2021-2022學(xué)年北京市高三(上)統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷(一)

2021-2022學(xué)年北京市101中學(xué)高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（一）一、選擇題共10小題．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）設(shè)集合A＝{y|y＝2x}，，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＞1}D．?2．（5分）數(shù)列{an}滿足a1≠0，an+1＝2an（n≥1），Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝，則n＝（）A．6B．7C．8D．93．（5分）在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．銳角三角形4．（5分）若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）＝8，則f（2010）﹣f（2009）＝（）A．6B．7C．8D．95．（5分）函數(shù)y＝sin（2x﹣）在區(qū)間[﹣，π]的簡圖是（）A．B．C．D．6．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，則f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1＜0”是“S2021＜0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件8．（5分）已知y＝loga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）9．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，則△ABC的面積為（）A．3B．C．D．310．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若對于任意正數(shù)k，關(guān)于x的方程f（x）＝k都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．無數(shù)二、填空題共5小題。11．（5分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an﹣2，則S5﹣S4＝．12．（5分）能夠說明“若a，b，m均為正數(shù)，則”是假命題的一組整數(shù)a，b的值依次為．13．（5分）設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為．14．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn≤﹣3成立的最小的自然n為．15．（5分）一種藥在病人血液中的量保持在1500mg以上時(shí)才有療效，而低于500mg時(shí)病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，藥在病人血液中的量為ymg．（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥的時(shí)間不能超過小時(shí)．（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：0.20.3≈0.6170，0.82.3≈0.5986，0.87.2≈0.2006，0.87.3≈0.1916）三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)ω＝1時(shí)，求的值；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是時(shí)，______．從①②③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面空格處并作答．①求f（x）在區(qū)間上的最小值；②求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；③若f（x）≥0，求x的取值范圍．17．（12分）已知{an}（n∈N*）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝16，2a3+3a2＝32．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝3log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，并求Sn的最大值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求角B的大小；（2）若，D為△ABC外一點(diǎn)，DB＝2，CD＝1，求四邊形ABDC面積的最大值．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1對任意x∈R恒成立，求a的值．21．（15分）已知{an}是無窮數(shù)列，a1＝a，a2＝b，且對于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj（i＜j），在{an}中都存在一項(xiàng)ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai．（Ⅰ）若a＝3，b＝5，求a3；（Ⅱ）若a＝b＝0，求證：數(shù)列{an}中有無窮多項(xiàng)為0；（Ⅲ）若a≠b，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2021-2022學(xué)年北京市101中學(xué)高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（一）參考答案與試題解析一、選擇題共10小題．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）設(shè)集合A＝{y|y＝2x}，，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＞1}D．?【解答】解：集合A＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故選：B．2．（5分）數(shù)列{an}滿足a1≠0，an+1＝2an（n≥1），Sn表示{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝，則n＝（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足a1≠0，an+1＝2an，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比q＝＝2，又由Sn＝，則＝×a1×2，解可得n＝7；故選：B．3．（5分）在△ABC中，若c＝2acosB，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．銳角三角形【解答】解：利用余弦定理：則：c＝2acosB＝解得：a＝b所以：△ABC的形狀為等腰三角形．故選：B．4．（5分）若f（x）是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f（1）＝8，則f（2010）﹣f（2009）＝（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵函數(shù)f（x）是周期為5的周期函數(shù)，∴f（2009）＝f（2010﹣1）＝f（﹣1），f（2010）＝f（0），∵f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（1）＝8，∴f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣8，則f（2010）﹣f（2009）＝f（0）﹣f（﹣1）＝0﹣（﹣8）＝8，故選：C．5．（5分）函數(shù)y＝sin（2x﹣）在區(qū)間[﹣，π]的簡圖是（）A．B．C．D．【解答】解：當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝sin[（2×﹣]＝﹣sin（）＝sin＝＞0，故排除A，D；當(dāng)x＝時(shí)，y＝sin（2×﹣）＝sin0＝0，故排除C；故選：B．6．（5分）設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，則f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由題意得f（﹣x）＝﹣f（x），又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（2+x）＝f（x），又f（﹣）＝，則f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝．故選：C．7．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1＜0”是“S2021＜0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若q＝1，則S2021＝2021a1，則“a1＜0”?“S2021＜0”．若q≠1，則S2021＝a1?，1﹣q與1﹣q2021的符號相同，則“a1＜0”?“S2021＜0”．綜上可得：“a1＜0”?“S2021＜0”．∴“a1＜0”是“S2021＜0”的充要條件．故選：C．8．（5分）已知y＝loga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（0，3）D．[3，+∞）【解答】∵y＝loga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)∴0＜3﹣a≤3﹣ax≤3即a＜3①又∵y＝loga（3﹣ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，且3﹣ax是減函數(shù)∴a＞1②綜上所述：1＜a＜39．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，則△ABC的面積為（）A．3B．C．D．3【解答】解：∵c2＝（a﹣b）2+6，∴c2＝a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2＝2ab﹣6，∵C＝，∴cos＝＝＝，解得ab＝6，則三角形的面積S＝absinC＝＝，故選：C．10．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若對于任意正數(shù)k，關(guān)于x的方程f（x）＝k都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．無數(shù)【解答】解：函數(shù)y＝|x+a|的圖象形狀大致如下，①當(dāng)a＞0時(shí)，要使f（x）＝k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即f（x）的圖象與直線y＝k有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，當(dāng)y＝x2﹣ax+2的對稱軸在x＝a的左邊，且兩段在a處相交時(shí)，可滿足題意，此時(shí)，解得a＝1；②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖，要滿足條件，需在x＝a處相接，且y＝x2﹣ax+2在處的函數(shù)值為0，則，無解；③當(dāng)a＝0時(shí)，，顯然不合題意；綜上，滿足條件的a有1個(gè)．故選：B．二、填空題共5小題。11．（5分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an﹣2，則S5﹣S4＝32．【解答】解：因?yàn)镾n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn＝2an﹣2，①則a1＝2a1﹣2?a1＝2；則Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，②①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1?an＝2an﹣1?數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；故an＝2n；∴S5﹣S4＝25＝32．故答案為：32．12．（5分）能夠說明“若a，b，m均為正數(shù)，則”是假命題的一組整數(shù)a，b的值依次為1，2（答案不唯一）．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)a，b，m均為正數(shù)時(shí)，?ab+am≤ba+bm?am≤bm?a≤b，所以“若a，b，m均為正數(shù)，則”是假命題的一組整數(shù)a，b的值依次為1，2（只要a、b為整數(shù)且a≤b即可）．故答案為：1，2（答案不唯一）．13．（5分）設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為2．【解答】解：若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，可得f（x）的最小值為f（﹣），可得﹣ω+＝2kπ﹣，k∈Z，即有ω＝2﹣6k，k∈Z，由ω＞0，可得ω的最小值為2，此時(shí)k＝0．故答案為：2．14．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn≤﹣3成立的最小的自然n為14．【解答】解：因?yàn)?，所以sn＝a1+a2+a3+…+an＝log+log+log+…+log＝log＝log．∴Sn≤﹣3?log≤﹣3??n≥14．故答案為：14．15．（5分）一種藥在病人血液中的量保持在1500mg以上時(shí)才有療效，而低于500mg時(shí)病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，藥在病人血液中的量為ymg．（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝2500×0.8x，x∈[0，+∞）；（2）要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥的時(shí)間不能超過7.2小時(shí)．（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：0.20.3≈0.6170，0.82.3≈0.5986，0.87.2≈0.2006，0.87.3≈0.1916）【解答】解：（1）由題意可知，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，所以給病人注射了這種藥2500mg，經(jīng)過x小時(shí)后，藥物在病人血液中的量為y＝2500×（1﹣20%）x＝2500×0.8x，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝2500×0.8xx∈[0，+∞）．（2）因?yàn)樗幵诓∪搜褐械牧勘３衷?500mg以上時(shí)才有療效，而低于500mg時(shí)病人就有危險(xiǎn)，所以令2500×0.8x≥500，得0.8x≥0.2，∵0.87.2≈0.2006，0.87.3≈0.1916，∴x≤7.2，故要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥的時(shí)間不能超過7.2小時(shí)．故答案為：y＝2500×0.8xx∈[0，+∞）；7.2．三、解答題共6小題。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)ω＝1時(shí)，求的值；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是時(shí)，______．從①②③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面空格處并作答．①求f（x）在區(qū)間上的最小值；②求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；③若f（x）≥0，求x的取值范圍．【解答】解：（I）ω＝1時(shí)，f（x）＝sinx+cosx，故f（）＝＝2，（II）f（x）＝2sin（ωx+），由函數(shù)f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是得T＝π，ω＝2，故f（x）＝2sin（2x+），選①：由得≤2x+，所以﹣sin（2x+）≤1，所以f（x）在區(qū)間上的最小值﹣；②求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令，得，k∈Z，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[k，k]，k∈Z，③若f（x）≥0，則，k∈Z，解得k，k∈Z，故x的取值范圍[k，k]，k∈Z．17．（12分）已知{an}（n∈N*）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝16，2a3+3a2＝32．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝3log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn，并求Sn的最大值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè){an}的公比為q，因?yàn)閍1＝16，2a3+3a2＝32，所以2q2+3q﹣2＝0．解得q＝﹣2（舍去）或．因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn＝3（5﹣n）log22＝15﹣3n，當(dāng)n≥2時(shí)，bn﹣bn﹣1＝﹣3，故{bn}是首項(xiàng)為b1＝12，公差為﹣3的單調(diào)遞減等差數(shù)列．則．又b5＝0，所以數(shù)列{bn}的前4項(xiàng)為正數(shù)，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S4＝S5＝30．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求角B的大??；（2）若，D為△ABC外一點(diǎn)，DB＝2，CD＝1，求四邊形ABDC面積的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得，＝，∵，∴，即，∴，∵sinC≠0，∴，即，∵B∈（0，π），∴．（2）在△BCD中，BD＝2，CD＝1，由余弦定理知，BC2＝CD2+BD2﹣2CD?BDcosD＝12+22﹣2×1×2×cosD＝5﹣4cosD，∵，，∴△ABC為等邊三角形，∴＝，又，∴SABDC＝+sinD＝，故當(dāng)D﹣＝，即時(shí)，四邊形ABDC的面積取得最大值，為．19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣kx+k2．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣kx+k2．f′（x）＝3x2﹣k，k≤0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，k＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增，綜上，k≤0時(shí)，f（x）在R遞增，k＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣）遞增，在（﹣，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）由（1）得：k＞0，f（x）極小值＝f（），f（x）極大值＝f（﹣），若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：0＜k＜，故k∈（0，）．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）已知f（x）≤1對任意x∈R恒成立，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，，，所以f（0）＝1，f'（0）＝﹣2切線l的斜率為k＝f'（0）＝﹣2．所以f（x）在x＝0處的切線方程為y＝﹣2x+1．（Ⅱ）依題意，f（x）≤1對任意x∈R恒成立，，當(dāng)a＝0時(shí)，，由于ex＞0，則f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)閒（0）＝1，故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a≠0時(shí)，令f'（x）＝0，得當(dāng)a＜0時(shí)，，因?yàn)閒（0）＝1，那么x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：xf'（x）﹣0+f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：xf'（x）+0﹣f（x）單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)0＜a＜1時(shí)，，因?yàn)閒（0）＝1，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，，因?yàn)閒（0）＝1，所以結(jié)合f（x）的單調(diào)性知當(dāng)時(shí)，f（x）＞1，不符合題意．當(dāng)a＝1時(shí)，．由f（x）的單調(diào)性可知，f（x）max＝f（0）＝1，所以符合題意．綜上，a＝1．21．（15分）已知{an}是無窮數(shù)列，a1＝a，a2＝b，且對于{an}中任意兩項(xiàng)ai，aj（i＜j），在{an}中都存在一項(xiàng)ak（j＜k＜2j），使得ak＝2aj﹣ai．（Ⅰ）若a＝3，b＝5，求a3；（Ⅱ）若a＝b＝0，求證：數(shù)列{an}中有無窮多項(xiàng)為0；（Ⅲ）若a≠b，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解答】解：（Ⅰ）取i﹣1，j＝2，則存在ak（2＜k＜4），使得ak＝2a2﹣a1，即a3＝2a2﹣a1，∵a1＝a＝3，a2＝b＝5，∴a3＝2a2﹣a1＝7．（Ⅱ）證明：假設(shè){an}