高中數(shù)學人教A版高中必修第三章 不等式基本不等式課件_第1頁
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文檔簡介

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標.會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。

問題引入:2002年國際數(shù)學家大會會標三國時期吳國的數(shù)學家趙爽

思考:這會標中含有怎樣的幾何圖形?思考:你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系?探究1

問2:Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形,它們的面積總和是S`=———問1:在正方形ABCD中,設AF=a,BF=b,則AB=

則正方形的面積為S=

。問3:觀察圖形S與S`有什么樣的大小關系?易得,s>s`,即ADCBHGFE問4:那么它們有相等的情況嗎?何時相等?變化的弦圖問題4:s,

S`有相等的情況嗎?何時相等?

圖片說明:當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,正方形EFGH縮為一個點,這時有

形的角度數(shù)的角度

當a=b時

a2+b2-2ab

=(a-b)2=0結(jié)論:一般地,對于任意實數(shù)a、b,我們有當且僅當a=b時,等號成立探究2問5:當a,b為任意實數(shù)時,還成立嗎?此不等式稱為重要不等式替換后得到:即:即:你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎?一.基本不等式的推導:

證明:要證只要證①要證①,只要證②要證②,只要證③顯然,③是成立的.當且僅當a=b時,③中的等號成立.分析法證明不等式:特別地,若a>0,b>0,則≥通常我們把上式寫作:當且僅當a=b時取等號,這個不等式就叫做基本不等式.在數(shù)學中,我們把叫做正數(shù)a,b的算術平均數(shù),叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù);文字敘述為:兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍:a>0,b>0二.基本不等式:你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?Rt△ACD∽Rt△DCB,ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD>≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義:半徑不小于弦長的一半。ADBEOCab適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較:注意從不同角度認識基本不等式

重要變形:(由小到大)

2.典例分析:題型一利用基本不等式求最值題型二基本不等式的實際應用結(jié)論1:兩個正數(shù)積為定值,則和有最小值。題型一:利用基本不等式求最值配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當且僅當時,取“=”號.2x=(1-2x),即

x=

14∴當

x=時,

函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值是.1418例2.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12(1)如果a,b>0,且ab=P(定值),那么a+b有最____值______(當且僅當_____時取“=”).(2)如果a,b>0,且a+b=S

(定值),那么ab有最____值______(當且僅當______時取“=”).利用基本不等式求最值問題:小大利用基本不等式求最值的條件:一正、二定、三相等。a=ba=b

例3.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?ABDC題型二:基本不等式的實際應用

例3.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?解:如圖設BC=x

,CD=y

,則xy=100,籬笆的長為2(x+y)m.當且僅當時,等號成立因此,這個矩形的長、寬都為10m時,所用的籬笆最短,最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù),則當xy的值是常數(shù)P時,當且僅當x=y時,x+y有最小值_______.例3.(2)如圖,用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形菜園的長和寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?解:如圖,設BC=x

,CD=y

,則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當且僅當x=y時,等號成立

因此,這個矩形的長、寬都為9m時,菜園面積最大,最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù),則當x+y的值是常數(shù)S時,當且僅當x=y時,xy有最大值_______;①各項皆為正數(shù);②和或積為定值;③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時,要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).14例4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析:水池呈長方體形,它的高是3m,底面的長與寬沒有確定.如果底面的長與寬確定了,水池的總造價也就確定了.因此應當考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。解:設底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元.根據(jù)題意,有:由容積為4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得即

當x=y,即x=y=40時,等號成立所以,將水池的地面設計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價為297600元.1.已知函數(shù),求函數(shù)的最小值和此時x的取值.運用均值不等式的過程中,忽略了“正數(shù)”這個條件.“美女”找茬2.已知函數(shù),求函數(shù)的最小值.用均值不等式求最值,必須滿足“定值”這個條件.用均值不等式求最值,必須注意“相等”的條件.如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.小結(jié):求最值時注意把握“一正,二定,三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).142.利用基本不等式求最值1.兩個重要的不等式1.設>0,>0,若是與的等比中項,則得最小值為()A.8B.4C.1D.

(2009年天津理6)B變式訓練1-1:因此,這個矩形的長為12m、寬為6m時,花園面積最大,最大面積是72m2四、當堂訓練,針對點評>2.(2009山東理12T)設滿足約束條件若目標函數(shù)

(0,>0)的最大值為12,則的最小值為()A.B.C.D.4略解:xy02-22(4,6)A2.如圖,用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園,問這個矩形的長、寬各為多少時,花園的面積最大,最大面積是多少?變式訓練2-1:四、當堂訓練,針對點評2.如圖,用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園,問這個矩形的長、寬各為多少時,花園的面積最大,最大面積是多少?解:設AB=x

,BC=24-2x

,矩形花園的面積為x(24-2x)

m2因此,這個矩形的長為12m、寬為6m時,花園面積最大,最大面積是72m2當x=6時,函數(shù)y取得最小值為72五、課堂總結(jié),布置作業(yè)1.課堂總結(jié):(1)涉及知識點:基本不等式及其應用。(2)涉及數(shù)學思想方法:轉(zhuǎn)化與回歸思想;數(shù)形結(jié)合思想;分類與整合思想。求最值時注意把握“一正,二定,三相等”已知

x,y

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