第十章積分第三節(jié)三重_第1頁
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第三節(jié)三重積分(一)一、問題的提出二、三重積分的概念三、三重積分的計算四、小結(jié)思考題一、問題的提出引言:我們知道，求非均勻平面薄片的質(zhì)量、重心等問題是二維空間的問題，要用二元函數(shù)的積分（二重積分）去解決；類似的，求非均勻空間物體的質(zhì)量、重心等問題是三維空間的問題，要用三元函數(shù)的積分（三重積分）去解決【實例】【解決方法】（1）分割（?）近似視為均勻（2）取近似類似二重積分解決問題的思想,采用“分割,取近似,求和,取極限”（3）求和（4）取極限m精確值二、三重積分的概念【說明】(1)（2）存在條件（充分性）（3）三重積分有與二重積分相類似的性質(zhì)（7條）（4）三重積分的物理意義（5）三、三重積分的計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分

——將三重積分化為三次積分．以下只限于敘述計算方法1.直角坐標(biāo)下2.柱面坐標(biāo)下3.球面坐標(biāo)下方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(切片法)(“先二后一”)先假設(shè)連續(xù)函數(shù)最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.方法1：投影法【“先一后二”】如圖∥z軸得X—型域【注意】此式稱為先對z、次對y、最后對x的三次積分得計算公式（1）（2）若交點多于兩個，也可像處理二重積分那樣，將Ω分割，化為部分區(qū)域上的三重積分之和.（3）也可把Ω投影到y(tǒng)oz面或zox面上，便可把三重積分化為其它順序的三次積分.（要求平行于x

軸或y

軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與Ω的邊界曲面S相交不多于兩點）.【例1】【解】如圖X—型域作直線穿越Ω內(nèi)部故則【例2】【解】如圖示先一后二【方法Ⅱ】截面法(切片法)【

“先二后一”】(?)Dz之面積【解】原式(?)Dz之面積橢圓面積公式三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體

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