高中數(shù)學人教A版高中必修第三章 不等式基本不等式課件

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標．會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。

問題引入:2002年國際數(shù)學家大會會標三國時期吳國的數(shù)學家趙爽

思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？探究1

問2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它們的面積總和是S`=———問1：在正方形ABCD中,設AF=a,BF=b,則AB=

則正方形的面積為S=

。問3：觀察圖形S與S`有什么樣的大小關系？易得，s>s`,即ADCBHGFE問4：那么它們有相等的情況嗎？何時相等？變化的弦圖問題4：s,

S`有相等的情況嗎？何時相等？

圖片說明：當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有

形的角度數(shù)的角度

當a=b時

a2+b2－2ab

=(a－b)2=0結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立探究2問5：當a,b為任意實數(shù)時，還成立嗎？此不等式稱為重要不等式替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式嗎？一.基本不等式的推導:

證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當且僅當a=b時,③中的等號成立.分析法證明不等式：特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.在數(shù)學中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0二.基本不等式:你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半。ADBEOCab適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認識基本不等式

重要變形：（由小到大）

2.典例分析：題型一利用基本不等式求最值題型二基本不等式的實際應用結(jié)論1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值。題型一：利用基本不等式求最值配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當且僅當時,取“=”號.2x=(1-2x),即

x=

14∴當

x=時,

函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值是.1418例2.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(當且僅當_____時取“=”）.（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么ab有最____值______(當且僅當______時取“=”）.利用基本不等式求最值問題：小大利用基本不等式求最值的條件：一正、二定、三相等。a=ba=b

例3.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？ABDC題型二：基本不等式的實際應用

例3.(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當且僅當時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當xy的值是常數(shù)P時，當且僅當x=y時，x+y有最小值_______.例3.(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當且僅當x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當x+y的值是常數(shù)S時，當且僅當x=y時，xy有最大值_______；①各項皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).14例4.某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,怎樣設計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?分析:水池呈長方體形,它的高是3m,底面的長與寬沒有確定.如果底面的長與寬確定了,水池的總造價也就確定了.因此應當考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。解:設底面的長為xm,寬為ym,水池總造價為z元.根據(jù)題意,有:由容積為4800m3,可得:3xy=4800因此xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì),可得即

當x=y,即x=y=40時,等號成立所以,將水池的地面設計成邊長為40m的正方形時總造價最低,最低總造價為297600元.１．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值和此時x的取值．運用均值不等式的過程中，忽略了“正數(shù)”這個條件．“美女”找茬２．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值．用均值不等式求最值，必須滿足“定值”這個條件．用均值不等式求最值,必須注意“相等”的條件.如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.小結(jié)：求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).142.利用基本不等式求最值1.兩個重要的不等式1.設>0，>0，若是與的等比中項，則得最小值為（）A.8B.4C.1D.

（2009年天津理6）B變式訓練1-1：因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2四、當堂訓練，針對點評＞2.（2009山東理12T)設滿足約束條件若目標函數(shù)

（0，>0）的最大值為12，則的最小值為（）A.B.C.D.4略解：xy02-22(4,6)A2.如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？變式訓練2-1：四、當堂訓練，針對點評2.如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設AB=x

，BC=24－2x

，矩形花園的面積為x(24－2x)

m2因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2當x=6時，函數(shù)y取得最小值為72五、課堂總結(jié)，布置作業(yè)1．課堂總結(jié)：（1）涉及知識點：基本不等式及其應用。（2）涉及數(shù)學思想方法：轉(zhuǎn)化與回歸思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類與整合思想。求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y