多目標(biāo)規(guī)劃方法概論

第六章多目標(biāo)規(guī)劃方法

目前一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)在地理學(xué)研究中，對于許多規(guī)劃問題，常常需要考慮多個(gè)目標(biāo)，如經(jīng)濟(jì)效益目標(biāo)，生態(tài)效益目標(biāo)，社會效益目標(biāo)，等等。為了滿足這類問題研究之需要，本章擬結(jié)合有關(guān)實(shí)例，對多目標(biāo)規(guī)劃方法及其在地理學(xué)研究中的應(yīng)用問題作一些簡單地介紹。目前二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)本章主要內(nèi)容：多目標(biāo)規(guī)劃及其求解技術(shù)簡介目標(biāo)規(guī)劃方法

多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例

目前三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介§6.1多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解

目前四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)一、多目標(biāo)規(guī)劃及其非劣解（一）任何多目標(biāo)規(guī)劃問題，都由兩個(gè)基本部分組成：（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；（2）若干個(gè)約束條件。

（二）對于多目標(biāo)規(guī)劃問題，可以將其數(shù)學(xué)模型一般地描寫為如下形式：

目前五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)（6.1.2）（6.1.1）式中：為決策變量向量。

目前六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)如果將（6.1.1）和（6.1.2）式進(jìn)一步縮寫，即：（6.1.3）

（6.1.4）式中：是k維函數(shù)向量，k是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)；是m維函數(shù)向量；是m維常數(shù)向量；m是約束方程的個(gè)數(shù)。

目前七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)對于線性多目標(biāo)規(guī)劃問題，（6.1.3）和（6.1.4）式可以進(jìn)一步用矩陣表示：

（6.1.5）（6.1.6）式中：為n維決策變量向量；為k×n矩陣，即目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣；為m×n矩陣，即約束方程系數(shù)矩陣；為m維的向量，約束向量。目前八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)二、多目標(biāo)規(guī)劃的非劣解

對于上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復(fù)合選擇：▲每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個(gè)決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標(biāo)規(guī)劃問題的求解不能只追求一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)化（最大或最?。?，而不顧其它目標(biāo)。目前九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)非劣解：可以用圖6.1.1說明。圖6.1.1多目標(biāo)規(guī)劃的劣解與非劣解目前十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)在圖6.1.1中，就方案①和②來說，①的目標(biāo)值比②大，但其目標(biāo)值比②小，因此無法確定這兩個(gè)方案的優(yōu)與劣。在各個(gè)方案之間，顯然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱之為多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構(gòu)成的集合稱為非劣解集。目前十一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)處于沖突狀態(tài)時(shí)，就不會存在使所有目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。

目前十二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)一、效用最優(yōu)化模型二、罰款模型三、約束模型四、目標(biāo)規(guī)劃模型五、目標(biāo)達(dá)到法§6.2多目標(biāo)規(guī)劃求解技術(shù)簡介

為了求得多目標(biāo)規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題去處理。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，有如下幾種建模方法。目前十三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)是與各目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的效用函數(shù)的和函數(shù)。

一、效用最優(yōu)化模型

建摸依據(jù)：規(guī)劃問題的各個(gè)目標(biāo)函數(shù)可以通過一定的方式進(jìn)行求和運(yùn)算。這種方法將一系列的目標(biāo)函數(shù)與效用函數(shù)建立相關(guān)關(guān)系，各目標(biāo)之間通過效用函數(shù)協(xié)調(diào)，使多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的單目標(biāo)規(guī)劃問題：

（6.2.1）

（6.2.2）

目前十四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)在用效用函數(shù)作為規(guī)劃目標(biāo)時(shí)，需要確定一組權(quán)值來反映原問題中各目標(biāo)函數(shù)在總體目標(biāo)中的權(quán)重，即：式中，諸應(yīng)滿足：若采用向量與矩陣

目前十五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)二、罰款模型

規(guī)劃決策者對每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實(shí)際值與期望值之間的偏差來選擇問題的解，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：目前十六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)或?qū)懗删仃囆问剑菏街?，是與第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的權(quán)重；A是由組成的m×m對角矩陣。目前十七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)三、約束模型

理論依據(jù)：若規(guī)劃問題的某一目標(biāo)可以給出一個(gè)可供選擇的范圍，則該目標(biāo)就可以作為約束條件而被排除出目標(biāo)組，進(jìn)入約束條件組中。假如，除第一個(gè)目標(biāo)外，其余目標(biāo)都可以提出一個(gè)可供選擇的范圍，則該多目標(biāo)規(guī)劃問題就可以轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題：

目前十八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)采用矩陣可記為：目前十九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)四、目標(biāo)規(guī)劃模型

也需要預(yù)先確定各個(gè)目標(biāo)的期望值，同時(shí)給每一個(gè)目標(biāo)賦予一個(gè)優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，假定有K個(gè)目標(biāo)，L個(gè)優(yōu)先級，目標(biāo)規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)形式為：

目前二十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)（6.2.18）

（6.2.19）

（6.2.20）

式中：和分別表示與相應(yīng)的、與相比的目標(biāo)超過值和不足值，即正、負(fù)偏差變量；表示第l個(gè)優(yōu)先級；、表示在同一優(yōu)先級中，不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)。

目前二十一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)五、目標(biāo)達(dá)到法首先將多目標(biāo)規(guī)劃模型化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

（6.2.21）

（6.2.22）

目前二十二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)在求解之前，先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化的期望目標(biāo),每一個(gè)目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù)為，再設(shè)為一松弛因子。那么，多目標(biāo)規(guī)劃問題（6.2.21）～（6.2.22）就轉(zhuǎn)化為：

（6.2.25）

（6.2.24）

（6.2.23）

目前二十三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)用目標(biāo)達(dá)到法求解多目標(biāo)規(guī)劃的計(jì)算過程，可以通過調(diào)用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數(shù)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的使用方法，詳見教材的配套光盤。

目前二十四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)§6.3目標(biāo)規(guī)劃方法通過上節(jié)的介紹和討論，我們知道，目標(biāo)規(guī)劃方法是解決多目標(biāo)規(guī)劃問題的重要技術(shù)之一。這一方法是美國學(xué)者查恩斯（A.Charnes）和庫伯（W.W.Cooper）于1961年在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上提出來的。后來，查斯基萊恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人，進(jìn)一步給出了求解目標(biāo)規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。目前二十五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)目標(biāo)規(guī)劃模型

求解目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法本節(jié)主要內(nèi)容：目前二十六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)一、目標(biāo)規(guī)劃模型

給定若干目標(biāo)以及實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標(biāo)值的偏差最小。（一）基本思想：目前二十七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)例1：某一個(gè)企業(yè)利用某種原材料和現(xiàn)有設(shè)備可生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中，甲、乙兩種產(chǎn)品的單價(jià)分別為8元和10元；生產(chǎn)單位甲、乙兩種產(chǎn)品需要消耗的原材料分別為2個(gè)單位和1個(gè)單位，需要占用的設(shè)備分別為1臺時(shí)和2臺時(shí)；原材料擁有量為11個(gè)單位；可利用的設(shè)備總臺時(shí)為10臺時(shí)。試問：如何確定其生產(chǎn)方案？（二）目標(biāo)規(guī)劃的有關(guān)概念目前二十八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)如果決策者所追求的唯一目標(biāo)是使總產(chǎn)值達(dá)到最大，則這個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求，，使

（6.3.1）

而且滿足：

式中：和為決策變量，為目標(biāo)函數(shù)值。將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)后，用單純形方法求解可得最佳決策方案為（萬元）。

目前二十九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)但是，在實(shí)際決策時(shí)，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者必須考慮市場等一系列其它條件，如：①根據(jù)市場信息，甲種產(chǎn)品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不應(yīng)大于乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量。②超過計(jì)劃供應(yīng)的原材料，需用高價(jià)采購，這就會使生產(chǎn)成本增加。③應(yīng)盡可能地充分利用設(shè)備的有效臺時(shí)，但不希望加班。④應(yīng)盡可能達(dá)到并超過計(jì)劃產(chǎn)值指標(biāo)56元。這樣，該企業(yè)生產(chǎn)方案的確定，便成為一個(gè)多目標(biāo)決策問題，這一問題可以運(yùn)用目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。目前三十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)為了建立目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，下面引入有關(guān)概念。

目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念1.偏差變量在目標(biāo)規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負(fù)偏差變量、。其中，正偏差變量表示決策值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。因?yàn)闆Q策值不可能既超過目標(biāo)值同時(shí)又未達(dá)到目標(biāo)值，故有成立。目前三十一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)2、絕對約束和目標(biāo)約束

絕對約束，必須嚴(yán)格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

目標(biāo)約束，目標(biāo)規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項(xiàng)看作是追求的目標(biāo)值，在達(dá)到此目標(biāo)值時(shí)允許發(fā)生正的或負(fù)的偏差，可加入正負(fù)偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)，在給定目標(biāo)值和加入正、負(fù)偏差變量后可以轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束，也可以根據(jù)問題的需要將絕對約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。

目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念目前三十二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念3.優(yōu)先因子（優(yōu)先等級）與權(quán)系數(shù)一個(gè)規(guī)劃問題,常常有若干個(gè)目標(biāo)，決策者對各個(gè)目標(biāo)的考慮,往往是有主次或輕重緩急的。凡要求第一位達(dá)到的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，次位的目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，……，并規(guī)定表示比有更大的優(yōu)先權(quán)。這就是說，首先保證級目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，這時(shí)可以不考慮次級目標(biāo)；而級目標(biāo)是在實(shí)現(xiàn)級目標(biāo)的基礎(chǔ)上考慮的；依此類推。若要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的目標(biāo)的差別，就可以分別賦予它們不同的權(quán)系數(shù)。這些優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)都由決策者按照具體情況而定。

目前三十三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)4.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)（準(zhǔn)則函數(shù)）是按照各目標(biāo)約束的正、負(fù)偏差變量和賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子而構(gòu)造的。當(dāng)每一目標(biāo)確定后，盡可能縮小與目標(biāo)值的偏離。因此，目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)只能是：基本形式有三種：

目標(biāo)規(guī)劃模型的有關(guān)概念（6.3.5）

a)要求恰好達(dá)到目標(biāo)值，就是正、負(fù)偏差變量都要盡可能小,即

（6.3.6）

目前三十四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)b)要求不超過目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，就是正偏差變量要盡可能小，即（6.3.7）

c)要求超過目標(biāo)值，也就是超過量不限，但負(fù)偏差變量要盡可能小，即

（6.3.8）

在實(shí)際問題中，可以根據(jù)決策者的要求，引入正、負(fù)偏差變量和目標(biāo)約束，并給不同目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，建立模型。

目前三十五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)例2：在例1中，如果決策者在原材料供應(yīng)受嚴(yán)格控制的基礎(chǔ)上考慮：首先是甲種產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過乙種產(chǎn)品的產(chǎn)量；其次是充分利用設(shè)備的有限臺時(shí)，不加班；再次是產(chǎn)值不小于56元。并分別賦予這三個(gè)目標(biāo)優(yōu)先因子。試建立該問題的目標(biāo)規(guī)劃模型。目前三十六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)解：根據(jù)題意，這一決策問題的目標(biāo)規(guī)劃模型是（6.3.9）（6.3.10）（6.3.11）（6.3.12）（6.3.13）（6.3.14）目前三十七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)假定有L個(gè)目標(biāo)，K個(gè)優(yōu)先級(K≤L)，n個(gè)變量。在同一優(yōu)先級中不同目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)分別為、，則多目標(biāo)規(guī)劃問題可以表示為：（三）目標(biāo)規(guī)劃模型的一般形式

（6.3.15）（6.3.16）（6.3.17）（6.3.18）（6.3.19）目前三十八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)在以上各式中，、分別為賦予優(yōu)先因子的第個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量的權(quán)系數(shù)，為第個(gè)目標(biāo)的預(yù)期值，為決策變量，、分別為第個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量，（6.3.15）式為目標(biāo)函數(shù)，（6.3.16）式為目標(biāo)約束，（6.3.17）式為絕對約束，（6.3.18）式和（6.3.19）式為非負(fù)約束，、、分別為目標(biāo)約束和絕對約束中決策變量的系數(shù)及約束值。其中，；；；。

目前三十九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)二、求解目標(biāo)規(guī)則的單純形方法

目標(biāo)規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時(shí)作以下規(guī)定：①因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗(yàn)數(shù)為：②因?yàn)榉腔兞康臋z驗(yàn)數(shù)中含有不同等級的優(yōu)先因子，

目前四十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)所以檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)首先決定于的系數(shù)的正、負(fù)，若，則檢驗(yàn)數(shù)的正、負(fù)就決定于的系數(shù)的正、負(fù)，下面可依此類推。據(jù)此，我們可以總結(jié)出求解目標(biāo)規(guī)劃問題的單純形方法的計(jì)算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗(yàn)數(shù)行按優(yōu)先因子個(gè)數(shù)分別排成L行，置。目前四十一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)②檢查該行中是否存在負(fù)數(shù)，且對應(yīng)的前L-1行的系數(shù)是零。若有，取其中最小者對應(yīng)的變量為換入變量，轉(zhuǎn)③。若無負(fù)數(shù)，則轉(zhuǎn)⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當(dāng)存在兩個(gè)和兩個(gè)以上相同的最小比值時(shí)，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進(jìn)行基變換運(yùn)算，建立新的計(jì)算表，返回②。⑤當(dāng)l=L時(shí)，計(jì)算結(jié)束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。目前四十二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)例3：試用單純形法求解例2所描述的目標(biāo)規(guī)劃問題解：首先將這一問題化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：

目前四十三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)①取為初始基變量，列出初始單純形表。表6.3.1目前四十四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)②取，檢查檢驗(yàn)數(shù)的行，因該行無負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，故轉(zhuǎn)⑤。⑤因?yàn)?，置，返回②。②檢查發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)數(shù)行中有，，因?yàn)橛校詾閾Q入變量，轉(zhuǎn)入③。

③按規(guī)則計(jì)算：，所以為換出變量，轉(zhuǎn)入④。④進(jìn)行換基運(yùn)算，得到表6.3.2。以此類推，直至得到最終單純形表為止，如表6.3.3所示。

目前四十五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)表6.3.2目前四十六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)表6.3.3由表6.2.3可知，，，為滿意解。檢查檢驗(yàn)數(shù)行，發(fā)現(xiàn)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為0，這表明該問題存在多重解。目前四十七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)表6.2.4在表6.3.3中，以非基變量為換入變量，為換出變量，經(jīng)迭代得到表6.3.4。

從表6.3.4可以看出，，也是該問題的滿意解。

目前四十八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)一、土地利用問題

二、生產(chǎn)計(jì)劃問題三、投資問題§6.4多目標(biāo)規(guī)劃應(yīng)用實(shí)例

目前四十九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)第5章第1節(jié)中，我們運(yùn)用線性規(guī)劃方法討論了表5.1.4所描述的農(nóng)場作物種植計(jì)劃的問題。但是，由于線性規(guī)劃只有單一的目標(biāo)函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)我們建立的作物種植計(jì)劃模型屬于單目標(biāo)規(guī)劃模型，給出的種植計(jì)劃方案，要么使總產(chǎn)量最大，要么使總產(chǎn)值最大；兩個(gè)目標(biāo)無法兼得。那么，究竟怎樣制定作物種植計(jì)劃，才能兼顧總產(chǎn)量和總產(chǎn)值雙重目標(biāo)呢？下面我們用多目標(biāo)規(guī)劃的思想方法解決這個(gè)問題。

一、土地利用問題目前五十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)取決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產(chǎn)量最大和總產(chǎn)值最大雙重目標(biāo)，那么，目標(biāo)函數(shù)包括：①追求總產(chǎn)量最大②追求總產(chǎn)值最大

（6.4.1）

（6.4.2）

目前五十一頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)根據(jù)題意，約束方程包括：耕地面積約束最低收獲量約束（6.4.3）

（6.4.4）

非負(fù)約束（6.4.5）

對上述多目標(biāo)規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。目前五十二頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)

1.用線性加權(quán)方法

取，重新構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

這樣，就將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃。

目前五十三頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)用單純形方法對該問題求解，可以得到一個(gè)滿意解（非劣解）方案，結(jié)果見表6.4.1。此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的最大取值為6445600。

目前五十四頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)表6.4.1線性加權(quán)目標(biāo)下的非劣解方案（單位：hm2）

目前五十五頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)2.目標(biāo)規(guī)劃方法實(shí)際上，除了線性加權(quán)求和法以外，我們還可以用目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述多目標(biāo)規(guī)劃問題。如果我們對總產(chǎn)量和總產(chǎn)值，分別提出一個(gè)期望目標(biāo)值（kg），（元），并將兩個(gè)目標(biāo)視為相同的優(yōu)先級。

如果、分別表示對應(yīng)第一個(gè)目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，、分別表示對應(yīng)于第二個(gè)目標(biāo)期望值的正、負(fù)偏差變量，而且將每一個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量同等看待（即可將它們的權(quán)系數(shù)都賦為1），那么，該目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)為：

目前五十六頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)對應(yīng)的兩個(gè)目標(biāo)約束為：

（6.4.8）

（6.4.9）即：

目前五十七頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)除了目標(biāo)約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負(fù)約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束（6.4.3）式和最低收獲量約束（6.4.4）式；非負(fù)約束，不但包括決策變量的非負(fù)約束（6.4.5）式，還包括正、負(fù)偏差變量的非負(fù)約束：

解上述目標(biāo)規(guī)劃問題，可以得到一個(gè)非劣解方案，詳見表6.4.2。

目前五十八頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)表6.4.2目標(biāo)規(guī)劃的非劣解方案（單位：hm2）

在此非劣解方案下，兩個(gè)目標(biāo)的正、負(fù)偏差變量分別為，，，。目前五十九頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)

二、生產(chǎn)計(jì)劃問題

某企業(yè)擬生產(chǎn)A和B兩種產(chǎn)品，其生產(chǎn)投資費(fèi)用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產(chǎn)品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產(chǎn)品每月的最大生產(chǎn)能力分別為5t和8t；市場對這兩種產(chǎn)品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產(chǎn)利潤達(dá)到最大?

目前六十頁\總數(shù)六十六頁\編于二十一點(diǎn)該問題是一個(gè)線性多目標(biāo)規(guī)