高中數(shù)學(xué)人教A版高中必修5第二章數(shù)列數(shù)列求和全國優(yōu)質(zhì)課

數(shù)列求和的常用方法：數(shù)列的求和命題點1分組求和與并項求和例3

已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，所以bn＝b2qn－2＝3·3n－2＝3n－1，又由a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)×d＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和.解由題意知cn＝an＋bn＝(2n－1)＋3n－1，則數(shù)列{cn}的前n項和為[1＋3＋…＋(2n－1)]＋(1＋3＋9＋…＋3n－1)命題點2錯位相減法求和例4

記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2＋a4＝6，S4＝10.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＋a4＝6，S4＝10，故所求等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.(2)令bn＝an·2n(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解依題意，bn＝an·2n＝n·2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，又2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，兩式相減得－Tn＝(2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)－n·2n＋1∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.命題點3裂項相消法求和例5

已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝

＋3an＋2(t∈R).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，因為an>0，所以an－an－1＝3，又因為a1＝1，所以{an}是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以an＝3n－2(n∈N*).(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求數(shù)列

的前n項和Tn.解因為bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，所以當(dāng)n≥2時，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1(1)一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時可從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項相消法等.思維升華SIWEISHENGHUA跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝

，a