性

整數規(guī)劃(IP)

決策變量(全部或部分)為整數整數線性規(guī)劃(ILP)，整數非線性規(guī)劃(INLP)

純整數規(guī)劃(PIP),混合整數規(guī)劃(MIP)

一般整數規(guī)劃，0-1（整數）規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化數學規(guī)劃優(yōu)化模型的簡單分類和求解難度優(yōu)化線性規(guī)劃非線性規(guī)劃二次規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化整數規(guī)劃問題求解的難度增加

2.優(yōu)化模型實例目標函數約束條件例2.1線性規(guī)劃模型(LP)模型求解

圖解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5約束條件目標函數

Z=0Z=2400Z=3600z=c(常數)~等值線c在B(20,30)點得到最優(yōu)解目標函數和約束條件是線性函數可行域為直線段圍成的凸多邊形目標函數的等值線為直線最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。求解LP的基本思想思路：從可行域的某一頂點開始，只需在有限多個頂點中一個一個找下去，一定能得到最優(yōu)解。LP的約束和目標函數均為線性函數2維可行域

線段組成的凸多邊形目標函數等值線為直線最優(yōu)解凸多邊形的某個頂點n維超平面組成的凸多面體等值線是超平面凸多面體的某個頂點LP的通常解法是單純形法(G.B.Dantzig,1947)線性規(guī)劃模型的解的幾種情況線性規(guī)劃問題有可行解(Feasible)無可行解（Infeasible）有最優(yōu)解（Optimal）無最優(yōu)解(Unbounded)目標98x1+277x2

－x12

－0.3x1x2

－2x22約束x1+x2

≤100x1

≤2x2x1,x2

≥0二次規(guī)劃模型(QP)若還要求

變量為整數，則是整數二次規(guī)劃模型(IQP)二次規(guī)劃模型(QP)-例1.2決策變量：cij，(xj,yj)~16維非線性規(guī)劃模型(NLP)非線性規(guī)劃模型(NLP)－例1.3：整數規(guī)劃問題一般形式

整數線性規(guī)劃(ILP)

目標和約束均為線性函數整數非線性規(guī)劃(NLP)

目標或約束中存在非線性函數整數規(guī)劃問題的分類

純(全)整數規(guī)劃(PIP)

決策變量均為整數混合整數規(guī)劃(MIP)

決策變量有整數，也有實數0-1規(guī)劃決策變量只取0或1取消整數規(guī)劃中決策變量為整數的限制（松弛），對應的連續(xù)優(yōu)化問題稱為原問題的松弛問題整數規(guī)劃問題對應的松弛問題松弛問題松弛整數規(guī)劃問題最優(yōu)解最優(yōu)解整數非整數整數舍入非最優(yōu)解基本思想：隱式地枚舉一切可行解（“分而治之”）所謂分枝，就是逐次對解空間（可行域）進行劃分；而所謂定界，是指對于每個分枝（或稱子域），要計算原問題的最優(yōu)解的下界（對極小化問題）.這些下界用來在求解過程中判定是否需要對目前的分枝進一步劃分，也就是盡可能去掉一些明顯的非最優(yōu)點，避免完全枚舉.分枝定界法（B&B:BranchandBound）整數線性規(guī)劃的分枝定界算法無約束優(yōu)化更多的優(yōu)化問題線性規(guī)劃非線性規(guī)劃網絡優(yōu)化組合優(yōu)化整數規(guī)劃不確定規(guī)劃多目標規(guī)劃目標規(guī)劃動態(tài)規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化從其他角度分類

應用廣泛：生產和運作管理、經濟與金融、圖論和網絡優(yōu)化、目標規(guī)劃問題、對策論、排隊論、存儲論，以及更加綜合、更加復雜的決策問題等實際問題規(guī)模往往較大，用軟件求解比較方便3.LINDO/LINGO軟件簡介常用優(yōu)化軟件1.LINDO/LINGO軟件2.MATLAB優(yōu)化工具箱/Mathematic的優(yōu)化功能3.SAS(統(tǒng)計分析)軟件的優(yōu)化功能4.EXCEL軟件的優(yōu)化功能5.其他（如CPLEX等）MATLAB優(yōu)化工具箱能求解的優(yōu)化模型優(yōu)化工具箱3.0(MATLAB7.0R14)連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化無約束優(yōu)化非線性極小fminunc非光滑(不可微)優(yōu)化fminsearch非線性方程(組)fzerofsolve全局優(yōu)化暫缺非線性最小二乘lsqnonlinlsqcurvefit線性規(guī)劃linprog純0-1規(guī)劃bintprog一般IP(暫缺)非線性規(guī)劃fminconfminimaxfgoalattainfseminf上下界約束fminbndfminconlsqnonlinlsqcurvefit約束線性最小二乘lsqnonneglsqlin約束優(yōu)化二次規(guī)劃quadprogLINDO公司軟件產品簡要介紹

美國芝加哥(Chicago)大學的LinusSchrage教授于1980年前后開發(fā),后來成立LINDO系統(tǒng)公司（LINDOSystemsInc.），網址：

LINDO:

LinearINteractiveandDiscreteOptimizer(V6.1)LINDOAPI:LINDOApplicationProgrammingInterface(V4.1)LINGO:LinearINteractiveGeneralOptimizer(V10.0)What’sBest!:(SpreadSheete.g.EXCEL)(V8.0)演示(試用)版、高級版、超級版、工業(yè)版、擴展版…（求解問題規(guī)模和選件不同）LINGO除了能用于求解線性規(guī)劃和二次規(guī)劃外，還可以用于非線性規(guī)劃求解以及一些線性和非線性方程（組）的求解等。LINGO軟件的最大特色在于它允許優(yōu)化模型中的決策變量為整數，而且執(zhí)行速度快。LINGO內置了一種建立最優(yōu)化模型的語言，可以簡便地表達大規(guī)模問題，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析結果。

LINGO可以求解:線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數規(guī)劃、圖論及網絡優(yōu)化和排隊論模型中的最優(yōu)化問題等。LINDO/LINGO軟件能求解的模型優(yōu)化線性規(guī)劃非線性規(guī)劃二次規(guī)劃連續(xù)優(yōu)化整數規(guī)劃LINDOLINGO建模時需要注意的幾個基本問題

1、盡量使用實數優(yōu)化，減少整數約束和整數變量2、盡量使用光滑優(yōu)化，減少非光滑約束的個數如：盡量少使用絕對值、符號函數、多個變量求最大/最小值、四舍五入、取整函數等3、盡量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變量的個數（如x/y<5改為x<5y）4、合理設定變量上下界，盡可能給出變量初始值5、模型中使用的參數數量級要適當(如小于103)需要掌握的幾個重要方面LINGO：

正確閱讀求解報告；掌握集合(SETS)的應用； 正確理解求解狀態(tài)窗口； 學會設置基本的求解選項(OPTIONS)； 掌握與外部文件的基本接口方法§1.2

了解LINGO的菜單新建打開保存打印剪切復制粘貼取消重做查找定位匹配括號求解顯示答案模型圖示選項設置窗口后置關閉所有窗口平鋪窗口在線幫助上下文相關幫助文件菜單編輯菜單LINGO菜單窗口菜單幫助菜單[變量][約束][非零系數][內存使用量][已運行時間][求解器狀態(tài)][擴展求解器狀態(tài)]例1加工奶制品的生產計劃1桶牛奶

3kgA1

12h

8h

4kgA2

或獲利24元/kg獲利16元/kg50桶牛奶時間480h至多加工100kgA1

制訂生產計劃，使每天獲利最大35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?

可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?A1的獲利增加到30元/kg，應否改變生產計劃？每天：問題1桶牛奶3kgA1

12h8h4kgA2

或獲利24元/kg獲利16元/kgx1桶牛奶生產A1

x2桶牛奶生產A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應

勞動時間

加工能力

決策變量

目標函數

每天獲利約束條件非負約束

線性規(guī)劃模型(LP)時間480h至多加工100kgA1

50桶牛奶每天基本模型模型求解

軟件實現

LINGOmodel:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

X120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

20桶牛奶生產A1,30桶生產A2，利潤3360元.LINGO的語法規(guī)定：（1）求目標函數的最大值或最小值分別用MAX=…或MIN=…來表示；（2）每個語句必須以分號“；”結束，每行可以有許多語句，語句可以跨行；（3）變量名稱必須以字母(A~Z)開頭，由字母、數字(0~9)和下劃線所組成，長度不超過32個字符，不區(qū)分大小寫；（4）可以給語句加上標號，例如[OBJ]MAX=200*X1+300*X2；LINGO的語法規(guī)定：（5）以驚嘆號“！”開頭，以分號“；”結束的語句是注釋語句;（6）如果對變量的取值范圍沒有作特殊說明，則默認所有決策變量都非負；（7）乘號“*”必須輸入，不能省略。（8）LINGO模型以語句“MODEL：”開頭，以“END”結束，對于比較簡單的模型，這兩個語句可以省略。模型求解

軟件實現

LINGOmodel:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

X120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

20桶牛奶生產A1,30桶生產A2，利潤3360元.模型求解

reducedcost值表示當該非基變量增加一個單位時（其他非基變量保持不變）目標函數減少的量(對max型問題)

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2也可理解為：為了使該非基變量變成基變量，目標函數中對應系數應增加的量結果解釋

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000

MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000

model:max=72*x1+64*x2;[milk]x1+x2<50;[time]12*x1+8*x2<480;[cpct]3*x1<100;end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40結果解釋

Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.000000MILK0.00000048.00000TIME0.0000002.000000CPCT40.000000.000000最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量影子價格35元可買到1桶牛奶，要買嗎?35<48,應該買！

聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元?2元！原料增加1單位,利潤增長48時間增加1單位,利潤增長2加工能力增長不影響利潤該命令產生當前模型的靈敏度分析報告（需要通過Lingo菜單設置激活）(1)最優(yōu)解保持不變的情況下,目標函數的系數變化范圍;(2)在影子價格和縮減成本系數都不變的前提下,約束條件右邊的常數變化范圍;敏感性分析(“LINGO|Ranges”)注意：靈敏性分析耗費相當多的求解時間，因此當速度很關鍵時,就沒有必要激活它Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.0000010.000006.666667TIME480.000053.3333380.00000CPCT100.0000INFINITY40.00000

最優(yōu)解不變時目標函數系數允許變化范圍敏感性分析

(“LINGO|Ranges”)

x1系數范圍(64,96)

x2系數范圍(48,72)

A1獲利增加到30元/kg，應否改變生產計劃?x1系數由243=72增加為303=90，在允許范圍內不變！(約束條件不變)結果解釋

Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.0000010.000006.666667TIME480.000053.3333380.00000CPCT100.0000INFINITY40.00000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍原料最多增加10時間最多增加5335元可買到1桶牛奶,每天最多買多少?最多買10桶!(目標函數不變)充分條件!奶制品的生產與銷售

由于產品利潤、加工時間等均為常數，可建立線性規(guī)劃模型.

線性規(guī)劃模型的三要素：決策變量、目標函數、約束條件.

用LINGO求解，輸出豐富，利用影子價格和靈敏性分析可對結果做進一步研究.

建模時盡可能利用原始的數據信息，把盡量多的計算留給計算機去做.主要內容整數規(guī)劃方法432023年5月18日整數規(guī)劃的一般模型；整數規(guī)劃解的求解方法；整數規(guī)劃的軟件求解方法；

0-1規(guī)劃的模型與求解方法；整數規(guī)劃的應用案例分析。

如果生產某一類型汽車，則至少要生產80輛，那么最優(yōu)的生產計劃應作何改變？汽車廠生產三種類型的汽車，已知各類型每輛車對鋼材、勞動時間的需求，利潤及工廠每月的現有量.

小型中型大型現有量鋼材（t）1.535600勞動時間（h）28025040060000利潤（萬元）234

制訂月生產計劃，使工廠的利潤最大.引例汽車生產計劃設每月生產小、中、大型汽車的數量分別為x1,x2,x3汽車廠生產計劃模型建立

小型中型大型現有量鋼材1.535600時間28025040060000利潤234線性規(guī)劃模型(LP)模型求解

3）模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數，重新求解.

ObjectiveValue:632.2581VariableValueReducedCost

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237RowSlackorSurplusDualPrice20.0000000.73118330.0000000.003226結果為小數，怎么辦？1）舍去小數：取x1=64，x2=167，算出目標函數值z=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大.2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計算函數值z，通過比較可能得到更優(yōu)的解.

但必須檢驗它們是否滿足約束條件.為什么？IP可用LINGO直接求解整數規(guī)劃(IntegerProgramming,簡記IP)IP的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z=632

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:632.0000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCost

X164.00000-2.000000

X2168.0000-3.000000

X30.000000-4.000000模型求解

IP結果輸出IP模型LINGO求解Model：max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);end其中3個子模型應去掉，然后逐一求解，比較目標函數值，再加上整數約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個LP子模型汽車廠生產計劃

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃.x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z=610LINGO中對0-1變量的限定：@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);方法2：引入0-1變量，化為整數規(guī)劃

M為大的正數,本例可取1000ObjectiveValue:610.0000VariableValueReducedCost

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃.x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前

IP模型LINGO求解Model：max=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;x1<1000*y1;x1>80*y1;%取M=1000x2<1000*y2;x2>80*y2;x2<1000*y2;x2>80*y2;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);%整數約束@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);%0-1變量endmax=2*x1+3*x2+4*x3;1.5*x1+3*x2+5*x3<600;280*x1+250*x2+400*x3<60000;x1*(x1-80)>0;x2*(x2-80)>0;x3*(x3-80)>0;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);方法3：化為非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃（Non-LinearProgramming，簡記NLP）

若生產某類汽車，則至少生產80輛，求生產計劃.x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前.一般地，整數規(guī)劃和非線性規(guī)劃的求解比線性規(guī)劃困難得多，特別是問題規(guī)模較大或者要求得到全局最優(yōu)解時.532023年5月18日2.整數規(guī)劃模型的一般形式

一、整數規(guī)劃的一般模型問題是如何求解整數規(guī)劃問題呢？能否設想先略去決策變量整數約束，即變?yōu)榫€性規(guī)劃問題求解，再對其最優(yōu)解進行取整處理呢？實際上，可借鑒這種思想來解決整數規(guī)劃問題．整數規(guī)劃模型示例542023年5月18日固定資源分配問題問題分析與準備

固定資源分配問題資源B1…Bj…Bm車間A1利潤：r11……………Ai……rij………An…………rnm價格a1…aj…am總量X1…Xj…Xm

目標總利潤各車間、各資源利潤資源分配量決策變量562023年5月18日

固定資源分配問題

3、整數規(guī)劃的LINGO解法二、整數規(guī)劃的求解方法572023年5月18日582023年5月18日

1、0-1整數規(guī)劃的模型三、0-1整數規(guī)劃592023年5月18日

2、指派（或分配）問題三、0-1整數規(guī)劃

在生產管理上，總希望把人員最佳分派，以發(fā)揮其最大工作效率，創(chuàng)造最大的價值。例如：某部門有n項任務，正好需要n個人去完成，由于任務的性質和各人的專長不同，如果分配每個人僅能完成一項任務。如何分派使完成n項任務的總效益為最高（效益量化），這是典型的分配問題。2.指派（或分配）問題602023年5月18日

現在不妨設有4個人，各有能力去完成4項科研任務中的任一項，由于4個人的能力和經驗不同，所需完成各項任務的時間如右表：問如何分配何人去完成何項目使完成4項任務所需總時間最少？612023年5月18日2.指派（或分配）問題622023年5月18日2.指派（或分配）問題632023年5月18日2.指派（或分配）問題642023年5月18日2.指派（或分配）問題指派問題的一般模型：652023年5月18日2.指派（或分配）問題指派問題的一般模型：662023年5月18日

匈牙利算法的基本思想

因為每個指派問題都有一個相應的效益矩陣，通過初等變換修改效益矩陣的行或列，使得在每一行或列中至少有一個零元素，直到在不同行不同列中都至少有一個零元素為止。從而得到與這些零元素相對應的一個完全分配方案，這個方案對原問題而言是一個最優(yōu)的分配方案。3.指派問題的匈牙利算法672023年5月18日

用LINGO求解0-1規(guī)劃模型4、0-1規(guī)劃的LINGO解法如何選拔隊員組成4100m混合泳接力隊?例1混合泳接力隊的選拔5名候選人的百米成績窮舉法：組成接力隊的方案共有5!=120種.甲乙丙丁戊蝶泳仰泳蛙泳自由泳討論:丁的蛙泳成績退步到；戊的自由泳成績進步到,組成接力隊的方案是否應該調整？目標函數若選擇隊員i參加泳姿j的比賽，記xij=1,否則記xij=0

0-1規(guī)劃模型

cij(s)~隊員i第j種泳姿的百米成績約束條件每人最多入選泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每種泳姿有且只有1人模型求解MODEL:sets:person/1..5/;position/1..4/;link(person,position):c,x;endsetsdata:c=66.8,75.6,87,58.6,57.2,66,66.4,53,78,67.8,84.6,59.4,70,74.2,69.6,57.2,67.4,71,83.8,62.4;enddata輸入LINGO求解

min=@sum(link:c*x);@for(person(i):@sum(position(j):x(i,j))<=1;);@for(position(i):@sum(person(j):x(j,i))=1;);@for(link:@bin(x));END模型求解最優(yōu)解：x14=x21=x32=x43=1,其他變量為0;輸入LINGO求解

甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.成績?yōu)?53.2(s)=甲乙丙丁戊蝶泳仰泳蛙泳自由泳丁蛙泳c43

=69.675.2(s)，戊自由泳c54=62.4

57.5(s),方案是否調整？

敏感性分析？新方案:乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP一般沒有與LP相類似的理論，LINGO輸出的敏感性分析結果通常是沒有意義的.c43,c54

的新數據重新輸入模型，用LINGO求解

原分配方案:甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.討論最優(yōu)解：x21=x32=x43=x51=1,成績?yōu)榛旌嫌窘恿﹃牭倪x拔指派(Assignment)問題：有若干項任務,

每項任務必有且只能有一人承擔，每人只能承擔一項，不同人員承擔不同任務的效益(或成本)不同，怎樣分派各項任務使總效益最大(或總成本最小)?

人員數量與任務數量相等

人員數量大于任務數量(本例)

人員數量小于任務數量

?建立0-1規(guī)劃模型是常用方法為了選修課程門數最少，應學習哪些課程？

例

選課策略要求至少選兩門數學課、三門運籌學課和兩門計算機課課號課名學分所屬類別先修課要求1微積分5數學