三角形的內(nèi)切圓

直線與圓的位置關(guān)系本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容2.5——2.5.4

三角形的內(nèi)切圓想在一塊三角形硬紙板上剪下一個(gè)面積最大的圓形紙板，應(yīng)當(dāng)怎樣剪？議一議議一議議一議

如圖，為了使圓形紙板的面積最大，這個(gè)圓應(yīng)當(dāng)與三角形的三條邊都盡可能貼近．這使得我們猜測(cè)：這個(gè)圓應(yīng)當(dāng)與三角形的三條邊都相切.如果存在，那么如何畫出這樣的圓？與三角形的三條邊都相切的圓存在嗎？動(dòng)腦筋如果圓與△ABC的三條邊都相切，那么圓心O到三條邊的距離都等于半徑，從而這些距離相等.我們已經(jīng)知道，到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)一定在這個(gè)角的平分線上，因此圓心O是∠A的與∠B的平分線的交點(diǎn).根據(jù)以上分析，我們可以按下面的方法畫一個(gè)圓與三角形的三邊都相切.如下圖，已知△ABC.求作：與△ABC的各邊都相切的圓.①作∠A，∠B的平分線AD，BE，它們相交于點(diǎn)O；②過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為M；③以點(diǎn)O為圓心，OM為半徑作圓.圓O就是所求作的圓，如圖所示.作法：由以上分析和作法可知，與三角形的三條邊都相切的圓有且只有一個(gè).如圖所示，設(shè)點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，由于AB，BC，CA都與⊙O相切，因此圓心O到AB，BC，CA的距離都等于圓的半徑.從而圓心O在△ABC的每個(gè)內(nèi)角的平分線上.

與三角形各邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫作三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫作圓的外切三角形.結(jié)論由此得出：

三角形的內(nèi)心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn).例6如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠A=70°，求∠BOC的度數(shù).

舉例解∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴BO，CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線，即∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-

（∠ABC+∠ACB）=180°-×110°=125°.1.任畫一個(gè)三角形，求作它的內(nèi)切圓.練習(xí)答：畫一個(gè)三角形，然后分別作其中任意兩個(gè)角的角平分線，其相交于一點(diǎn)O，如圖.O以O(shè)為圓心，以O(shè)D的長(zhǎng)為半徑作圓，則圓O就是所求作的圓.過(guò)點(diǎn)O作一條邊的垂線，垂足為D.D2.如圖，△ABC的內(nèi)切圓的三個(gè)切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∠A

=74°，∠B=47°，求圓心角∠EOF的度數(shù).

解∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴OE⊥BC，OF⊥AC，即∠OEC=∠OFC=90°.又∵∠A=74°，∠B=47°,∴∠C=59°.∴在四邊形OECF

中，∠EOF=360°-90°-90°-59°=121°.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，求它的內(nèi)切圓

的半徑.

解連接OB、OC.O如圖，⊙O是等邊三角形ABC

的內(nèi)切圓.ABC則∠OBC=∠B=30°，∠OCB=∠C=30°.則OD⊥BC，且OD

為內(nèi)切圓的半徑.設(shè)BC邊與⊙O的切點(diǎn)為D，連接OD.D∴OD=tan30°在Rt△OBD與Rt△OCD中，tan30°=，∴BD=DC，即DC即內(nèi)切圓的半徑為.OAB

CD中考試題例

如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F.已知∠B=50°，∠C=60°，連結(jié)OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于（）

A.40°B.55°C.65°D.70°BD解析∵∠B=50°，∠C=60°，∴

∠A=70°.又∵AB、BC、AC切⊙O于點(diǎn)E、D、F，∴∠AEO