【教案】數(shù)學(xué)歸納法+第2課時教學(xué)設(shè)計(jì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第四章數(shù)列《4.4數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．2．通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，體會從特殊到一般的思想方法．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷試值、猜想、歸納、證明的過程來解決問題.課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】問題1：閱讀課本第47~50頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．（2）前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)了數(shù)學(xué)歸納法．本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題．培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美．發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)．問題2：什么叫數(shù)學(xué)歸納法？一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)（）時命題成立；（2）（歸納遞推）以“當(dāng)n=k（，k≥）時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.特別地，當(dāng)時，命題就對從1開始的正整數(shù)成立，也就是對所有正整數(shù)都成立.設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義，溫故知新，引入新課．【探究新知】知識點(diǎn)1利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題首先，數(shù)學(xué)歸納法用來證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，證明的時候需要兩個步驟：一是證明當(dāng)時命題成立，它為后續(xù)的證明奠定了基礎(chǔ)，故稱之為歸納奠基；二是假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時也成立，也就是要證明一個遞推關(guān)系，故稱這一步為歸納遞推.這兩個步驟缺一不可，最終證明對所有正整數(shù)n，命題都成立.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．進(jìn)一步說明可用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．思考：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：．下面的證明過程是否正確，若不正確，請說明理由并給出正確解法．證明：（i）當(dāng)時，左邊，右邊，命題成立．（ii）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，則當(dāng)時，，命題也成立．根據(jù)（i）（ii）可以斷定，對任何都成立．師生活動：讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟來回答本題．預(yù)設(shè)的答案：不正確．沒有用上“歸納假設(shè)”，此法不是數(shù)學(xué)歸納法．需要將“則當(dāng)時，”后面改為如下過程：，等式也成立．說明：缺了第（ii）步，就沒有了歸納遞推的過程；在證明時命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法了．強(qiáng)調(diào)：第（i）步成立是推理的基礎(chǔ)，第（ii）步是推理的依據(jù)，結(jié)論使整個數(shù)學(xué)歸納法的過程順利完成，所以“兩個步驟和一個結(jié)論”缺一不可．教師總結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，“兩個步驟和一個結(jié)論”缺一不可.即遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉．設(shè)計(jì)意圖：通過該題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．【鞏固練習(xí)】例1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意正整數(shù)n成立．師生活動：讓學(xué)生板演，讓學(xué)生修改，教師點(diǎn)評完善．預(yù)設(shè)的答案：證明：（1）當(dāng)時，左邊=右邊，命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即．當(dāng)時，左邊右邊因此，若時命題成立，可推出時命題成立．綜合（1）（2）步，可知命題對任意正整數(shù)n成立．設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，模仿格式規(guī)范證明，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)歸納法步驟掌握情況，在證明過程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理能力．例2已知數(shù)列｛an}滿足a1=0,2an+1-anan+1=1(nN*),試猜想數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．師生活動：先將數(shù)列｛an}的遞推關(guān)系2an+1-anan+1=1化為（nN*).讓學(xué)生通過計(jì)算a2,a3,a4,a5的值，歸納共性并作出猜想，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．預(yù)設(shè)的答案：由2an+1-anan+1=1,可得(nN*).由a1=0,可得,同理可得,,歸納上述結(jié)果，猜想(nN*).=1\*GB3①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1)當(dāng)n=1時，=1\*GB3①式左邊＝a1=0,右邊＝,猜想成立．（2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時，=1\*GB3①式成立，即,那么,即當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．由（1)(2)可知，猜想對任何nN*都成立．設(shè)計(jì)意圖：通過該典型例題，讓學(xué)生明白可以利用歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明來探求一類數(shù)列的通項(xiàng)公式．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．例3設(shè)x為正實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列1,1+x,(1+x)2,···,(1+x)n-1,...的前n項(xiàng)和為Sn,試比較Sn與n的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．師生活動：學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：解法1:由已知可得Sn=1+(1+x)+(1+x)2+···+(1+x)n-1.當(dāng)n=2時，S2=1+(1+x)=2+x,由x>0,可得S2>2;當(dāng)n=3時，S3=1+(1+x)+(1+x)2=3+3x+x2,由x>0,可得S3>3.由此，我們猜想，當(dāng)xR*,nN*且n>1時，Sn>n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1)當(dāng)n=2時，由上述過程知，不等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且k≥2)時，不等式成立，即Sk>k,由x>0,可得1+x>1,所以（1+x)k>1.于是Sk+1=Sk+(1+x)k＞k+(1+x)k>k+1,所以，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．由（1)(2)可知，不等式Sn>n對任何大于1的正整數(shù)n都成立．解法2:顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為1+x,于是Sn=1+(1+x)+(1+x)2+··+(1+x)n-1．當(dāng)n=2時，S2==x+2,由x>0,可得S2>2;當(dāng)n=3時，S3==x2+3x+3,由x>0,可得S3>3.由此，我們猜想，當(dāng)x>0,nN*,且n>1時，都有Sn>n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1)當(dāng)n=2時，由上述過程知，不等式成立．（2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,且k≥2)時，不等式Sk>k成立，即由x>0,知.所以Sk+1=1+(1+x)+(1+x)2+·+(1+x)k1＝xk+k+1.又x>0,所以Sk+1>k+1.所以，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．由（1)(2)可知，不等式Sn>n對任何大于1的正整數(shù)n都成立．設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式命題．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：該問題中涉及兩個字母x和n,x是正實(shí)數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn,再通過n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系后作出猜想．兩種做法都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明得到的猜想．例4是否存在常數(shù)使得等式對于一切正整數(shù)n都成立，并證明你的結(jié)論．師生活動：教師先分析，然后學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師進(jìn)一步完善．預(yù)設(shè)的答案：假設(shè)存在符合條件的常數(shù)，則將代入得，于是對于，有下證上述等式對于一切正整數(shù)n都成立：當(dāng)n=1時，由上述知等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，，則當(dāng)n=k+1時，左邊即當(dāng)n=k+1時等式成立；由①②得，等式對于一切正整數(shù)n都成立，即存在常數(shù)使得等式成立.設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：對于探索性命題，一般是先假設(shè)存在，按條件求解，求得出來就存在，求不出來就不存在．練習(xí)：教科書P51練習(xí)1、2、3、4設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計(jì)：4.4數(shù)學(xué)歸納法（2）一、探索新知二、初步應(yīng)用1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1知識講解1：例2例3例42．總結(jié)概括：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：問題1.你能說出數(shù)學(xué)歸納法的步驟有哪些？問題2.如何用數(shù)學(xué)歸納法探求數(shù)列的通項(xiàng)公式？問題3.如何用數(shù)學(xué)歸納法處理與正整數(shù)有關(guān)的不等式的證明問題？師生活動：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.設(shè)計(jì)意圖：利用問題串，幫助學(xué)生回顧本節(jié)課知識要點(diǎn)．通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．3．課堂作業(yè)：教科書P51習(xí)題4.43、4、5【目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)】1．用數(shù)學(xué)歸納法證明（，）時，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A． B． C． D．設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的步驟；同時，在證明過程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力．2．證明：“對任意的正整數(shù)n成立”設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟；在證明過程中，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力．3．已知數(shù)列中，（1）求，，的值；（2）猜測的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固用歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明來探求一類數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法和步驟；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和邏