五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)

五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。課題平均數(shù)問(wèn)題授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使他們完全相等，求得的相等數(shù)就是平均數(shù)，通常把這樣的問(wèn)題叫做平均數(shù)問(wèn)題。解答平均數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及與總數(shù)量相對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”。靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)量關(guān)系式來(lái)解題：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù)教學(xué)內(nèi)容例1五（4）班有學(xué)生41人，在一次英語(yǔ)測(cè)試中有3名同學(xué)因病缺考，平均成績(jī)是80分。后來(lái)這三位同學(xué)補(bǔ)考，成績(jī)分別為100分，96分，85分。這時(shí)全班的平均成績(jī)是多少？分析解答本題必須抓?。?、要求全班的平均成績(jī)，就要知道全班的總分和總?cè)藬?shù)；2、全班的總分由兩部分組成：一部分是先考的41－3=38（人），總分為80×38=3040分，另一部分是補(bǔ)考的3人，總分為100＋96＋85=281分，再把兩部分的總分合起來(lái)才是全班的總分；3、用全班總分÷總?cè)藬?shù)=全班平均分。小結(jié)解答本題的關(guān)鍵在于全班的總分分成了先考的和補(bǔ)考的兩個(gè)部分，要求求出全班的總分，才能求出全班的平均分。例2甲乙兩城相距120千米。一輛汽車(chē)從甲城去乙城時(shí)每小時(shí)行駛60千米，返回時(shí)平均速度是每小時(shí)40千米。求這輛汽車(chē)往返的平均速度。分析按照求平均數(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，求“往”“返”的平均速度，應(yīng)該用“往”與“返”的總路程除以“往”與“返”的總時(shí)間。例3把五個(gè)數(shù)按照從小到大的順序排列，其平均數(shù)是30，前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是28，后三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是35，中間的那個(gè)數(shù)是多少？分析根據(jù)題中已知五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，可以求出五個(gè)數(shù)的總和：30×5=150；已知前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，可以求出前三個(gè)數(shù)的總和：28×3=84；已知后三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，可以求出后三個(gè)數(shù)的總和：35×3=105；前三個(gè)數(shù)的總和加上后三個(gè)數(shù)的總和，中間的那個(gè)數(shù)算了兩次，這樣就比五個(gè)數(shù)的總和多，多出的部分就是所求的中間的那個(gè)數(shù)。例4小明前5次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分是92分，第六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)比六次測(cè)試的平均分高5分，他第六次測(cè)試的成績(jī)是多少？分析他第六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)比六次測(cè)試的平均分高5分，把這5分平均分給前5次，就可先求出六次測(cè)試的平均成績(jī)：92＋5÷5=93分，再用六次測(cè)試的平均分加上第六次測(cè)試多出的5分，就可得出第六次的測(cè)試成績(jī)。例5一次考試中，小花語(yǔ)文得了86分，英語(yǔ)得了90分，現(xiàn)在還要考數(shù)學(xué)，他想爭(zhēng)取三科平均成績(jī)至少為90分，那么他的數(shù)學(xué)至少要得多少分？練習(xí)：五（1）班有學(xué)生40人，期中數(shù)學(xué)測(cè)試，有2名同學(xué)因病缺考，這時(shí)班級(jí)平均成績(jī)是89分。缺考的同學(xué)補(bǔ)考各得99分，這個(gè)班期中測(cè)試平均分是多少？在一次登山活動(dòng)中，山路長(zhǎng)120米，張三上山時(shí)每分鐘走40米，下山時(shí)按原路返回，每分鐘走60米，求張三上山和下山平均每分鐘走多少米？甲、乙、丙三人的平均年齡為22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？某小組加工一批零件，7天中平均每天加工32個(gè)。已知他們前4天平均每天加工34個(gè)，后4天平均每天加工31個(gè)。求：第4天加工零件多少個(gè)？十名參賽者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？一個(gè)技術(shù)工帶5個(gè)普通工人完成了一項(xiàng)任務(wù)，每個(gè)普通工人各得120元，這位技工的收入比他們6人的平均收入還多20元，問(wèn)這位技術(shù)工得多少元？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。課題加法乘法原理授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用列舉法解答一些簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題。但是如果需要列舉的對(duì)象較多時(shí)，就必須先進(jìn)行分析，然后找出一定的規(guī)律，采用計(jì)算的方法解決問(wèn)題。加法原理和乘法原理就是列舉時(shí)采用的兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理。掌握這兩個(gè)原理，可以解決許多計(jì)數(shù)問(wèn)題，而且為學(xué)習(xí)排列組合做好準(zhǔn)備。這節(jié)我們從基本例子入手，說(shuō)明加法原理和乘法原理的實(shí)際運(yùn)用。解題方法：分步用乘法；分類(lèi)用加法。教學(xué)內(nèi)容例1書(shū)架上有15本故事書(shū)，20本科普讀物書(shū)。（1）、小明任意從書(shū)架上取一本書(shū)，有多少種不同的取法？（2）、如果從書(shū)架上取一本故事書(shū)和一本科普書(shū)，共有多少種不同的取法?分析：（1）小明從書(shū)架上取一本故事書(shū)或一本科普書(shū)都是一種不同的取法。因此取故事書(shū)有15中取法，取科普書(shū)有20種取法。所以一共有15+20=35（種）不同的取法。（2）如果把取故事書(shū)當(dāng)作第一步驟，取科普書(shū)為第二步驟。小明取了第一本故事書(shū)后，再取科普書(shū)，可以取20本中的任意一本，所以有20種不同的取法。取出故事書(shū)15本中的任意一本，都可以取20本中的任意一本組成一種不同的取法，因此，一共有15×20=300(種)不同的取法。例2用數(shù)字0、3、2、6、8、9可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？分析：組成一個(gè)三位數(shù)要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，除0以外有5種選法；第二步確定十位數(shù)上的數(shù)字，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，也有6種選法，再根據(jù)乘法原理計(jì)算。例3從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路，從丁地到丙地也有3條路。問(wèn)：從甲地到丙地共有多少種不同的走法？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。例4有A、B、C三個(gè)方格（如圖）?，F(xiàn)在有紅、藍(lán)、黃、綠四種顏料給圖中方格染色，使相鄰方格顏色不同，問(wèn)有多少種不同的染色方法？ABC分析：首先將染色的過(guò)程分為依次給A、B、C染色三步。先給A染色，因?yàn)橛兴姆N顏色，故有四種不同的染色方法；第2步給B染色，因不能與A同色，還剩下3種顏色可選擇，故有三種不同的染色方法；第3步給C染色，因?yàn)椴荒芘cA、B同色，故有2種不同的染色方法。根據(jù)乘法原理計(jì)算。練習(xí)：商店里有6件不同的上衣，5件不同的裙子。媽媽為女兒買(mǎi)上衣一件或裙子一條，有多少種不同的選法？媽媽為女兒買(mǎi)上衣一件和裙子一條，有多少種不同的選法？第一小隊(duì)有9位女同學(xué)和8位男同學(xué)。老師在第一小隊(duì)里選一位同學(xué)擔(dān)任旗手，有多少種不同的選法？老師在第一小隊(duì)里選一位男同學(xué)和一位女同學(xué)擔(dān)任旗手，有多少種不同的選法？有五頂不同的帽子，兩件不同的上衣，三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問(wèn)：有多少種不同裝束？“TMO”是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克縮寫(xiě)，把這3個(gè)字母寫(xiě)成三種不同顏色。現(xiàn)在有五種不同顏色的筆，按上述要求能寫(xiě)出多少種不同顏色搭配的“IMO”？用數(shù)字5、6、7、9可以排成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的（1）兩位數(shù)？(2)三位數(shù)？（3）四位數(shù)？用2、4、5、8、0五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，共可以組成多少個(gè)？從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路，從丁地到丙地有2條路，從丙地到甲地有1條路.問(wèn)：從甲地到丁地有多少種不同的走法？如圖：A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。課題還原問(wèn)題授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理還原問(wèn)題：一個(gè)數(shù)量經(jīng)過(guò)若干次變化成了另一個(gè)結(jié)果從結(jié)果出發(fā)根據(jù)每一次變化情況，一步步地倒著想，把結(jié)果還原成開(kāi)始狀態(tài)的問(wèn)題對(duì)于簡(jiǎn)單的還原問(wèn)題：可直接列式一步步倒著推算對(duì)于變化復(fù)雜的問(wèn)題：可借助列表和畫(huà)圖來(lái)幫忙解決問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容例題1.小剛的奶奶今年年齡減去7后，縮小9倍，再加上2之后，擴(kuò)大10倍，恰好是100歲，小剛的奶奶今年多少歲？分析：這屬于簡(jiǎn)單的還原問(wèn)題，所以可以直接列式一步步倒著推算。例題2.某商場(chǎng)出售洗衣機(jī)，上午出售總數(shù)的一半多10臺(tái)，下午出售剩下的一半多20臺(tái)，還剩95臺(tái)，這個(gè)商場(chǎng)原來(lái)有洗衣機(jī)多少臺(tái)？例題3、小明.小強(qiáng)和小勇三個(gè)人共有故事書(shū)60本。如果小強(qiáng)向小明借3本后，又借給小勇5本，結(jié)果三個(gè)人有的故事書(shū)的本數(shù)正好相等。這三個(gè)人原來(lái)各有故事書(shū)多少本？分析：無(wú)論三個(gè)人怎么借，書(shū)的總數(shù)是不變的，這樣就可以開(kāi)始倒推運(yùn)算了。例題4、甲乙兩桶油各有若干千克，如果要從甲桶中倒出和乙桶同樣多的油放入乙桶，再?gòu)囊彝暗钩龊图淄巴瑯佣嗟挠头湃爰淄?，這時(shí)兩桶油恰好都是36千克，問(wèn)兩桶油原來(lái)各有多少千克？分析：從后往前倒推，即：如果后來(lái)乙桶不倒出和甲桶一樣的油放入甲桶，可得出甲桶內(nèi)應(yīng)有油多少克。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。例題5、兩只猴子拿了26個(gè)桃子，甲猴眼疾手快，搶先得到，乙猴看到甲猴拿到太多，就去搶一半，甲猴不服，又從乙猴那兒搶走了一半，乙猴不肯，甲猴就還給乙猴5個(gè)，這時(shí)乙猴比甲猴多2個(gè)，問(wèn)甲猴最初準(zhǔn)備拿幾個(gè)？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。分析：要根據(jù)已知條件先求出兩只猴子現(xiàn)在各拿了多少個(gè)桃，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。練習(xí)：1、在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)20×□÷8＋16＝262、一個(gè)數(shù)的3倍加上6，再減去9，最后乘以2，結(jié)果是60，就這個(gè)數(shù)。3、小紅問(wèn)王老師今年多大年紀(jì)，王老師說(shuō)：“把我的年紀(jì)加上9，除以4，減去2，再乘上3，恰好是30歲，”問(wèn)王老師今年多少歲？4、糧庫(kù)內(nèi)有一批大米，第一次運(yùn)出總數(shù)的一半多3噸，第二次運(yùn)出剩下的一半多5噸，還剩下4噸，問(wèn)糧庫(kù)原來(lái)有大米多少?lài)崳?、甲乙丙三個(gè)小朋友共有賀年卡90張，如果甲給乙3張后，乙又送給丙5張，那么三個(gè)人的賀年卡張數(shù)剛好相同。問(wèn)甲乙丙三個(gè)小朋友原來(lái)各有賀年卡多少?gòu)垼?、王亮和李強(qiáng)各有畫(huà)片若干張，如果王亮拿出和李強(qiáng)同樣多的畫(huà)片給李強(qiáng)，李強(qiáng)再拿出同樣多的畫(huà)片給王良，這是兩個(gè)人都有24張，問(wèn)王亮和李強(qiáng)原來(lái)各有畫(huà)片多少?gòu)垼?、有甲.乙.丙三個(gè)數(shù)，從甲數(shù)中拿出15加到乙數(shù)，再?gòu)囊覕?shù)中拿出18加到丙數(shù)。最后從丙數(shù)拿出12加到甲數(shù)，這是三個(gè)數(shù)都是180.問(wèn)甲乙丙三個(gè)數(shù)原來(lái)各是多少？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。課題分類(lèi)數(shù)圖形授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理做該類(lèi)型題時(shí)，遵循不重復(fù).不遺漏的原則，就能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確2.分類(lèi)數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到數(shù)圖形的規(guī)則，從而有秩序.有條理并且正確地?cái)?shù)出圖形的個(gè)數(shù)教學(xué)內(nèi)容例1下面圖形中有多少個(gè)正方形？分析：圖中的正方形的個(gè)數(shù)可以分類(lèi)數(shù)例2下圖中共有多少個(gè)三角？分析：為了保證不漏數(shù)而又不重復(fù)，我們可以分類(lèi)來(lái)數(shù)三角形，然后再把數(shù)出的各類(lèi)三角形的個(gè)數(shù)相加數(shù)出下圖中所有三角的個(gè)數(shù)分析：同位置的三角形一起數(shù)，例如：AFG.BGM.CIM.DIJ.JEF是同類(lèi)如下圖，平面上有12個(gè)點(diǎn)，可任意取其中四個(gè)點(diǎn)圍成一個(gè)正方形，這樣的正方形有多少個(gè)？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。分析：把相鄰的兩點(diǎn)連接起來(lái)，即可得到圖形五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個(gè)三角形分析：分類(lèi)數(shù)三角法？練習(xí)：1.下圖共有多少個(gè)正方形2.下圖中共有多少個(gè)正方形，多少個(gè)三角形？3.下面圖中共有多少個(gè)三角4.數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個(gè)三角五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。5、數(shù)出下面圖中分別有多少個(gè)三角五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。6.圖中共有（）個(gè)三角7.圖中共有（）個(gè)三角形五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。課題長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理公式：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4教學(xué)內(nèi)容例題1.一塊長(zhǎng)方形木板，沿著它的長(zhǎng)度不同的兩條邊各截去4厘米，截掉的總面積為192平方厘米?，F(xiàn)在這塊木板的周長(zhǎng)是多少厘米？例題2.求下圖的周長(zhǎng)（單位：厘米）分析：可將圖補(bǔ)充完整，再計(jì)算例題3、如圖的正方形分成甲.乙兩部分，下面哪幾句話正確的？A甲的周長(zhǎng)比乙大B甲乙周長(zhǎng)相等C甲的面積比乙大D甲乙面積相等分析：可以從圖中直接得出甲乙兩圖的大小關(guān)系 五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。例題4、如下圖，陰影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。求最大的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。分析：根據(jù)題意，可分析出最大長(zhǎng)方形的寬就是正方形的邊長(zhǎng)練習(xí)：1、有一個(gè)長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)減少4米，寬減少2米，面積就比原來(lái)減少44平方米，且剩下部分正好是一個(gè)正方形，求這個(gè)正方形的周長(zhǎng)2、有兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形（圖1），長(zhǎng)是8厘米，寬是3厘米，如果按下圖疊放在一起，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少？（圖1）（圖2）（圖3）3、求下列圖形的周長(zhǎng)（圖2）（單位：厘米）4、一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形和兩個(gè)正方形正好拼成下圖長(zhǎng)方形（圖3），求所拼長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。5、有一張長(zhǎng)40厘米，寬30厘米的硬紙板，在四個(gè)角上各剪去一個(gè)同樣大小的正方形后準(zhǔn)備做一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長(zhǎng)6、下圖是邊長(zhǎng)為4厘米的正方形（圖4），求正方形種陰影部分的周長(zhǎng)（圖4）（圖5）7、在一個(gè)長(zhǎng)方形硬紙板的一角任意剪去一個(gè)正方形，剩下的圖形的周長(zhǎng)發(fā)生了怎樣的變化？8、有2個(gè)相同的長(zhǎng)方體（圖5），長(zhǎng)7厘米，寬3厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周長(zhǎng)五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。課題等差數(shù)列（一）授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理若干個(gè)數(shù)排成一列稱(chēng)為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱(chēng)為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱(chēng)為末項(xiàng)，數(shù)列中的個(gè)數(shù)稱(chēng)為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱(chēng)為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱(chēng)為公差。通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)﹣1）×公差；項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)﹣首項(xiàng)）÷公差＋1；求和公式：總和=（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2教學(xué)內(nèi)容例1等差數(shù)列13、15、17、……中，第100項(xiàng)是多少？第145項(xiàng)呢？分析：此題中已知等差數(shù)列中的首項(xiàng)是13，公差是2，求第100項(xiàng)、第145項(xiàng)，直接代入通項(xiàng)公式就可求得。小結(jié)：在已知首項(xiàng)和公差的情況下，根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出這一數(shù)列中的任一項(xiàng)。例2、等差數(shù)列3、5、7、9、……中，301是第幾項(xiàng)？分析：在此題中已知等差數(shù)列首項(xiàng)是3，公差是2，第n項(xiàng)是301，我們只要把這些條件代入通項(xiàng)公式第n項(xiàng)等于第n-1項(xiàng)乘于公差再加上第一項(xiàng)，就可以求出301是第150項(xiàng)了。例3、在10與60之間插入4個(gè)數(shù)，使這樣6個(gè)數(shù)成等差數(shù)列。這四個(gè)數(shù)是多少？分析：要使這6個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，插入的4個(gè)數(shù)必須與10、60形成的數(shù)列有一個(gè)公差，所以解這題的關(guān)鍵是找出這個(gè)公差，再根據(jù)公差寫(xiě)出每個(gè)數(shù)。這樣這個(gè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是10，第六項(xiàng)是60。因此，根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式就可以找出公差。小結(jié)：解這類(lèi)題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，用求項(xiàng)數(shù)公式找出公差，再寫(xiě)出要插入的數(shù)。例4、已知等差數(shù)列的首項(xiàng)是12，第六項(xiàng)是27，求公差？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。例5、消防梯的最高一級(jí)寬是32厘米，最低一級(jí)寬是110厘米，中間還有9級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列。請(qǐng)計(jì)算出中間一級(jí)的寬？分析：從題意中，我們可以發(fā)現(xiàn)要求出當(dāng)中一級(jí)的寬，就必須根據(jù)通項(xiàng)公式求出這個(gè)等差數(shù)列的公差：110等于11減去1乘于公差，再加上第一項(xiàng)32，求出公差是7.8厘米；再根據(jù)公差求出第6項(xiàng)（當(dāng)中一級(jí)）的寬：第6項(xiàng)等于6減去1乘于公差，再加上第一項(xiàng)32，得出第6項(xiàng)等于71厘米。練習(xí)：求等差數(shù)列3、7、11、15、……的第6、9、34項(xiàng)各是多少？求等差數(shù)列2、9、16、……的第20項(xiàng)是多少？等差數(shù)列中，第一項(xiàng)是3，公差是4，那么259是它的第幾項(xiàng)？等差數(shù)列5、9、13、17、……中，501是第幾項(xiàng)？在543、723中間插入一個(gè)數(shù)，使三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這個(gè)數(shù)？在8和40之間插入7個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的公差是多少？在19與91之間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，寫(xiě)出這5個(gè)數(shù)分別是多少？安裝的五個(gè)輪滑的直徑成等差數(shù)列，已知最小的和最大的輪滑直徑分別是120毫米和216毫米，求中間的三個(gè)滑輪的直徑。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。課題巧妙求和（二）授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理某些問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)數(shù)的和，在解決這些問(wèn)題時(shí)，同樣要先判斷是否求某個(gè)等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可以用等差數(shù)列求和公式計(jì)算。在解決自然數(shù)的數(shù)字問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時(shí)可以考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對(duì)，使問(wèn)題得以順利解決。項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)﹣首項(xiàng)）÷公差＋1求和公式：總和=（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2（注意：求和之前要先求出項(xiàng)數(shù)）教學(xué)內(nèi)容例1求等差數(shù)列2、4、6……48、50的和。例2小林讀一本長(zhǎng)篇小說(shuō)，他第一天讀30頁(yè)，從第二天起他每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè)，第11天讀了60頁(yè)，正好讀完，這本書(shū)共有多少頁(yè)？分析根據(jù)“他每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè)”可以知道他每天的讀的頁(yè)數(shù)是按照一定的規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36……57、60。要求這本書(shū)共有多少頁(yè)就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是30，末項(xiàng)是60，項(xiàng)數(shù)是11，因此可以根據(jù)等差數(shù)列的公式求解總和。例3一些同樣粗細(xì)的圓木，像如圖所示均勻的堆放在一起，已知最下面一層有70根，那么一共有多少根圓木？分析根據(jù)圖可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)公差是1的等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是70，要求一共有多少根圓木，其實(shí)就是求這個(gè)等差數(shù)列的和。可以根據(jù)通項(xiàng)公式求解計(jì)算。例430把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？分析開(kāi)第一把鎖時(shí)如果不湊巧，試了29把鑰匙都還不行，那么剩下的一把就一定能把它打開(kāi)，即開(kāi)第一把鎖至多需要29次，同樣的，開(kāi)第二把鎖至多需要試28次，開(kāi)第三把鎖至多需要試27次……等打開(kāi)第29把鎖時(shí)，剩下的一把就不用試了，一定能打開(kāi)。所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，從而將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了等差數(shù)列的求和問(wèn)題。例5某班有51個(gè)同學(xué)，畢業(yè)時(shí)每人都和其他的每個(gè)人握一次手，那么共握了多少次手？分析假設(shè)51個(gè)同學(xué)排成一排，第一個(gè)人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個(gè)人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三個(gè)人握了48次，依此類(lèi)推，第50個(gè)人和剩下的人握了一次手，這樣他們握手的次數(shù)如下：50、49、48、……、2、1。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。例6求1～99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。分析注意首先要求的是99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的數(shù)字之和，而不是求著99個(gè)數(shù)的和。為了能方便求解，我們不妨把0算進(jìn)來(lái)（它不影響我們求數(shù)字之和），計(jì)算0～99這100個(gè)數(shù)字之和，這100個(gè)數(shù)頭尾兩兩配對(duì)后每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之和都相等，都是9＋9=18，一共有100÷2=50對(duì)，所以1～99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和是18×50=900。練習(xí)：1、求和：（1）6＋7＋8＋9＋……＋75；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）求等差數(shù)列：9、11、13、、、、、、205、207的和。2、劉師傅做一批零件，第一天做了20個(gè)，以后每天都比前一天多做2個(gè)，第15天做了48個(gè)，正好做完，這批零件共有多少個(gè)？3、莉莉?qū)W英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)了1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)，莉莉在這些天中學(xué)會(huì)了多少個(gè)單詞？用相同的小立方體擺成如右圖所示的圖形，那么第10層有多少個(gè)小立方體？有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次就能使每把鎖有配上自己的鑰匙，問(wèn)一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？學(xué)校進(jìn)行乒乓球比賽，每個(gè)參賽選手都要和其他所有的參賽選手個(gè)賽一場(chǎng)，如果有21人參加比賽，問(wèn)一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？一次同學(xué)聚會(huì)中，參加的有43位同學(xué)和4位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握手一次手。那么一共握了多少次？求1～199的199個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。求1～999的999個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字之和。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。課題行程問(wèn)題授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理基本概念：把研究路程.速度.時(shí)間這三者之間關(guān)系的問(wèn)題成為行程問(wèn)題基本思路：路程=速度*時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：要理清楚路程.時(shí)間和速度之間的關(guān)系注意事項(xiàng)：1、緊扣基本數(shù)量關(guān)系2、對(duì)具體問(wèn)題要做仔細(xì)的分析，弄清楚出發(fā)點(diǎn).時(shí)間和運(yùn)動(dòng)結(jié)果教學(xué)內(nèi)容例1甲乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米。兩人幾小時(shí)后相遇？分析：出發(fā)時(shí)甲乙兩人相距20千米，以后兩人的距離在每小時(shí)縮短，這也是兩人的速度和。例2王欣和陸亮兩人同時(shí)從相距的2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮每分鐘行90米，如果一只狗與王欣同時(shí)同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即會(huì)偷向王欣跑去，遇到王欣再向陸亮跑去。這樣不斷的來(lái)回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析：求狗行的路程，已知狗的速度，關(guān)鍵算出狗行的時(shí)間五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。例3甲乙兩人在環(huán)形跑道上以各自的不變速度跑步，如果兩人同時(shí)從同地向背而行，乙跑4分鐘后兩人第一次相遇，甲跑一周要6分鐘，乙跑一周要多少分鐘？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。分析：解題關(guān)鍵要思考甲乙兩人時(shí)間關(guān)系例4甲.乙兩人騎車(chē)同時(shí)從東西兩地相向而行，8小時(shí)相遇。如果甲每小時(shí)少行1千米，乙每小時(shí)多行3千米，這樣過(guò)了7小時(shí)就可以相遇。東.西兩地相距多少米？分析：從已知條件中發(fā)掘甲.乙現(xiàn)在的速度和原來(lái)速度的關(guān)系例5甲.乙兩車(chē)同時(shí)從A.B兩地相向而行，在距A地60千米處第一次相遇。各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后立即返回，途中又在距A地40千米處相遇。A.B兩地相距多少千米？分析：首先計(jì)算甲所走的路程，即可得全程練習(xí)：1.甲乙兩艘輪船分別從A.B兩港同時(shí)出發(fā)相向而行，甲船每小時(shí)行駛18千米，乙船每小時(shí)行駛15千米，經(jīng)過(guò)6小時(shí)兩艘輪船途中相遇。兩地間的水路長(zhǎng)多少千米？2.甲乙輛車(chē)分別從相距480千米的A.B兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車(chē)從A城到B城需6小時(shí)，乙車(chē)從B城到A城需12消失，輛車(chē)出發(fā)后多少小時(shí)相遇？3.甲乙兩隊(duì)學(xué)生從相隔18千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。一個(gè)同學(xué)騎自行車(chē)以每小時(shí)15千米的速度在兩隊(duì)不停地往返聯(lián)絡(luò)。甲隊(duì)每小時(shí)行5千米，乙隊(duì)每小時(shí)行4千米，兩隊(duì)相遇時(shí)，騎自行車(chē)的同學(xué)共行了多少千米？4.A.B兩地相距400千米，甲乙兩車(chē)同時(shí)從兩地出發(fā)相對(duì)開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行38千米，乙車(chē)每小時(shí)行42千米，一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車(chē)同時(shí)出發(fā)，向乙車(chē)飛去，遇到乙車(chē)后折回向乙車(chē)飛去，遇到乙車(chē)又折回向甲車(chē)飛去。這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米，兩車(chē)才能相遇?5.小冬和小剛兩人在環(huán)形跑道上以各自不同的不變的速度跑步，如果兩人同時(shí)從同地向背而行，小剛跑6分鐘后兩人第一次相遇，小冬跑一周要8分鐘，小剛跑一周要幾分鐘？6.甲乙輛車(chē)同時(shí)從A.B兩地相對(duì)開(kāi)出，6小時(shí)相遇。甲車(chē)從A地到B地要9消失，乙車(chē)從A地到B地要幾小時(shí)？7.小明和小軍分別從甲.乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。如果按原速度前進(jìn)，則4小時(shí)相遇，如兩人各自比原定速度每小時(shí)多走1千米，則3小時(shí)相遇。甲乙兩地相距多少千米？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。8.客車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，貨車(chē)從乙地開(kāi)往甲地，同時(shí)開(kāi)出，到達(dá)對(duì)方出發(fā)地后立即返回。第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地50千米。甲乙兩地相距多少千米？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。課題消去法解題授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理消去法：在一些比較復(fù)雜的應(yīng)用題中，有的是由兩個(gè)或多個(gè)量的某種關(guān)系構(gòu)成的，解題時(shí)我們可以先把每組的數(shù)量用等式表示，然后進(jìn)行比較，講其中的一個(gè)量先消去，從而把一道數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題來(lái)解答，我們把這樣的思考方法叫作消去法。消去法的實(shí)質(zhì)：根據(jù)等式的兩邊加上、減去、乘以或除以相同的數(shù)，等式仍然成立的道理來(lái)求未知量。教學(xué)內(nèi)容例題1、某賓館第一次買(mǎi)了5個(gè)熱水瓶和20個(gè)茶杯，一共用去165元；第二次又買(mǎi)了同樣的5個(gè)熱水瓶和16個(gè)茶杯，一共用去149元。算一算，熱水瓶和茶杯的單價(jià)分別是多少？分析：我們可以利用數(shù)量關(guān)系式來(lái)比較對(duì)應(yīng)的未知量的情況。第一次：5個(gè)熱水瓶的價(jià)錢(qián)+20個(gè)茶杯的價(jià)錢(qián)=165元第二次：5個(gè)熱水瓶的價(jià)錢(qián)+16個(gè)茶杯的價(jià)錢(qián)=149元比較這兩個(gè)等式可以知道：因?yàn)閮纱钨I(mǎi)熱水瓶的個(gè)數(shù)相等，可以先把5個(gè)熱水瓶的價(jià)錢(qián)消去，那么165與149元正好是四個(gè)茶杯的價(jià)錢(qián)。就可先求出茶杯的單價(jià)，再求出熱水瓶的單價(jià)。小結(jié)：解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要找到其中數(shù)量相等的同類(lèi)事物并將其消去，從而先求出另一個(gè)未知量。例題2、3箱蘋(píng)果和5箱梨一共是86千克；6箱蘋(píng)果和4箱梨一共是112千克。一箱蘋(píng)果和一箱梨各重多少千克？分析：題中的兩個(gè)量蘋(píng)果和梨的數(shù)量都不相同，仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)：將第一個(gè)數(shù)量關(guān)系中的每一項(xiàng)都乘以2，就可以得到6箱蘋(píng)果+10箱梨=172千克，再和第二個(gè)數(shù)量關(guān)系式6箱蘋(píng)果+4箱梨=112千克比較，就可以得到6箱梨的重量，從而算出一箱梨的重量，也就能算出一箱蘋(píng)果的重量。例題3、體育組買(mǎi)了9個(gè)足球和3個(gè)皮球一共要花780元，已知5個(gè)足球比3個(gè)皮球的價(jià)要貴340元。一個(gè)足球多少元？一個(gè)皮球呢？分析：寫(xiě)出題中的數(shù)量關(guān)系式：9個(gè)足球+3個(gè)皮球=780元5個(gè)足球—3個(gè)皮球=340元仔細(xì)觀察：把兩個(gè)關(guān)系式對(duì)應(yīng)著相加，就能得到（9+5）個(gè)足球的價(jià)錢(qián)正好是（780+340）元，從而求出一個(gè)足球的價(jià)錢(qián)和一個(gè)皮球的價(jià)錢(qián)。例題4、買(mǎi)1千克奶糖、2千克水果糖和3千克酥糖，一共要花76元錢(qián)；買(mǎi)這樣的2千克奶糖、4千克的水果糖、5千克酥糖，一共要花136元錢(qián)。而且水果糖的單價(jià)是奶糖的1.25倍。問(wèn)：奶糖、水果糖和酥糖的單價(jià)各是多少？分析：1千克奶糖+2千克水果糖+3千克酥糖=76元2千克奶糖+4千克水果糖+5千克酥糖=136元通過(guò)觀察可知：如果把第一個(gè)關(guān)系式乘以2，就得到2千克奶糖+4千克水果糖+6千克酥糖=152元，再和第二個(gè)關(guān)系式相減，就可以得出1千克酥糖的價(jià)錢(qián)。根據(jù)第一個(gè)關(guān)系式，從76元中去掉3千克酥糖的錢(qián)，就能得到1千克奶糖和2千克水果糖的價(jià)錢(qián)，再根據(jù)“水果糖的單價(jià)是奶糖的1.25倍”這一條件，能求出奶糖和水果糖的單價(jià)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。練習(xí)：1、明明買(mǎi)了4支鉛筆和3塊橡皮，一共付出0.96元；紅紅買(mǎi)了同樣的3塊橡皮和2支鉛筆，一共付出0.66。一支鉛筆和一塊橡皮的價(jià)錢(qián)各是多少元？2、張大爺?shù)谝惶斐塑?chē)2小時(shí)，步行3小時(shí)，共行115千米。第二天乘車(chē)1小時(shí)，步行5小時(shí)，共行75千米。請(qǐng)問(wèn)：張大爺乘車(chē)的速度和步行的速度各是多少？3、一袋黃豆和一袋綠豆共重50千克，買(mǎi)5袋黃豆和3袋綠豆共重210千克。一袋黃豆比一袋綠豆重多少千克？4、食堂若要買(mǎi)5袋大米和3袋面粉，一共要用476元。已知買(mǎi)3袋面粉比買(mǎi)2袋大米要便宜14元錢(qián)。一袋大米多少錢(qián)？5、如果6只羊和3頭牛一天要吃草93千克，5只羊和6頭牛一天要吃草130千克。3只羊一天共吃草多少千克？五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。萊特1+1思維教育輔導(dǎo)講義五年級(jí)奧數(shù)培訓(xùn)教材(上)全文共22頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。課題假設(shè)法解應(yīng)用題授課時(shí)間：授課教師：知識(shí)點(diǎn)梳理“雞兔同籠”問(wèn)題是我國(guó)古代算術(shù)中的典型問(wèn)題。在這道應(yīng)用題中，要求雞和兔兩個(gè)的未知量，通常就是用“假設(shè)法”來(lái)解答。“假設(shè)法”就是在思考時(shí)，可以假設(shè)要求的兩個(gè)或幾個(gè)未知量相等，或者先假設(shè)要求的兩個(gè)未知量是同一種量，然后按照題里的已知條件