高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(附答案解析)

第第頁高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(附答案解析)班級(jí):___________姓名：___________考號(hào)：______________一、單選題1．已知集合，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．給出如下幾個(gè)結(jié)論:①命題“”的否定是“”;②命題“”的否定是“”;③對(duì)于;④，使.其中正確的是（

）A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④4．已知、為正實(shí)數(shù)，a+b=1，則的最小值是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．6．當(dāng)時(shí)冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．C．或 D．7．若與和，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)是定義在上的函數(shù),.若對(duì)任意的,且有,則不等式的解集為A． B． C． D．9．已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，其圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且為奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、填空題13．若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為___.14．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則a的值為________15．已知，則的值為______．三、雙空題四、解答題17．已知冪函數(shù)在上為減函數(shù).(1)試求函數(shù)解析式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫出其單調(diào)區(qū)間.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)討論函數(shù)的零點(diǎn)存在情況；（2）當(dāng)時(shí)證明：當(dāng)時(shí).19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和最大值；（2）討論在上的單調(diào)性.20．已知函數(shù)．求在區(qū)間上的最大值和最小值；若，求的值．21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)試寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)求函數(shù)在上的最大值.22．已知函數(shù).(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.參考答案與解析1．C【詳解】，即則實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選:C.2．C【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)為偶函數(shù)等價(jià)于進(jìn)行判斷.【詳解】時(shí),為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時(shí)對(duì)任意的恒成立，得對(duì)任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題較易，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.3．B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可判斷①，②；利用基本不等式判斷③;結(jié)合三角函數(shù)恒等變換以及性質(zhì)判斷④,可得答案.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題知①不正確命題“”的否定是“或”,故②不正確；因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，③正確；由，比如時(shí)故，使，④正確故選：B4．D【分析】將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由已知條件可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此，的最小值是.故選：D.5．D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性可排除B，C；利用特殊值可判斷A,D,即得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋夜适桥己瘮?shù)，排除選項(xiàng)B，C；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，故排除A故選：D.6．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)既是冪函數(shù)又是的減函數(shù)所以解得：m=2.故選：A.7．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷a,b,c的范圍，即可比較大小，可得答案.【詳解】由函數(shù)為增函數(shù)可知由為增函數(shù)可得，由由為增函數(shù)可得故選:D8．C【解析】因?yàn)榈仁娇苫癁?即,令函數(shù),根據(jù)函數(shù)是上的增函數(shù),即可求得答案.【詳解】不等式可化為即令函數(shù),由可得,結(jié)合函數(shù)是上的增函數(shù)又不等式,即不等式的解集為:.故選:C.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)性質(zhì)解抽象函數(shù)不等式,解題關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù),利用對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解函數(shù)不等式,考查了轉(zhuǎn)化能力和分析能力,屬于中檔題.9．A【分析】用二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，由此得出正確結(jié)論.【詳解】有，得，由于，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.10．C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為，得到，易得.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，可得，再根據(jù)是奇函數(shù)，得到，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為所以其最小正周期為，則.所以.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后可得的圖象又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，令所以.又所以.故.當(dāng)時(shí)，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；在上，單調(diào)遞增，故C正確；在上，單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其圖象變換，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11．A【分析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得所以又由，可得，即解得因?yàn)?，所?故選：A.12．C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分析分段函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，即可確定k的范圍.【詳解】由題意，與圖象有三個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，則∴在上，遞增，在上，遞減∴時(shí)有最大值，且在上，在上.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增∴圖象如下∴由圖知：要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：C.13．【分析】根據(jù)一元二次不等式對(duì)恒成立，可得，即可求得答案.【詳解】對(duì)恒成立，故答案為：14．【解析】分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種分別討論求解方程，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以解得，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，所以解得，滿足.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查解分段函數(shù)的方程，在分段函數(shù)求函數(shù)值的時(shí)候，要把自變量代入到所對(duì)應(yīng)的解析式中是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由已知條件，利用誘導(dǎo)公式化簡即可求解.【詳解】解：因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?16．

【分析】對(duì)求導(dǎo)可得，由正弦函數(shù)的圖象可知成立根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的最大值.【詳解】設(shè)，則則，由于恒成立故有如下性質(zhì).則∴的最大值為故答案為.17．(1)(2)奇函數(shù)，其單調(diào)減區(qū)間為【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，令，求解即可；（2）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而可得其單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意得，，解得或經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上無意義所以，則.（2），要使函數(shù)有意義，則即定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.該冪函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時(shí)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為減函數(shù)函數(shù)是奇函數(shù)，在上也為減函數(shù)故其單調(diào)減區(qū)間為.18．（1）兩個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見解析.【分析】(1)將代入可得，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性并借助零點(diǎn)存在性定理即可求解；(2)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，證明在時(shí)恒成立即可得解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，顯然，即1是的一個(gè)零點(diǎn)求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，且，則在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，從而得在上函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)所以函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；(2)令，，則，由(1)知在上單調(diào)遞增，且在上存在唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增因此，即，則而，有，于是得所以當(dāng)，時(shí).19．（1）最小正周期為，最大值為；（2）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【分析】（1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得的最小正周期和最大值；（2）根據(jù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求得的單調(diào)性.【詳解】（1）則的最小正周期為當(dāng)，即時(shí)取得最大值為；（2）當(dāng)時(shí)則當(dāng)，即時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)即時(shí)為減函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角恒等變換化簡函數(shù).20．（1）；（2）【分析】利用倍角公式降冪，再由輔助角公式化積．由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)最值可求；由已知求得，再由誘導(dǎo)公式及倍角公式求的值．【詳解】解：．,,則，；由,得．．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用,考查型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計(jì)算能力,屬于中檔題．21．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）作出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論，比較在上的函數(shù)值的大小關(guān)系，即可求得答案.（1）當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)，其圖象開口向上，對(duì)稱軸方程為所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，其圖象開口向下，對(duì)稱軸方程為所以在上單調(diào)遞減.綜上可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知，作出大致圖象如圖：易得所以可判斷在上的最大值在中取得.當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又所以，若，則；若，則.綜上可知，在區(qū)間上.22．(1)在上，為增函數(shù)；在上時(shí)為減函數(shù).(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)結(jié)合（1）可得，整理為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)證明結(jié)論.【詳