八年級(jí)數(shù)學(xué)上

八年級(jí)上冊(cè)13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件說(shuō)明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬問題”為載體開展對(duì)“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題．學(xué)習(xí)目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題，體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．學(xué)習(xí)重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題．課件說(shuō)明

引言：

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問題”．引入新知問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問題．這個(gè)問題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知BAl追問1

這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；探索新知追問2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？探索新知追問2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlC追問1

對(duì)于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？探索新知問題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·追問2

你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問中符合條件的點(diǎn)B′嗎？探索新知問題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．探索新知問題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′探索新知問題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直疼線l上任課意一爺點(diǎn)（紫與點(diǎn)C不重細(xì)合）圖與A，B兩點(diǎn)摘的距耕離和都陷大于AC+BC，就好說(shuō)明AC+BC最小團(tuán)．探索金新知B·lA·B′CC′追問1證明AC+BC最短遺時(shí)，善為什用么要貝在直番線l上任取瞇一點(diǎn)C′（與映點(diǎn)C不重赤合）堂，證獎(jiǎng)明AC+BC＜AC′+BC′？這夫里的棟“C′”的作蔽用是潤(rùn)什么溉？探索按新知追問2回顧漆前面弟的探壤究過(guò)立程，帖我們宋是通驚過(guò)怎鉤樣的過(guò)程予、借添助什踏么解等決問贊題的伴？B·lA·B′CC′運(yùn)用正新知練習(xí)糞如于圖，張一個(gè)誘旅游掌船從陪大橋AB的P處前頸往山腳下拴的Q處接舌游客毅，然忍后將閃游客弊送往隆河岸BC上，翅再返回P處，男請(qǐng)畫積出旅彩游船捕的最呼短路寶徑．ABCPQ山河岸大橋運(yùn)用拘新知基本籮思路竄：由于疊兩點(diǎn)倘之間絞線段交最短膀，所挺以首蠅先可泥連接PQ，線段PQ為旅努游船高最短花路徑功中的筑必經(jīng)櫻線路瓜．將城河岸炒抽象城為一條借直線BC，這揪樣問除題就桿轉(zhuǎn)化仆為“蜘點(diǎn)P，Q在直獄線BC的同干側(cè)，飲如何娘在BC上找突到一點(diǎn)R，使PR與QR的和題最小”野．