正方形的性質

18.2.3正方形第十八章平行四邊形第1課時正方形的性質學習目標【學習目標】1.掌握正方形的概念、性質和判定方法,并會運用它們進行有關的論證和計算.2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.【學習重點】正方形的定義、性質及判定方法.【學習難點】正方形的性質與判定定理的靈活運用.做一做：用一張長方形紙片(如圖所示)折出一個正方形,感知正方形與矩形的聯(lián)系？問題：什么樣的四邊形是正方形？解：鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.解：鄰邊相等的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形.生成問題

活動2：

取一張長方形紙片,對折兩次,并沿圖(3)中的斜線剪開,把剪下的這部分展開,平鋪在桌面上.(1)(2)(3)45°（剪出的這個圖形是哪一種四邊形?活動1：把一個長方形紙片如圖那樣折一下.ABCD四邊形ABCD是什么四邊形？新知探究正方形就在身邊情境引入正方形的定義和性質

矩形正方形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢?正方形矩形〃正方形鄰邊相等〃

發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形是正方形

菱形一個角是直角正方形∟

發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形是正方形正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.新知探究矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質,正方形都有.歸納平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關系歸納總結正方形的性質邊角對角線對稱性圖形語言

文字語言

符號語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對邊平行，四條邊都相等

四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC,OB=OD軸對稱圖形中心對稱圖形

例1求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO

是全等的等腰直角三角形.分析:利用正方形的性質,對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角.平分可以產生線段等量關系,垂直可以產生直角,于是可以得到四個全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且

△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO新知探究

如圖,在正方形ABCD中,點E在對角線AC上,那么BE與DE相等嗎?為什么?解:BE=DE.理由如下：連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD

又點E在AC上

∴BE=DEABCDE還可以用其他方法說明，試試看.新知探究例2已知：如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=30°∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°新知探究【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內部時，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯提醒：因為等邊△ADE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內部．

例3如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點，F(xiàn)為BC邊延長線上一點,且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.新知探究(2)延長BE交DE于點M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDCFE1．在正方形ABCD中,∠ADB=

,∠DAC=

,

∠BOC=

.2.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第1題第2題45°隨堂練習3.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF的值為

.5ABCDEPF第3題4.如圖，ABCD是一塊正方形場地.小華和小芳在AB邊上取定了一點E，測量知，EC=30m，EB=10m.這塊場地的面積和對角線分別是多少？解：根據勾股定理：

BC2=EC2-EB2=302–102=800

∴BC=∴這塊場地的面積=

對角線AC=3010隨堂練習DAEBC解：∵△ABE是等邊三角形.∴AB=AE=BE,

∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.

又∵四邊形ABCD是正方形.

∴AD=BC=AE=BE,

∠DAB=∠ABC=90°.∴∠DAE=∠CBE=150°.∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.5.如圖，已知正方形ABCD

,以AB為邊向正方形外作等邊△ABE,連結DE

、

CE

,求∠DEC的度數(shù).隨堂練習6.已知：如圖所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點A，把正方形AEFG繞A點旋轉到如圖所示位置，連結DG、BE.試說明：DG＝B